文档内容
(cid:3)(cid:4) 19 (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)
(cid:9)(cid:4)(cid:10)(cid:11) (cid:12)(cid:13) (cid:12)(cid:14)(cid:15)(cid:16)
2022·新高考Ⅰ卷，22（1）
2024·新高考Ⅰ卷，18（1）
导数与函数最值
2024·新高考Ⅰ卷，18（3）
1.高考中，导数是必考内容。难度、广
2022·新高考Ⅱ卷，22（2）
度和深度较大。常规基础考查求导公式
导数与函数零点 2022·新高考Ⅰ卷，22（2）
与几何意义；中等难度考查求单调区
2023·新高考Ⅰ卷，19（1）
间、极值、最值等；压轴题考查零点、 导数与函数单调性
2022·新高考Ⅱ卷，22（1）
不等式证明、恒成立或者存在问题、分
2023·新高考Ⅰ卷，19（2）
类讨论求参数等，和数列、不等式、函
导数与不等式证明 2022·新高考Ⅱ卷，22（3）
数等知识结合。
2023·新高考Ⅱ卷，22（1）
2023·新高考Ⅱ卷，22（2）
导数与函数极值
2024·新高考Ⅱ卷，16（2）
(cid:9)(cid:4)(cid:17)(cid:18)
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综合运用，难度较难。Ⅱ
卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适中。导数的高频考点有：含参函数的参数对
函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的
图像与函数的奇偶性结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求
不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成立、求参问题。
(cid:19)(cid:4)(cid:20)(cid:21)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
x
1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·18(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
(1)(cid:36)b=0(cid:37)(cid:38) f¢(x)³0(cid:37)(cid:39)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:44)
(3)(cid:36) f(x)>-2(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)1-2(cid:81)1,2(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:71)(cid:39)(cid:93)b³- .
3
x
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)b=0(cid:95)(cid:37) f x=ln +ax(cid:37)(cid:96)(cid:50)xÎ0,2(cid:37)
2-x
1 1 2
(cid:97) f¢x= + = +a,xÎ0,2 (cid:37)
x 2-x x2-x
æ2-x+xö 2
(cid:98)(cid:73)x2-x£ç
÷
=1(cid:37)(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)x=1(cid:95)(cid:99)(cid:9)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
è 2 ø
(cid:100) f¢x =2+a(cid:37)(cid:84) f¢x³0(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:100)a+2³0(cid:88)a³-2(cid:37)
min
(cid:101)(cid:102)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:73)-2.(cid:37)
x
(cid:27)2(cid:32) f x=ln +ax+bx-13(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)0,2(cid:37)
2-x
(cid:72)Pm,n(cid:73)y= f x(cid:54)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:78)(cid:37)
Pm,n(cid:3)(cid:79)1,a(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:78)(cid:73)Q2-m,2a-n(cid:37)
m
(cid:98)(cid:73)Pm,n(cid:81)y= f x(cid:54)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:100)n=ln +am+bm-13(cid:37)
2-m
2-m é m ù
(cid:84) f 2-m=ln +a2-m+b2-m-13 =- ln +am+bm-13 +2a(cid:37)
ê ú
m ë 2-m û
=-n+2a(cid:37)
(cid:101)(cid:102)Q2-m,2a-n(cid:80)(cid:81)y= f x(cid:54)(cid:74)(cid:75)(cid:37)
(cid:106)P(cid:40)(cid:76)(cid:77)(cid:85)(cid:71)(cid:93)y= f x(cid:54)(cid:74)(cid:73)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:53)(cid:50)(cid:51)(cid:73)1,a.
(cid:27)3(cid:32)(cid:98)(cid:73) f x>-2(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)1-2(cid:90)(cid:91)(cid:92).
x
(cid:110)(cid:95) f x>-2(cid:88)(cid:73)ln +21-x+bx-13 >0(cid:81)1,2(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
2-xt+1
(cid:72)t =x-1Î0,1(cid:37)(cid:97)ln -2t+bt3 >0(cid:81)0,1(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
1-t
t+1
(cid:72)gt=ln -2t+bt3,tÎ0,1(cid:37)
1-t
2
t2 -3bt2+2+3b
(cid:97) g¢t= -2+3bt2 = (cid:37)
1-t2 1-t2
(cid:56)b³0(cid:37)-3bt2+2+3b³-3b+2+3b=2>0(cid:37)
(cid:100)g¢t>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:100)gt(cid:81)0,1(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:100)gt>g0=0(cid:88) f x>-2(cid:81)1,2(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92).
2
(cid:56)- £b<0(cid:95)(cid:37)-3bt2+2+3b³2+3b³0(cid:37)
3
(cid:100)g¢t³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:100)gt(cid:81)0,1(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:100)gt>g0=0(cid:88) f x>-2(cid:81)1,2(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92).
(cid:56)b<- 2 (cid:37)(cid:97)(cid:56)0-2(cid:81)1,2(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:95)b³- .
3
2
(cid:84)(cid:56)b³- (cid:95)(cid:37)
3
2
(cid:84)b³- (cid:95)(cid:37)(cid:106)(cid:75)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:71)(cid:93)gt(cid:81)0,1(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:100)gt>0(cid:40)(cid:24)(cid:73)0,1(cid:37)
3
(cid:88) f x>-2(cid:40)(cid:24)(cid:73)1,2.
2
(cid:116)(cid:75)(cid:37)b³- .
3
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:22)(cid:107)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:91)(cid:92)(cid:40)(cid:125)(cid:66)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:49)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:52)(cid:131)(cid:40)(cid:24)(cid:37)(cid:84)(cid:24)(cid:40)(cid:132)(cid:78)(cid:73)(cid:35)(cid:13)(cid:52)
(cid:22)(cid:107)(cid:133)(cid:119)(cid:40)(cid:69)(cid:134)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:40)(cid:132)(cid:78)(cid:37)(cid:135)(cid:136)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:24)(cid:137)(cid:103)(cid:138)(cid:13)(cid:59)(cid:60)(cid:95)(cid:37)(cid:71)(cid:108)(cid:106)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:139)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:59)
(cid:60)(cid:37)(cid:89)(cid:69)(cid:70)(cid:93)(cid:139)(cid:40)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:59)(cid:60)(cid:140)(cid:28)(cid:30)(cid:109)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:141)(cid:142).
2(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·16(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=ex-ax-a3(cid:26)
(1)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:39)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:81)(cid:78)1, f(1)(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
(2)(cid:36) f(x)(cid:145)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:42)(cid:79)0(cid:37)(cid:39)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)e-1x-y-1=0
(2)1,+¥(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:149)(cid:150)(cid:77)(cid:104)(cid:39)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:24)(cid:151)(cid:22)(cid:10)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:66)(cid:65)a£0(cid:152)a>0(cid:153)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:152)(cid:146)(cid:43)(cid:37)(cid:66)(cid:65)(cid:71)(cid:93)a2+lna-1>0(cid:37)
(cid:159)(cid:160)(cid:35)(cid:13)(cid:24)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:88)(cid:71)(cid:44)(cid:24)(cid:151)(cid:161)(cid:10)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:71)(cid:34) f¢(x)=ex-a(cid:145)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:71)(cid:93)a>0(cid:37)(cid:163)(cid:84)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39) f x(cid:40)(cid:157)
(cid:158)(cid:85)(cid:152)(cid:146)(cid:43)(cid:37)(cid:66)(cid:65)(cid:71)(cid:93)a2+lna-1>0(cid:37)(cid:159)(cid:160)(cid:35)(cid:13)(cid:24)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:88)(cid:71).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:97) f(x)=ex-x-1(cid:37) f¢(x)=ex-1(cid:37)
(cid:71)(cid:93) f(1)=e-2(cid:37) f¢(1)=e-1(cid:37)
(cid:88)(cid:144)(cid:78)(cid:164)(cid:165)(cid:73)1,e-2(cid:37)(cid:144)(cid:48)(cid:166)(cid:167)k =e-1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)y-e-2=e-1x-1(cid:37)(cid:88)e-1x-y-1=0.
(cid:27)2(cid:32)(cid:24)(cid:151)(cid:22)(cid:10)(cid:98)(cid:73) f(x)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:38) f¢(x)=ex-a(cid:37)
(cid:36)a£0(cid:37)(cid:97) f¢(x)³0(cid:52)(cid:76)(cid:77)xÎR(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:71)(cid:34) f(x)(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:168)(cid:146)(cid:43)(cid:37)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
(cid:36)a>0(cid:37)(cid:169) f¢(x)>0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x>lna(cid:44)(cid:169) f¢(x)<0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x0(cid:37)
1
(cid:159)(cid:160)ga=a2+lna-1,a>0(cid:37)(cid:97)g¢a=2a+ >0(cid:37)
a
(cid:71)(cid:34)ga(cid:81)0,+¥(cid:170)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38)g1=0(cid:37)
(cid:113)(cid:99)(cid:124)a2+lna-1>0(cid:99)(cid:172)(cid:79)ga>g1(cid:37)(cid:24)(cid:93)a >1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:73)1,+¥(cid:44)
(cid:24)(cid:151)(cid:161)(cid:10)(cid:98)(cid:73) f(x)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:38) f¢(x)=ex-a(cid:37)
(cid:36) f(x)(cid:145)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:97) f¢(x)=ex-a(cid:145)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:169) f¢(x)=ex -a=0(cid:37)(cid:71)(cid:93)ex =a(cid:37)
(cid:71)(cid:34)y=ex(cid:173)y=a(cid:145)(cid:174)(cid:78)(cid:37)(cid:97)a>0(cid:37)
(cid:36)a>0(cid:37)(cid:169) f¢(x)>0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x>lna(cid:44)(cid:169) f¢(x)<0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x0(cid:37)
(cid:159)(cid:160)ga=a2+lna-1,a>0(cid:37)
(cid:98)(cid:73)(cid:97)y=a2,y=lna-1(cid:81)0,+¥(cid:170)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:71)(cid:34)ga(cid:81)0,+¥(cid:170)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38)g1=0(cid:37)(cid:113)(cid:99)(cid:124)a2+lna-1>0(cid:99)(cid:172)(cid:79)ga>g1(cid:37)(cid:24)(cid:93)a >1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:73)1,+¥.
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
1(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·22(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=ex-ax(cid:152)g(x)=ax-lnx(cid:145)(cid:176)(cid:177)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:26)
(1)(cid:39)a(cid:44)
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:178)(cid:81)(cid:179)(cid:48)y=b(cid:37)(cid:96)(cid:173)(cid:153)(cid:128)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:152)y=g(x)(cid:180)(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:37)(cid:182)(cid:38)(cid:83)(cid:183)(cid:139)(cid:184)(cid:40)(cid:181)(cid:107)(cid:174)
(cid:78)(cid:40)(cid:185)(cid:164)(cid:165)(cid:91)(cid:99)(cid:186)(cid:13)(cid:187)(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)a=1
(2)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:69)(cid:70)(cid:147)(cid:13)(cid:71)(cid:93)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:71)(cid:93)(cid:176)(cid:131)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:176)(cid:99)(cid:71)(cid:39)a.(cid:4)(cid:77)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190).
(cid:27)2(cid:32)(cid:69)(cid:70)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:93)(cid:56)b>1(cid:95)(cid:37)ex-x=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:23)x-lnx=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:191)(cid:73)2(cid:37)(cid:159)(cid:160)(cid:28)(cid:35)(cid:13)
h(x)=ex+lnx-2x(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:71)(cid:93)(cid:192)(cid:35)(cid:13)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:38)(cid:71)(cid:93) f x,gx(cid:40)(cid:171)(cid:42)(cid:3)(cid:194)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:178)(cid:81)(cid:179)(cid:48)y=b
(cid:173)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:23)y=gx(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:71)(cid:93)b(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:37)(cid:89)(cid:69)(cid:70)(cid:153)(cid:188)(cid:133)(cid:119)(cid:40)(cid:69)(cid:40)(cid:3)(cid:194)(cid:71)(cid:45)(cid:46)(cid:181)(cid:69)(cid:91)(cid:99)(cid:186)
(cid:13)(cid:187).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32) f(x)=ex-ax(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:84) f¢(x)=ex-a(cid:37)
(cid:36)a£0(cid:37)(cid:97) f¢(x)>0(cid:37)(cid:110)(cid:95) f(x)(cid:168)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:100)a>0.
1 ax-1
g(x)=ax-lnx(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)0,+¥(cid:37)(cid:84)g¢(x)=a- = .
x x
(cid:56)xlna(cid:95)(cid:37) f¢(x)>0(cid:37)(cid:100) f(x)(cid:81)lna,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:100) f(x) = f lna=a-alna.
min
1 æ 1ö
(cid:56)0 (cid:95)(cid:37)g¢(x)>0(cid:37)(cid:100)g(x)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
a èa ø
æ1ö 1
(cid:100)g(x) =gç ÷=1-ln .
min èaø a
(cid:98)(cid:73) f(x)=ex-ax(cid:152)g(x)=ax-lnx(cid:145)(cid:176)(cid:177)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:37)1 a-1
(cid:100)1-ln =a-alna(cid:37)(cid:195)(cid:15)(cid:93)(cid:139) =lna(cid:37)(cid:96)(cid:50)a>0(cid:37)
a 1+a
(cid:72)ga= a-1 -lna,a>0(cid:37)(cid:97)g¢a= 2 - 1 = -a2-1 £0(cid:37)
1+a 1+a2 a a1+a2
(cid:100)ga(cid:73)0,+¥(cid:75)(cid:40)(cid:112)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:84)g1=0(cid:37)
1-a
(cid:100)ga=0(cid:40)(cid:196)(cid:22)(cid:24)(cid:73)a=1(cid:37)(cid:100) =lna(cid:40)(cid:24)(cid:73)a=1.
1+a
(cid:116)(cid:75)(cid:37)a=1.
(cid:27)2(cid:32)[(cid:133)(cid:151)(cid:22)](cid:10)
1
(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:93) f(x)=ex -x(cid:152)g(x)= x-lnx(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:73)1-ln1=1-ln =1.
1
(cid:56)b>1(cid:95)(cid:37)(cid:30)(cid:109)ex-x=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:23)x-lnx=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13).
(cid:72)Sx=ex-x-b(cid:37)S¢x=ex-1(cid:37)
(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37)S¢x<0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)S¢x>0(cid:37)
(cid:100)Sx(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:73)(cid:112)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)Sx =S0=1-b<0(cid:37)
min
(cid:84)S-b=e-b >0(cid:37)Sb=eb-2b(cid:37)
(cid:72)ub=eb-2b(cid:37)(cid:96)(cid:50)b>1(cid:37)(cid:97)u¢b=eb-2>0(cid:37)
(cid:100)ub(cid:81)1,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:100)ub>u1=e-2>0(cid:37)
(cid:100)Sb>0(cid:37)(cid:100)Sx=ex-x-b(cid:145)(cid:153)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:88)ex-x=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:73)2.
x-1
(cid:72)Tx=x-lnx-b(cid:37)T¢x= (cid:37)
x
(cid:56)01(cid:95)(cid:37)T¢x>0(cid:37)
(cid:100)Tx(cid:81)0,1(cid:75)(cid:73)(cid:112)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:81)1,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)Tx =T1=1-b<0(cid:37)
min
(cid:84)T e-b =e-b >0(cid:37)T eb =eb-2b>0(cid:37)
Tx=x-lnx-b(cid:145)(cid:153)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:88)x-lnx=b(cid:40)(cid:24)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:73)2.
(cid:56)b=1(cid:37)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:189)(cid:190)(cid:71)(cid:93)x-lnx=b(cid:23)ex-x=b(cid:57)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:24)(cid:37)
(cid:56)b<1(cid:95)(cid:37)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:189)(cid:190)(cid:71)(cid:93)x-lnx=b(cid:23)ex-x=b(cid:191)(cid:168)(cid:69)(cid:37)
(cid:100)(cid:36)(cid:178)(cid:81)(cid:179)(cid:48)y=b(cid:173)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:23)y=gx(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:37)
(cid:97)b>1.1
(cid:72)h(x)=ex+lnx-2x(cid:37)(cid:96)(cid:50)x>0(cid:37)(cid:100)h¢(x)=ex+ -2(cid:37)
x
(cid:72)sx=ex-x-1(cid:37)x>0(cid:37)(cid:97)s¢x=ex-1>0(cid:37)
(cid:100)sx(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:100)sx>s0=0(cid:88)ex >x+1(cid:37)
1
(cid:101)(cid:102)h¢(x)>x+ -1³2-1>0(cid:37)(cid:101)(cid:102)h(x)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
x
1 1 2 2
(cid:84)h(1)=e-2>0(cid:37)h( )=ee3 -3- x (cid:95)(cid:37)hx>0(cid:88)ex-x>x-lnx(cid:88) f x>gx(cid:37)
0
(cid:98)(cid:110)(cid:36)(cid:178)(cid:81)(cid:179)(cid:48)y=b(cid:173)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:23)y=gx(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:37)
(cid:100)b= f x =gx >1(cid:37)
0 0
(cid:110)(cid:95)ex-x=b(cid:145)(cid:153)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:69)x,x (x <01(cid:37)
1 0 0 4
ìx =x -b
(cid:100)í 0 4 (cid:88)x +x =2x .
îx =x -b 1 4 0
1 0
[(cid:133)(cid:151)(cid:161)](cid:10)
(cid:106)(1)(cid:34)(cid:37) f(x)=ex-x(cid:37)g(x)= x-lnx(cid:37)
(cid:38) f(x)(cid:81)(-¥,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
g(x)(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38) f(x) =g(x) =1.
min min
b<1(cid:95)(cid:37)(cid:110)(cid:95) f(x) =g(x) =1>b(cid:37)(cid:198)(cid:199)y=b(cid:173)(cid:153)(cid:128)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:152)y=g(x)
min min
(cid:180)(cid:145)0(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:37)(cid:113)(cid:175)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
①
b=1(cid:95)(cid:37)(cid:110)(cid:95) f(x) =g(x) =1=b(cid:37)
min min
②
(cid:100)y=b(cid:173)(cid:153)(cid:128)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:152)y=g(x)(cid:180)(cid:145)2(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:37)(cid:174)(cid:78)(cid:40)(cid:185)(cid:164)(cid:165)(cid:66)(cid:200)(cid:73)0(cid:152)1(cid:44)
b>1(cid:95)(cid:37)(cid:201)(cid:108)(cid:37)(cid:45)(cid:46)y=b(cid:173)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:145)2(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:37)
③(cid:88)(cid:45)(cid:46)F(x)= f(x)-b(cid:145)2(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)F¢(x)= f¢(x)=ex -1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)F(x)(cid:81)(-¥,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197)(cid:98)(cid:73)F(-b)=e-b >0(cid:37)F(0)=1-b<0(cid:37)F(b)=eb-2b>0(cid:37)
((cid:169)t(b)=eb-2b(cid:37)(cid:97)t¢(b)=eb-2>0(cid:37)t(b)>t(1)=e-2>0)
(cid:101)(cid:102)F(x)= f(x)-b(cid:81)(-¥,0)(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:38)(cid:193)(cid:178)(cid:81)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:72)(cid:73)x(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:38)(cid:193)(cid:178)(cid:81)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:72)
1
(cid:73)x .
2
(cid:96)(cid:202)(cid:37)(cid:45)(cid:46)y=b(cid:173)(cid:47)(cid:48)(cid:152)y=g(x)(cid:145)2(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:37)
1
(cid:88)(cid:45)(cid:46)G(x)= g(x)-b(cid:145)2(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)G¢(x)=g¢(x)=1- (cid:37)
x
(cid:101)(cid:102)G(x)(0,1)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197)(cid:98)(cid:73)G(e-b)=e-b >0(cid:37)G1=1-b<0(cid:37)G(2b)=b-ln2b>0(cid:37)
1
((cid:169)m(b)=b-ln2b(cid:37)(cid:97)m¢(b)=1- >0(cid:37)m(b)>m(1)=1-ln2>0)
b
(cid:101)(cid:102)G(x)= g(x)-b(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:38)(cid:193)(cid:178)(cid:81)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:72)(cid:73)x (cid:37)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:38)(cid:193)(cid:178)(cid:81)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:72)(cid:73)x .
3 4
(cid:89)(cid:202)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:178)(cid:81)b(cid:37)(cid:203)(cid:93)x =x :
2 3
(cid:98)(cid:73)F(x )=G(x )=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)b=ex2 -x =x -lnx (cid:37)
2 3 2 3 3
(cid:36)x =x (cid:37)(cid:97)ex2 -x =x -lnx (cid:37)(cid:88)ex2 -2x +lnx =0(cid:37)
2 3 2 2 2 2 2
(cid:101)(cid:102)(cid:193)(cid:204)(cid:45)(cid:46)ex -2x+lnx=0(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:145)(cid:24)(cid:88)(cid:71)(cid:37)
(cid:88)j(x)=ex -2x+lnx(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:145)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:98)(cid:73)j( 1 )=ee 1 3 - 2 -3<0(cid:37)j(1)=e-2>0(cid:37)
e3 e3
(cid:101)(cid:102)j(x)=ex -2x+lnx(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:58)(cid:22)(cid:162)(cid:78)(cid:73)x (cid:37)(cid:169)x =x =x (cid:88)(cid:71)(cid:37)
0 2 3 0
(cid:110)(cid:95)(cid:58)b=ex0 -x
0
(cid:97)(cid:110)(cid:95)(cid:178)(cid:81)(cid:179)(cid:48)y=b(cid:37)(cid:96)(cid:173)(cid:153)(cid:128)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:152)y=g(x)(cid:180)(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:37)
(cid:41)(cid:68)(cid:45)(cid:46)x +x =2x (cid:37)(cid:88)(cid:83)(cid:183)(cid:139)(cid:184)(cid:40)(cid:181)(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:40)(cid:185)(cid:164)(cid:165)(cid:91)(cid:99)(cid:186)(cid:13)(cid:187)(cid:37)
1 4 0
(cid:98)(cid:73)F(x)=F(x )=F(x )=0=G(x )=G(x )=G(x )
1 2 0 3 0 4
(cid:101)(cid:102)F(x)=G(x )=F(lnx )(cid:37)
1 0 0
(cid:197)(cid:98)(cid:73)F(x)(cid:81)(-¥,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)x <0(cid:37)00(cid:88)ex0 >1(cid:37)x
1
>1(cid:37)(cid:101)(cid:102)x
4
=ex0(cid:37)
(cid:197)(cid:98)(cid:73)ex0 -2x +lnx =0(cid:37)(cid:101)(cid:102)x +x =ex0 +lnx =2x (cid:37)
0 0 1 4 0 0
(cid:88)(cid:179)(cid:48)y=b(cid:173)(cid:153)(cid:128)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:152)y=g(x)(cid:83)(cid:183)(cid:139)(cid:184)(cid:40)(cid:181)(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:40)(cid:185)(cid:164)(cid:165)(cid:91)(cid:99)(cid:186)(cid:13)(cid:187).(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:206)(cid:206)(cid:204)(cid:127)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:189)(cid:190)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:110)(cid:95)(cid:4)(cid:77)(cid:52)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:37)
(cid:84)(cid:113)(cid:177)(cid:133)(cid:119)(cid:40)(cid:69)(cid:40)(cid:85)(cid:207)(cid:37)(cid:4)(cid:77)(cid:155)(cid:156)(cid:133)(cid:119)(cid:40)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:139)(cid:153)(cid:188)(cid:69)(cid:211)(cid:212)(cid:40)(cid:3)(cid:194).
2(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·19(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=a ex +a -x(cid:26)
(1)(cid:189)(cid:190) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
3
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f x>2lna+ (cid:26)
2
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:108)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:89)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)a£0(cid:173)a>0(cid:153)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:147)(cid:13)(cid:173)(cid:35)(cid:13)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:40)(cid:3)(cid:194)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:24)(cid:44)
1 1
(cid:27)2(cid:32)(cid:133)(cid:151)(cid:22)(cid:10)(cid:148)(cid:114)(cid:27)1(cid:32)(cid:50)(cid:148)(cid:190)(cid:37)(cid:213)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)a2- -lna>0(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)ga=a2- -lnaa>0(cid:37)
2 2
(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:45)(cid:93)ga>0(cid:88)(cid:71).
(cid:133)(cid:151)(cid:161)(cid:10)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)hx=ex-x-1(cid:37)(cid:45)(cid:93)ex ³x+1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:139) f(x)³x+lna+1+a2-x(cid:37)(cid:163)(cid:84)(cid:213)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)
1
a2- -lna>0(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:106)(cid:110)(cid:93)(cid:45).
2
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:98)(cid:73) f(x)=a ex+a -x(cid:37)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:101)(cid:102) f¢x=aex-1(cid:37)
(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37)(cid:106)(cid:79)ex >0(cid:37)(cid:97)aex £0(cid:37)(cid:100) f¢x=aex-1<0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:169) f¢x=aex-1=0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x=-lna(cid:37)
(cid:56)x<-lna(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)(cid:97) f x(cid:81)-¥,-lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
(cid:56)x>-lna(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)(cid:97) f x(cid:81)-lna,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:116)(cid:75)(cid:10)(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f x(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f x(cid:81)-¥,-lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37) f x(cid:81)-lna,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:27)2(cid:32)(cid:133)(cid:151)(cid:22)(cid:10)
(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:93)(cid:37) f x = f -lna=a e-lna +a +lna=1+a2+lna(cid:37)
min
3 3 1
(cid:127)(cid:45) f(x)>2lna+ (cid:37)(cid:88)(cid:45)1+a2+lna>2lna+ (cid:37)(cid:88)(cid:45)a2- -lna>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
2 2 21 1 2a2-1
(cid:169)ga=a2- -lnaa>0(cid:37)(cid:97)g¢a=2a- = (cid:37)
2 a a
(cid:169)g¢a<0(cid:37)(cid:97)00(cid:37)(cid:97)a> 2 (cid:44)
2 2
æ 2ö æ 2 ö
(cid:101)(cid:102)ga(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
ç ÷ ç ÷
è 2 ø è 2 ø
2
(cid:101)(cid:102)ga =g æ ç 2ö ÷= æ ç 2ö ÷ - 1 -ln 2 =ln 2 >0(cid:37)(cid:97)ga>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
min ç è 2 ÷ ø ç è 2 ÷ ø 2 2
3
(cid:101)(cid:102)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f(x)>2lna+ (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:45)(cid:216).
2
(cid:133)(cid:151)(cid:161)(cid:10)
(cid:169)hx=ex-x-1(cid:37)(cid:97)h¢x=ex-1(cid:37)
(cid:106)(cid:79)y=ex(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:101)(cid:102)h¢x=ex-1(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197)h¢0=e0-1=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37)h¢x<0(cid:44)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)h¢x>0(cid:44)
(cid:101)(cid:102)hx(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:100)hx³h0=0(cid:37)(cid:97)ex ³x+1(cid:37)(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)x=0(cid:95)(cid:37)(cid:99)(cid:9)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:98)(cid:73) f(x)=a ex+a -x=aex+a2-x=ex+lna +a2-x³x+lna+1+a2-x(cid:37)
(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)x+lna=0(cid:37)(cid:88)x=-lna(cid:95)(cid:37)(cid:99)(cid:9)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
3 3 1
(cid:101)(cid:102)(cid:127)(cid:45) f(x)>2lna+ (cid:37)(cid:88)(cid:45)x+lna+1+a2-x>2lna+ (cid:37)(cid:88)(cid:45)a2- -lna>0(cid:37)
2 2 2
1 1 2a2-1
(cid:169)ga=a2- -lnaa>0(cid:37)(cid:97)g¢a=2a- = (cid:37)
2 a a
(cid:169)g¢a<0(cid:37)(cid:97)00(cid:37)(cid:97)a> 2 (cid:44)
2 2
æ 2ö æ 2 ö
(cid:101)(cid:102)ga(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
ç ÷ ç ÷
è 2 ø è 2 ø
2
(cid:101)(cid:102)ga =g æ ç 2ö ÷= æ ç 2ö ÷ - 1 -ln 2 =ln 2 >0(cid:37)(cid:97)ga>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
min ç è 2 ÷ ø ç è 2 ÷ ø 2 2
3
(cid:101)(cid:102)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f(x)>2lna+ (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:45)(cid:216).
2
3(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·22(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)= xeax -ex(cid:26)
(1)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:189)(cid:190) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
(2)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37) f(x)<-1(cid:37)(cid:39)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)1 1 1
(3)(cid:72)nÎN*(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:10) + +L+ >ln(n+1)(cid:26)
12+1 22+2 n2+n
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1) f x(cid:40)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)-¥,0(cid:37)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)0,+¥.
1
(2)a£
2
(3)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:67) f¢x(cid:37)(cid:189)(cid:190)(cid:96)(cid:175)(cid:9)(cid:68)(cid:71)(cid:93) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85).
1 1
(cid:27)2(cid:32)(cid:72)hx=xeax-ex+1(cid:37)(cid:39)(cid:67)h¢¢x(cid:37)(cid:108)(cid:189)(cid:190)a> (cid:95)(cid:21)(cid:72)(cid:50)(cid:40)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:113)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:89)(cid:130)01(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:71)(cid:93)lnn+1-lnn< 1
(cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)nÎN*(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
t n2+n
(cid:148)(cid:114)(cid:220)(cid:221)(cid:176)(cid:222)(cid:151)(cid:71)(cid:45)(cid:21)(cid:72)(cid:50)(cid:40)(cid:113)(cid:99)(cid:124).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f x=x-1ex(cid:37)(cid:97) f¢x=xex(cid:37)
(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)
(cid:100) f x(cid:40)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)-¥,0(cid:37)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)0,+¥.
(cid:27)2(cid:32)(cid:72)hx=xeax-ex+1(cid:37)(cid:97)h0=0(cid:37)
(cid:197)h¢x=1+axeax-ex(cid:37)(cid:72)gx=1+axeax-ex(cid:37)
(cid:97)g¢x= 2a+a2x eax-ex(cid:37)
1
(cid:36)a> (cid:37)(cid:97)g¢0=2a-1>0(cid:37)
2
(cid:98)(cid:73)g¢x(cid:73)(cid:223)(cid:224)(cid:113)(cid:212)(cid:87)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
(cid:100)(cid:178)(cid:81)x Î0,+¥(cid:37)(cid:203)(cid:93)"xÎ0,x (cid:37)(cid:225)(cid:145)g¢x>0(cid:37)
0 0
(cid:100)gx(cid:81)0,x (cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:100)gx>g0=0(cid:37)
0
(cid:100)hx(cid:81)0,x (cid:73)(cid:111)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:100)hx>h0=0(cid:37)(cid:173)(cid:21)(cid:72)(cid:226)(cid:227).
0
(cid:36)00(cid:37)(cid:225)(cid:145)ln1+x0(cid:37)(cid:225)(cid:145)
xe
1
2
x
-ex+1<0
(cid:91)(cid:92)(cid:37)
2
(cid:169) 1 x(cid:37)(cid:97)t >1,t2 =ex,x=2lnt(cid:37)
t =e2
1
(cid:100)2tlnt1(cid:90)(cid:91)(cid:92).
t
n+1 n+1 n
(cid:101)(cid:102)(cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)nÎN*(cid:37)(cid:145)2ln < - (cid:37)
n n n+1
1
(cid:195)(cid:15)(cid:93)(cid:139)(cid:10)lnn+1-lnn<
(cid:37)
n2+n
1 1 1
(cid:100) + +L+ >ln2-ln1+ln3-ln2+L+lnn+1-lnn
12+1 22+2 n2+n
=lnn+1(cid:37)
(cid:100)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:91)(cid:92).
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:35)(cid:13)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:131)(cid:192)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:189)(cid:190)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:4)(cid:77)(cid:148)(cid:114)(cid:132)(cid:78)(cid:143)
(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:175)(cid:9)(cid:114)(cid:15)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:37)(cid:147)(cid:13)(cid:229)(cid:230)(cid:228)(cid:13)(cid:187)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:45)(cid:46)(cid:37)(cid:131)(cid:69)(cid:70)(cid:33)(cid:145)(cid:40)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:114)(cid:15)(cid:159)(cid:160)(cid:13)(cid:187)(cid:113)(cid:99)(cid:124).
4(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·22(cid:32)(cid:27)1(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:56)00(cid:52)"xÎ0,1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:97)Fx(cid:81)0,1(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:71)(cid:93)Fx>F0=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)x>sinx,xÎ0,1(cid:44)
(cid:159)(cid:160)Gx=sinx- x-x2 =x2-x+sinx,xÎ0,1(cid:37)(cid:97)G¢x=2x-1+cosx,xÎ0,1(cid:37)
(cid:159)(cid:160)gx=G¢x,xÎ0,1(cid:37)(cid:97)g¢x=2-sinx>0(cid:52)"xÎ0,1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:97)gx(cid:81)0,1(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:71)(cid:93)gx>g0=0(cid:37)
(cid:88)G¢x>0(cid:52)"xÎ0,1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:97)Gx(cid:81)0,1(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:71)(cid:93)Gx>G0=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)sinx>x-x2,xÎ0,1(cid:44)
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:10)x-x 0(cid:37)(cid:24)(cid:93)-10
(cid:98)(cid:73) f x=cosax-ln 1-x2 =cos a x -ln 1-x2 =cosbx-ln 1-x2 (cid:37)
(cid:38) f -x=cos-bx-lné1--x2ù=cosbx-ln 1-x2 = f x(cid:37)
ë û
(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13) f x(cid:81)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:170)(cid:73)(cid:233)(cid:35)(cid:13)(cid:37)
2x
(cid:106)(cid:21)(cid:77)(cid:71)(cid:93)(cid:10) f¢x=-bsinbx- ,xÎ-1,1(cid:37)
x2-1
ì1 ü
(cid:27)i(cid:32)(cid:56)0-b2x- = (cid:37)
x2-1 x2-1 1-x2
(cid:38)b2x2 >0,2-b2 ³0,1-x2 >0(cid:37)
x
b2x2+2-b2
(cid:101)(cid:102) f¢x> >0 (cid:37)
1-x2
(cid:88)(cid:56)xÎ0,mÍ0,1(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)(cid:97) f x(cid:81)0,m(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:148)(cid:114)(cid:233)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:85)(cid:71)(cid:34)(cid:10) f x(cid:81)-m,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)x=0(cid:49) f x(cid:40)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
æ 1ö
(cid:27)ⅱ(cid:32)(cid:56)b2 >2(cid:95)(cid:37)(cid:58)xÎç0, ÷Í0,1(cid:37)(cid:97)bxÎ0,1(cid:37)
è bø(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:93) f¢x=-bsinbx- 2x <-b bx-b2x2 - 2x = x -b3x3+b2x2+b3x+2-b2 (cid:37)
x2-1 x2-1 1-x2
æ 1ö
(cid:159)(cid:160)hx=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,xÎç0, ÷(cid:37)
è bø
æ 1ö
(cid:97)h¢x=-3b3x2+2b2x+b3,xÎç0, ÷(cid:37)
è bø
æ1ö æ 1ö
(cid:38)h¢0=b3 >0,h¢ ç ÷=b3-b>0(cid:37)(cid:97)h¢x>0(cid:52)"xÎç0, ÷(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
èbø è bø
æ 1ö æ1ö
(cid:71)(cid:34)hx(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38)h0=2-b2 <0,hç ÷=2>0(cid:37)
è bø èbø
æ 1ö æ 1ö
(cid:101)(cid:102)hx(cid:81)ç0, ÷(cid:170)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:162)(cid:78)nÎç0, ÷(cid:37)
è bø è bø
(cid:56)xÎ0,n(cid:95)(cid:37)(cid:97)hx<0(cid:37)(cid:38)x>0,1-x2 >0(cid:37)
(cid:97) f¢x< x -b3x3+b2x2+b3x+2-b2 <0(cid:37)
1-x2
(cid:88)(cid:56)xÎ0,nÍ0,1(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)(cid:97) f x(cid:81)0,n(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
(cid:148)(cid:114)(cid:233)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:52)(cid:53)(cid:85)(cid:71)(cid:34)(cid:10) f x(cid:81)-n,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)x=0(cid:49) f x(cid:40)(cid:146)(cid:171)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:175)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:10)b2 >2(cid:37)(cid:88)a2 >2(cid:37)(cid:24)(cid:93)a> 2(cid:134) a<- 2 (cid:37)
(cid:100)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:73) -¥,- 2 U 2,+¥ .
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:121)(cid:10)
1.(cid:56)0 f(x)(cid:48)(cid:10)(cid:49)(cid:40)(cid:44)l£[f(x)] (cid:50)
min
②(cid:45)l³ f(x)(cid:28)(cid:10)(cid:46)(cid:47)(cid:51)(cid:52)x(cid:53)(cid:54)l³ f(x)(cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:40)(cid:44)l³[f(x)] (cid:50)
min
③(cid:45)l£ f(x)(cid:28)(cid:10)(cid:46)(cid:47)(cid:51)(cid:52)x(cid:53)(cid:54)l£ f(x)(cid:25)(cid:26)(cid:49)(cid:40)(cid:44)l£[f(x)] (cid:50)
max
④(cid:45)l= f(x)(cid:28)(cid:10)(cid:46)(cid:47)l¹ f(x)(cid:48)(cid:10)(cid:49)(cid:40)(cid:44)lÎ{y| y = f(x)}(cid:50)
⑤(cid:45)l= f(x)(cid:48)(cid:10)(cid:46)(cid:47)l¹ f(x)(cid:28)(cid:10)(cid:49)(cid:40)(cid:44)lÎC {y| y = f(x)}(cid:55)
u
(cid:56)⑥(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:46)1(cid:49)(cid:22)(cid:60)(cid:61)(cid:57)(cid:40)(cid:62)(cid:63)(cid:12)(cid:64)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:67)(cid:40)(cid:68)(cid:69)(cid:12)(cid:64)(cid:70)(cid:66)(cid:71)(cid:72)(cid:67)(cid:55)
(cid:46)2(cid:49)(cid:73)(cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:39)(cid:36)(cid:37)((cid:79)(cid:80)(cid:23)(cid:81)(cid:80))(cid:28)(cid:82)(cid:40)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87) (cid:41)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:35)(cid:73)(cid:92)(cid:93)(cid:46)(cid:47)(cid:94)(cid:95)(cid:36)
(cid:35)(cid:73)(cid:92)(cid:49)
①②③④
(cid:96)(cid:23)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:35)(cid:97)(cid:67)
g(x)
(cid:98)(cid:99)(cid:67)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:100)(cid:101)lf(x)= g(x)Þl= (cid:50)
f(x)
①
1 f(x)
(cid:102)(cid:6)(cid:67)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:100)(cid:101)lf(x)= g(x)Þ = (cid:50)
l g(x)
②
(cid:56)(cid:103) f(x)(cid:35)(cid:36)(cid:28)(cid:104)(cid:105)(cid:73)(cid:106)(cid:40)(cid:107)g(x)(cid:35)(cid:36)(cid:22)(cid:108)(cid:109)(cid:38)0(cid:110)(cid:40)(cid:104)(cid:111)(cid:102)(cid:6)(cid:67)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:55)(cid:59)
ì f(x)
l³ ,g(x)>0
ï
ï g(x)
(cid:112)(cid:113)(cid:67)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:100)(cid:101): lg(x)³ f(x)Û í
f(x)
ï
l£ ,g(x)<0
③ ï î g(x)
ìl£ f(n),n(cid:73)(cid:239)(cid:233)(cid:13)
(-1)nl£ f(n)(nÎN*)Û í
î-l£ f(n),n(cid:73)(cid:239)(cid:240)(cid:13)
(cid:114)(cid:115)(cid:67)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:100)(cid:101)l2 +l= f(x)(cid:50)
④ b
(cid:109)(cid:116)(cid:117)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:67)(cid:100)(cid:101) =lnx+x-x2(cid:50)
x
⑤
(cid:118)(cid:119)(cid:67)(cid:120)(cid:121)(cid:66)(cid:6)(cid:40)(cid:122)(cid:123)(cid:67)(cid:120)(cid:121)(cid:66)(cid:6)(cid:55)
(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:59)
⑥
(cid:46)1(cid:49)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:89)(cid:40)(cid:29)(cid:4)(cid:124)(cid:125)(cid:10)(cid:126)(cid:40)(cid:127)(cid:111)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:67)(cid:46)(cid:128)(cid:129)(cid:6)(cid:4)(cid:104)(cid:130)(cid:53)(cid:111)(cid:131)(cid:97)(cid:67)(cid:49)(cid:55) (cid:132)(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:130)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)
(cid:39)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:89)(cid:40)(cid:29)(cid:4)(cid:135)(cid:107)(cid:136)(cid:54)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:40)(cid:44)(cid:109)(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:40)(cid:131)(cid:110)(cid:127)(cid:111)(cid:70)(cid:66)(cid:71)(cid:72)(cid:67)(cid:55)
(cid:46)2(cid:49)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:9)(cid:4)(cid:140)(cid:141)(cid:136)(cid:142)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:28)(cid:110)(cid:28)(cid:22)(cid:143)(cid:17)(cid:39)(cid:94)(cid:95)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:35)(cid:40)(cid:147)(cid:148)(cid:12)(cid:64)(cid:63)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:22)(cid:143)(cid:17)(cid:39)(cid:94)(cid:95)(cid:40)(cid:152)
(cid:17)(cid:65)(cid:66)(cid:6)(cid:153)(cid:10)(cid:55)(cid:56)(cid:154)(cid:44)(cid:155)(cid:155)(cid:17)(cid:65)(cid:109)(cid:156)(cid:66)(cid:6)(cid:39)(cid:130)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:29)(cid:4)(cid:55)(cid:59)
(cid:162)(cid:23)(cid:68)(cid:163)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:164)(cid:165)(cid:22)
f(x)(cid:52)[a,b](cid:79)(cid:144)(cid:166)(cid:34)(cid:6)(cid:40)(cid:44) f '(x)³0(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:55)((cid:90)(cid:91)(cid:109)(cid:105)(cid:167)(cid:150))(cid:55)
① f(x)(cid:52) [a,b](cid:79)(cid:144)(cid:168)(cid:34)(cid:6)(cid:40)(cid:44) f '(x)£0(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:55)((cid:90)(cid:91)(cid:109)(cid:105)(cid:167)(cid:150))(cid:55)
② f(x)(cid:52)[a,b](cid:79)(cid:144)(cid:169)(cid:170)(cid:34)(cid:6)(cid:40)(cid:44)(cid:17)(cid:79)(cid:171)(cid:172)(cid:43)(cid:173)(cid:174)(cid:112)(cid:113)(cid:50)((cid:98)(cid:111)(cid:97)(cid:67))
③(cid:175)(cid:23)(cid:68)(cid:163)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:164)(cid:165)(cid:96)
"x ÎA,$x ÎB(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:97)(cid:176)g(x )= f(x )(cid:25)(cid:26)Û{y| y = f(x),xÎA}Í{y| y = g(x),xÎB}(cid:55)
1 2 2 1
①$x ÎA,$x ÎB(cid:40)(cid:53)(cid:54)(cid:97)(cid:176)g(x )= f(x )(cid:25)Û{y| y = f(x),xÎA}Í{y| y = g(x),xÎB}¹Æ(cid:55)
1 2 2 1
②(cid:177)(cid:23)(cid:68)(cid:163)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:164)(cid:165)(cid:162)"x ÎA,"x ÎB(cid:40) f(x )³ g(x )Û f(x ) ³ g(x ) (cid:50)
1 2 1 2 1 min 2 max
①"x ÎA,$x ÎB(cid:40) f(x )³ g(x )Û f(x ) ³ g(x ) (cid:50)
1 2 1 2 1 min 2 min
②$x ÎA,"x ÎB(cid:40) f(x )³ g(x )Û f(x ) ³ g(x ) (cid:50)
1 2 1 2 1 max 2 max
③$x ÎA,$x ÎB(cid:40) f(x )³ g(x )Û f(x ) ³ g(x ) (cid:55)
1 2 1 2 1 max 2 min
④(cid:241)(cid:23)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)(cid:24)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:24)(cid:21)(cid:122)(cid:123)
(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:240)(cid:233)(cid:85)(cid:173)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:39)(cid:24)(cid:242)(cid:74)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:37)(cid:127)(cid:72)(cid:151)(cid:213)(cid:243)(cid:85)(cid:244)(cid:245)(cid:73)(cid:198)(cid:85)(cid:40)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:246)(cid:39)(cid:24)(cid:37)(cid:133)(cid:151)(cid:49)(cid:10)
(cid:27)1(cid:32)(cid:247)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:214)(cid:16)(cid:73) f é ëgxù û > f é ëhxù û (cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:89)(cid:69)(cid:70)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:247)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:35)(cid:13)(cid:175)(cid:9)“ f ”(cid:248)(cid:249)(cid:37)(cid:93)(cid:139)(cid:250)(cid:251)(cid:40)(cid:113)(cid:99)(cid:124)
(cid:27)(cid:252)(cid:32)(cid:37)(cid:253)(cid:127)(cid:4)(cid:77)(cid:35)(cid:13)(cid:240)(cid:233)(cid:85)(cid:40)(cid:217)(cid:200).
(cid:254)(cid:23)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)(cid:24)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:24)(cid:21)(cid:255)(cid:256)
(cid:39)(cid:24)(cid:110)(cid:188)(cid:21)(cid:257)(cid:40)(cid:3)(cid:236)(cid:49)(cid:159)(cid:215)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:234)(cid:235)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:258)(cid:96)(cid:147)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:148)(cid:159)(cid:55)(cid:124)(cid:37)(cid:228)(cid:259)(cid:49)(cid:260)(cid:64)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:261)(cid:55)
(cid:262)(cid:263)1.(cid:52)(cid:79) f¢(x)> g¢(x)(cid:37)(cid:159)(cid:215)h(x)= f(x)-g(x)
(cid:262)(cid:263)2.(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124) f ' x >k k ¹0 (cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x = f x -kx+b.
(cid:262)(cid:263)3.(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124) f ' x + f x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x =ex f(x)
(cid:264)(cid:265)(cid:10)(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124) f ' x +kf x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x =ekxf(x)
f(x)
(cid:262)(cid:263)4.(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124) f ' x - f x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x =
ex
(cid:262)(cid:263)5.(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124)xf ' x + f x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x = xf x
(cid:264)(cid:265)(cid:10)(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124)xf ' x +nf x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x = xnf(x)
f x
(cid:262)(cid:263)6.(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124)xf ' x - f x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x = x¹0
x
f(x)
(cid:264)(cid:265)(cid:10)(cid:52)(cid:79)(cid:113)(cid:99)(cid:124)xf ' x -nf x >0(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g x =
xn
f¢(x)
(cid:262)(cid:263)7.(cid:52)(cid:79) >0(cid:37)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:10)(cid:27)1(cid:32)(cid:36) f(x)>0(cid:37)(cid:97)(cid:159)(cid:215)h(x)=ln f(x);
f(x)
(cid:27)2(cid:32)(cid:36) f(x)<0(cid:37)(cid:97)(cid:159)(cid:215)h(x)=ln[-f(x)]
(cid:262)(cid:263)8.(cid:52)(cid:79) f¢(x)+lnaf(x)>0(<0)(cid:37)(cid:159)(cid:215)h(x)=ax f(x).
f(x)
(cid:262)(cid:263)9.(cid:52)(cid:79) f¢(x)lnx+ >0(<0)(cid:37)(cid:159)(cid:215)h(x)= f(x)lnx.
x
(cid:262)(cid:263)10.(cid:27)1(cid:32)(cid:52)(cid:79) f¢(x)> f(x)tanx((cid:134)f¢(x)< f(x)tanx)(cid:37)(cid:88) f¢(x)cosx- f(x)sinx>0(<0)(cid:37)
(cid:159)(cid:215)h(x)= f(x)cosx(cid:26)f(x)
(cid:27)2(cid:32)(cid:52)(cid:79) f¢(x)cosx+ f(x)sinx>0(<0)(cid:37)(cid:159)(cid:215)h(x)= (cid:26)
cosx
f¢(x)sinx- f(x)cosx f(x)
(cid:262)(cid:263)11.(cid:27)1(cid:32) f¢(x)sinx+ f(x)cosx=[f(x)sinx]¢ (cid:27)2(cid:32) =[ ]¢
sin2 x sinx
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
ex+x-1
1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:266)(cid:267)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x= (cid:26)
ex
(1)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(2)(cid:36)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78)0,0(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:173)(cid:161)(cid:202)(cid:47)(cid:48)y=ax2+2a+5x-2(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:7)(cid:180)(cid:78)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:43)(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:157)(cid:158)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:10)-¥,2(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:10)2,+¥(cid:26)
1 9
(2)a=- (cid:134)- (cid:26)
2 2
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:201)(cid:108)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:37)(cid:173)(cid:47)(cid:48)(cid:269)(cid:92)(cid:133)(cid:119)(cid:37)(cid:66)(cid:65)D(cid:93)(cid:67)(cid:148)(cid:190).
2-x
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:270)(cid:34) f x(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37) f¢x= (cid:37)
ex
(cid:101)(cid:102)xÎ-¥,2(cid:37) f¢x>0(cid:37)xÎ2,+¥(cid:37) f¢x<0(cid:26)
(cid:100) f x(cid:157)(cid:158)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:10)-¥,2(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:10)2,+¥(cid:26)
(cid:27)2(cid:32)(cid:98)(cid:73) f¢0=2(cid:37) f 0=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78)0,0(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:73)y=2x
(cid:247)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)y=2x(cid:271)(cid:272)(cid:161)(cid:202)(cid:47)(cid:48)(cid:133)(cid:119)y=ax2+2a+5x-2(cid:37)(cid:93)ax2+2a+3x-2=0(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:24)(cid:37)
(cid:88)Δ=2a+32+8a=0(cid:38)a¹0(cid:37)(cid:88)4a2+20a+9=0
1 9
(cid:24)(cid:93)a=- (cid:134)- (cid:26)
2 2
2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=lnx+5x-4(cid:26)
(1)(cid:39)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:81)(cid:78)(1, f(1))(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
3
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:10) f(x)>- -2(cid:26)
5x
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)6x-y-5=0(cid:44)
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:94)(cid:24).(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:166)(cid:167)(cid:37)(cid:106)(cid:24)(cid:65)(cid:124)(cid:39)(cid:67)(cid:144)(cid:78)(cid:278)(cid:164)(cid:165)(cid:37)(cid:199)(cid:68)(cid:71)(cid:93)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
3
(cid:27)2(cid:32)(cid:213)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)xlnx+5x2-2x>- (cid:37)(cid:169)gx=xlnx+5x2-2x,x>0(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)(cid:86)(cid:87)
5
æ 1ö
(cid:146)(cid:43)(cid:78)x Îçe-2, ÷(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:243)(cid:162)(cid:78)(cid:133)(cid:119)(cid:16)(cid:279)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:71)(cid:93)gx =-5x2-x (cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:161)(cid:202)(cid:35)(cid:13)(cid:85)(cid:207)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:45).
0 è 4ø 0 0 0
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32) f(x)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)0,+¥(cid:37)
1
(cid:98)(cid:73) f¢x= +5(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:81)(cid:78)(1, f(1))(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:166)(cid:167)(cid:73)k = f¢1=6(cid:37)
x
(cid:197) f(1)=ln1+5-4=1(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)y-1=6x-1(cid:37)(cid:88)6x-y-5=0.
3 3
(cid:27)2(cid:32) f(x)>- -2Û xlnx+5x2-2x>- (cid:37)
5x 5
(cid:169)gx=xlnx+5x2-2x,x>0(cid:37)(cid:97)g¢x=lnx+10x-1(cid:37)
(cid:98)(cid:73)g¢ e-2 =lne-2+10´e-2-1= 10 -3<0(cid:37)
e2
g¢ æ ç 1ö ÷=ln 1 +10´ 1 -1= 3 -ln4= 1 lne3-ln16 >0
è4ø 4 4 2 2
æ 1ö
(cid:101)(cid:102)(cid:178)(cid:81)x Îçe-2, ÷(cid:37)(cid:203)(cid:93)g¢x =lnx +10x -1=0(cid:37)(cid:88)lnx =1-10x (cid:37)
0 è 4ø 0 0 0 0 0
(cid:270)(cid:34)g¢x(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)xÎ0,x (cid:95)(cid:37)g¢x<0(cid:37)gx(cid:81)0,x (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
0 0
(cid:56)xÎx ,+¥(cid:95)(cid:37)g¢x>0(cid:37)gx(cid:81)x ,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
0 0
(cid:101)(cid:102)(cid:56)x=x (cid:95)(cid:37)gx(cid:58)(cid:93)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:10)
0
gx =x lnx +5x2-2x =x 1-10x +5x2-2x =-5x2-x (cid:37)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
æ 1ö
(cid:106)(cid:161)(cid:202)(cid:35)(cid:13)(cid:85)(cid:207)(cid:71)(cid:34)(cid:37)gx =-5x2-x (cid:81)çe-2, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
0 0 0 è 4ø
æ1ö 9 3 3
(cid:101)(cid:102)gx >gç ÷=- >- (cid:37)(cid:88)gx=xlnx+5x2-2x>- (cid:37)
0 è4ø 16 5 5
3
(cid:101)(cid:102) f(x)>- -2.
5x
2
3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=lnx-ax,gx= ,a¹0(cid:26)
ax
(1)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(2)(cid:36) f x£gx(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:39)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:94)(cid:24)2
(2)
e3
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:68)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:173)(cid:35)(cid:13)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:40)(cid:3)(cid:194)(cid:37)(cid:52)a>0(cid:173)a<0(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:148)(cid:114)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:37)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:24).
1 1-ax
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32) f¢x= -a= (cid:27)a¹0(cid:32)(cid:37)
x x
(cid:56)a<0(cid:95)(cid:37)(cid:106)(cid:79)x>0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f¢x>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:83)(cid:84) f x(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
1 1
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)00(cid:44)x> (cid:37) f¢x<0(cid:37)
a a
æ 1ö æ1 ö
(cid:83)(cid:84) f x(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:120)(cid:112)(cid:44)
è aø èa ø
(cid:116)(cid:75)(cid:37)(cid:56)a<0(cid:95)(cid:37) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)0,+¥(cid:37)(cid:284)(cid:145)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
æ 1ö æ1 ö
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç0, ÷(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç ,+¥÷.
è aø èa ø
2
(cid:27)2(cid:32)(cid:169)hx= f x-gx=lnx-ax- (cid:37)(cid:127)(cid:203) f x£ gx(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
ax
(cid:193)(cid:127)(cid:203)hx£0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:80)(cid:193)(cid:127)(cid:203)hx £0.
max
1 2
-ax+1ax-2
h¢x= -a+ = (cid:37)
x ax2 ax2
(cid:36)a>0(cid:37)x>0(cid:37)(cid:101)(cid:102)ax+1>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
2 2
(cid:56)00(cid:37)(cid:56) 0(cid:37)(cid:101)(cid:102)ax-2<0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
1 1
(cid:56)00(cid:37)
a a
æ 1ö æ 1 ö
(cid:71)(cid:34)hx(cid:81)ç0,- ÷(cid:170)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)ç- ,+¥÷(cid:170)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
è aø è a ø
(cid:101)(cid:102)hx(cid:81)0,+¥(cid:170)(cid:168)(cid:41)(cid:171)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:56)x(cid:286)(cid:287)(cid:79)+¥(cid:95)(cid:37)hx(cid:286)(cid:287)(cid:79)+¥(cid:37)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
2
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:10)a(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:73) .
e34(cid:26)(cid:27)2024·(cid:288)(cid:289)(cid:290)(cid:291)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=x2-2x+alnx,aÎR .
(1)(cid:189)(cid:190)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
x f x -x f x
(2)(cid:36)(cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)x,x Î0,+¥,x ¹ x (cid:37)(cid:203) 2 1 1 2 >0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:97)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60).
1 2 1 2 x -x
1 2
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(2)[0,2e3]
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:106) f x=x2-2x+alnx,aÎR (cid:37)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)xÎ0,+¥(cid:37)(cid:39)(cid:147) f¢x=
2x2-2x+a
(cid:37)(cid:169)
x
gx=2x2-2x+a(cid:37)(cid:189)(cid:190)(cid:56)a(cid:58)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:43)(cid:95)gx(cid:40)(cid:239)(cid:292)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:139) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
x f x -x f x f x f x f x alnx
(cid:27)2(cid:32)(cid:151)(cid:22)(cid:10)(cid:106) 2 1 1 2 >0(cid:71)(cid:16)(cid:73) 1 > 2 (cid:37)(cid:169)Gx= =x-2+ (cid:37)(cid:189)(cid:190)a(cid:58)(cid:239)(cid:23)(cid:292)(cid:23)
x -x x x x x
1 2 1 2
a1-lnx
(cid:162)(cid:95)G¢x=1+ ³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:139)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
x2
(cid:151)(cid:161)(cid:10)(cid:106) x 2 f x 1 -x 1 f x 2 >0(cid:71)(cid:93)x -x é ê f x 1 - f x 2 ù ú>0(cid:37)(cid:169)gx= f x =x-2+ alnx (cid:37)(cid:88)g¢x³0
x -x 1 2 ë x x û x x
1 2 1 2
(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:106)g¢x=
x2+a1-lnx
(cid:37)(cid:97)(cid:169)hx=x2+a1-lnx(cid:37)(cid:97)hx³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:189)(cid:190)a(cid:58)(cid:239)(cid:23)(cid:292)(cid:23)(cid:162)(cid:95)
x2
2x2-a
h¢x= (cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:93)(cid:139)(cid:146)(cid:43)(cid:37)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:139)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60).
x
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32) f x(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)xÎ0,+¥, f¢x=2x-2+ a = 2x2-2x+a (cid:37)
x x
(cid:169)gx=2x2-2x+a(cid:37)
(cid:197)QΔ=4-8a(cid:37)
1
1o(cid:37)(cid:56)Δ£0(cid:37)(cid:88)a³ (cid:95)(cid:37)gx³0(cid:37)(cid:110)(cid:95) f¢x>0, f x(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)
2
1
2o(cid:37)(cid:56)Δ>0(cid:37)(cid:88)a< (cid:95)(cid:37)
2
(cid:169)gx=0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x
=
1- 1-2a
,x =
1+ 1-2a
1 2 2 2
1
(cid:96)(cid:50)(cid:37)(cid:56)00(cid:37)(cid:177)(cid:294)(cid:102)xx (cid:93) 1 > 2 (cid:37)
1 2 2 1 1 2 1 2 x x
1 2
f x alnx
(cid:101)(cid:102)(cid:169)Gx= =x-2+ (cid:37)
x x
a1-lnx
(cid:56)xÎ0,+¥(cid:95)(cid:37)G¢x=1+ ³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
x2
1o(cid:37)(cid:36)a=0,G¢x=1>0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:175)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:37)
1 lnx-1
2o(cid:37)(cid:56)a>0, ³ (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
a x2
lnx-1 3-2lnx
(cid:169)Fx= (cid:97)F¢x= (cid:37)
x2 x3
æ 3ö æ 3 ö
(cid:101)(cid:102)Fx(cid:81)ç0,e2÷(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)çe2,+¥÷(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
è ø è ø
(cid:101)(cid:102) 1 ³F æ çe 3 2 ö ÷= 1 (cid:37)(cid:101)(cid:102)aÎ 0,2e3
û
ù(cid:37)
a è ø 2e3
1 lnx-1
3o(cid:37)(cid:36)a<0(cid:37)(cid:177)(cid:15) £ (cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:106)2o(cid:34)(cid:37)(cid:56)x®0+,Fx®-¥
a x2
(cid:101)(cid:102)(cid:113)(cid:178)(cid:81)(cid:295)(cid:296)(cid:128)(cid:129)(cid:40)a.
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:10)aÎ 0,2e3ù.
û
é f x f x ù
(cid:151)(cid:161)(cid:10)x 1 -x 2 ë éx 2 f x 1 -x 1 f x 2 û ù>0Ûx 1 -x 2 ê ë x 1 - x 2 ú û >0.
1 2
(cid:169)gx= f x =x-2+ alnx (cid:37)(cid:97)(cid:193)(cid:204)gx(cid:81)0,+¥(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
x x
(cid:88)g¢x³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
g¢x=
x2+a1-lnx
(cid:37)(cid:169)hx=x2+a1-lnx(cid:37)(cid:97)hx³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:44)
x2
a 2x2-a
(cid:197)h¢x=2x- = (cid:37)
x x
(cid:56)a=0(cid:95)(cid:37)hx=x2,hx(cid:81)0,+¥(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:91)(cid:92)(cid:44)
①(cid:56)a<0(cid:95)(cid:37)h¢x>0,hx(cid:81)0,+¥(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:197)x®0,hx®-¥(cid:37)(cid:100)hx³0(cid:113)(cid:90)(cid:91)(cid:92).(cid:113)(cid:295)(cid:296)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
② (cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:106)h¢x=0(cid:93)x= a ,hx(cid:81) æ ç
ç
0, a ö ÷
÷
(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81) æ ç
ç
a ,+¥ ö ÷
÷
(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
2 è 2ø è 2 ø
③
æ a ö aæ 3ö
(cid:98)(cid:73)hx³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:101)(cid:102)h(x) min =hç ç è 2 ÷ ÷ ø = 2 ç è 3-ln 2 ÷ ø ³0(cid:37)
(cid:24)(cid:93)0-1(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:10) f x(cid:81)-π,π(cid:75)(cid:145)3(cid:107)(cid:162)(cid:78).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)y=x
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=0(cid:95)(cid:39)(cid:67) f 0(cid:23) f¢0(cid:37)(cid:89)(cid:106)(cid:179)(cid:48)(cid:40)(cid:78)(cid:166)(cid:124)(cid:133)(cid:119)(cid:71)(cid:93)(cid:25)(cid:62)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32) f 0=0(cid:93)0(cid:49) f x(cid:40)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:89)(cid:86)(cid:87)(cid:67) f x(cid:73)(cid:240)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:193)(cid:204)(cid:127)(cid:45)(cid:46) f x(cid:81)0,π(cid:75)(cid:145)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)
(cid:88)(cid:71)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:67) f x(cid:81)0,π(cid:75)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:148)(cid:114) f 0=0, f π<0(cid:71)(cid:93)(cid:25)(cid:62).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=0(cid:95)(cid:37) f x=xcosx, f 0=0(cid:37)
f¢x=cosx-xsinx, f¢0=1(cid:37)
(cid:100)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78) 0, f 0 (cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)y=x(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:98)(cid:73) f 0=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)0(cid:49) f x(cid:40)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)xÎR(cid:95)(cid:37)
f -x=-asinx-xcosx=-f x(cid:37)(cid:101)(cid:102) f x(cid:73)(cid:240)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:54)(cid:74)(cid:3)(cid:79)(cid:231)(cid:78)(cid:52)(cid:53)(cid:37)
(cid:127)(cid:45) f x(cid:81)-π,π(cid:75)(cid:145)3(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:193)(cid:204)(cid:127)(cid:45)(cid:46) f x(cid:81)0,π(cid:75)(cid:145)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
f¢x=a+1cosx-xsinx, f¢0=a+1(cid:37)
(cid:169)(cid:35)(cid:13)gx= f¢x=a+1cosx-xsinx,g¢x=-a+2sinx-xcosx(cid:37)
éπ ö
(cid:56)xÎ
ê
,π÷(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)
ë2 ø
æ πö æ πö
(cid:56)xÎç0, ÷(cid:95)(cid:37)g¢x<0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13)gx= f¢x(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
è 2ø è 2ø
æπö π æ πö
(cid:98)(cid:73) f¢0=a+1>0, f¢ ç ÷=- <0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:178)(cid:81)x Îç0, ÷(cid:37)(cid:203)(cid:93) f¢x =0(cid:37)
è2ø 2 0 è 2ø 0
(cid:56)xÎ0,x (cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)(cid:56)xÎx ,π(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)
0 0(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)0,x (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)x ,π(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
0 0
(cid:98)(cid:73) f 0=0, f x >0, f π=-π<0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)0,π(cid:75)(cid:145)1(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
0
(cid:100) f x(cid:81)-π,π(cid:75)(cid:145)3(cid:107)(cid:162)(cid:78).
2 2
6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:300)(cid:273)(cid:289)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=-2alnx- (cid:37)gx=ax-2a+1lnx- (cid:37)(cid:96)(cid:50)aÎR(cid:26)
x x
(1)(cid:36) f¢2=0(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:43)
(2)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:39)(cid:35)(cid:13)gx(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
é1 ù
(3)(cid:36)(cid:178)(cid:81)xÎ ,e2 (cid:203)(cid:93)(cid:113)(cid:99)(cid:124) f x£ gx(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:26)
ê ú
ëe û
1
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)
2
(2)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(3)
-e,+¥
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:71)(cid:93) f¢x(cid:37)(cid:106) f¢2=0(cid:271)(cid:272)(cid:301)(cid:302)(cid:37)(cid:88)(cid:71)(cid:39)(cid:24)(cid:44)
ax-1x-2 1 1 1
(cid:27)2(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:71)(cid:93)g¢x= (cid:37)(cid:199)(cid:68)(cid:66)a= ,a> ,00(cid:95)(cid:37)(cid:169)g¢x=0(cid:37)(cid:71)(cid:93)x= >0(cid:134)x=2(cid:37)
a
1 1
(cid:56) =2(cid:37)(cid:88)a= (cid:95)(cid:37)
a 2
① (cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)x>0(cid:37)g¢x>0(cid:37)gx(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)0,+¥(cid:26)
1 1
(cid:56)0< <2(cid:37)(cid:88)a> (cid:95)(cid:37)
a 2
②
1 1
g¢x>0(cid:37)(cid:93)02(cid:37)g¢x<0(cid:37)(cid:93) 2(cid:37)(cid:88)00(cid:37)(cid:93)0 (cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13)gx(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç0, ÷(cid:152)2,+¥(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç ,2÷(cid:44)
2 è aø èa ø
1 æ1 ö æ 1ö
00(cid:37)(cid:56)eF(0)=0(cid:37)
(cid:88)ex-2x-cosx>0(cid:37)(cid:100)ex > f(x)(cid:93)(cid:45).
1
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:21)(cid:77)g(x)=ln(x+1)+ex-2x-cosx,x>-1(cid:37)(cid:97)g¢(x)= +ex-2+sinx,x>-1(cid:37)
x+1
1 1
(cid:169)h(x)=g¢(x)= +ex-2+sinx,x>-1(cid:37)(cid:97)h¢(x)=ex- +cosx,x>-1
x+1 (x+1)2
π π
(cid:56)xÎ(0, )(cid:95)(cid:37)h¢(x)>0(cid:37)(cid:100)(cid:35)(cid:13)h(x)(cid:81)(0, )(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:97)h(x)>h(0)=0(cid:37)(cid:88)g¢(x)>0(cid:37)
2 2
π
(cid:101)(cid:102)g(x)(cid:81)(0, )(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
2
(cid:56)xÎ(-1,0)(cid:95)(cid:37)h¢(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38)h¢(0)=1>0(cid:37)(cid:197)h¢(- 1 )=e - 1 2 +cos(- 1 )-4<0(cid:37)
2 2
1
(cid:100)$x Î(- ,0)(cid:37)(cid:203)(cid:93)h¢(x )=0(cid:37)
0 2 0
(cid:101)(cid:102)(cid:56)xÎ(x ,0)(cid:95)(cid:37)h¢x>0(cid:37)(cid:88)(cid:35)(cid:13)h(x)(cid:81)(x ,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:88)h(x)=g¢(x)2.72 >4, >0(cid:37)(cid:88)g¢(x)= +ex-2+sinx>0(cid:37)
2 x+1 x+1
π
(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:81)[ ,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
2
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:37)(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:81)(x ,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
0
(cid:98)(cid:110)(cid:37)(cid:56)x=0(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:145)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:37)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:73)g(0)=0.
(cid:100)(cid:178)(cid:81)(cid:37)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:73)0.
1
8(cid:26)(cid:27)2024·(cid:310)(cid:311)(cid:312)(cid:125)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=1- -alnx,aÎR.
x
(1)(cid:189)(cid:190) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
(2)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:173)(cid:35)(cid:13)g(x)=a(1-e1-x)-x+1(cid:145)(cid:176)(cid:177)(cid:40)(cid:41)(cid:171)(cid:43)(cid:37)(cid:39)a(cid:40)(cid:43).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)(2)1
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:52)a(cid:163)(cid:316)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:37)a>0,a£0(cid:88)(cid:71).
(cid:27)2(cid:32)(cid:108)(cid:52)g(x)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:66)(cid:65)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:41)(cid:171)(cid:43)(cid:37)(cid:173) f(x)(cid:40)(cid:41)(cid:171)(cid:43)(cid:160)(cid:92)(cid:99)(cid:317)(cid:3)(cid:194)(cid:37)(cid:39)(cid:67)a(cid:88)(cid:71)
1 a 1-ax
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:24) f¢x= - = (cid:37)x>0.
x2 x x2
1 1
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:56) 00(cid:37)f(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)(cid:56) x> (cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)f(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
a a
①
(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f(x)(cid:81)(cid:27)0,+¥(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111). .
② (cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:37)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37) f(x)(cid:81)(cid:27)0, 1 (cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)(cid:27) 1 ,+¥(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
a a
(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f(x)(cid:81)(cid:27)0,+¥(cid:32)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
1
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:93)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:56) x= (cid:95)(cid:37) f(x)(cid:58)(cid:93)(cid:41)(cid:171)(cid:43)1-a+alna(cid:37)
a
g¢x=ae1-x-1,(cid:270)(cid:34)g¢(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112) (cid:37)(cid:169)g¢(x)=0(cid:37)x=1+alna(cid:37)
(cid:56)x<1+alna(cid:95)(cid:37) g¢x>0(cid:37)g(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111); (cid:56)x>1+alna(cid:95)(cid:37)g¢x<0(cid:37)(cid:157)g(x)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)
x=1+alna(cid:95)(cid:37)g(x)(cid:58)(cid:93)(cid:41)(cid:171)(cid:43)1-a+alna
(cid:318)(cid:21)(cid:77)(cid:37)(cid:145)1-a+alna=a-1-lna(cid:37)(cid:101)(cid:102)2a-2-lna-alna=0
1 1
(cid:169)h(x)=2x-2-lnx-xlnx (x>0) (cid:97) h¢x=2- -lnx+1=1- -lnx.
x x
1
(cid:106) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:71)(cid:34)(cid:37)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f(x)=1- -lnx.(cid:81)x=1(cid:95)(cid:58)(cid:93)(cid:41)(cid:171)(cid:43)0(cid:37)(cid:88) f(x)£0,(cid:83)(cid:84)(cid:71)(cid:93)
x
1
h¢x=1- -lnx£0(cid:37)(cid:98)(cid:110)h(x)(cid:81)(cid:27)0,+¥(cid:32)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:197)h(1)=0,
x
(cid:101)(cid:102)2a-2-lna-alna=0(cid:37)a=1.
9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=x(ex-ax2).
(1)(cid:36)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:81)x=-1(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:173)y(cid:319)(cid:320)(cid:179)(cid:37)(cid:39)y= f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43).
(2)(cid:36) f(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:39)a.
1
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:146)(cid:42)(cid:43)- (cid:37)(cid:168)(cid:146)(cid:171)(cid:43)(cid:44)
e
e2
(2)a= .
4
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:149)(cid:150)(cid:77)(cid:104)(cid:39)(cid:67)a(cid:37)(cid:89)(cid:66)(cid:65)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:39)(cid:67)(cid:146)(cid:43).
ex
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:35)(cid:13)(cid:162)(cid:78)(cid:40)(cid:77)(cid:104)(cid:37)(cid:99)(cid:172)(cid:261)(cid:55)(cid:93)a= (cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:24)(cid:37)(cid:214)(cid:16)(cid:73)(cid:179)(cid:48)(cid:173)(cid:35)(cid:13)(cid:54)(cid:74)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:174)(cid:78)(cid:39)(cid:24).
x2
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:35)(cid:13) f(x)=x(ex-ax2)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93) f¢(x)=(x+1)ex-3ax2(cid:37) f¢(-1)=-3a(cid:37)(cid:318)(cid:21)(cid:77)(cid:37) f¢(-1)=0(cid:37)(cid:97)a=0(cid:37) f(x)=xex, f¢(x)=(1+x)ex(cid:37)
(cid:56)x<-1(cid:95)(cid:37) f¢(x)<0(cid:37)(cid:56)x>-1(cid:95)(cid:37) f¢(x)>0(cid:37)
(cid:98)(cid:110)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:81)(-¥,-1)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(-1,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
1
(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:81)x=-1(cid:143)(cid:58)(cid:93)(cid:146)(cid:42)(cid:43) f(-1)=- (cid:37)(cid:168)(cid:146)(cid:171)(cid:43).
e
(cid:27)2(cid:32)(cid:35)(cid:13) f(x)=x(ex-ax2)(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:99)(cid:172)(cid:79)y=ex-ax2(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:72)g(x)=ex-ax2(cid:37)(cid:97)(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)g(x)=0(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:24)(cid:37)
ex ex
(cid:88)a= (cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:24)(cid:37)(cid:79)(cid:49)(cid:47)(cid:48)y= (x>0)(cid:173)(cid:179)(cid:48)y=a(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:7)(cid:180)(cid:78)(cid:37)
x2 x2
ex ex(x-2)
(cid:169)j(x)= (x>0)(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93)j¢(x)= (cid:37)(cid:56)x<2(cid:95)(cid:37)j¢(x)<0(cid:37)(cid:56)x>2(cid:95)(cid:37)j¢(x)>0(cid:37)
x2 x3
(cid:98)(cid:110)(cid:35)(cid:13)j(x)(cid:81)(0,2)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(2,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
e2
(cid:35)(cid:13)j(x)(cid:81)x=2(cid:58)(cid:93)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:177)(cid:95)(cid:80)(cid:49)(cid:41)(cid:42)(cid:43)j(2)= (cid:37)
4
(cid:56)x®0(cid:95)(cid:37)j(x)®+¥(cid:44)(cid:56)x®+¥(cid:95)(cid:37)j(x)®+¥(cid:37)
ex
(cid:321)(cid:288)j(x)= (cid:171)(cid:322)(cid:40)(cid:54)(cid:74)(cid:37)(cid:323)(cid:54)(cid:37)
x2
e2
g(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:95)(cid:37)a=j(2)= (cid:37)
4
e2
(cid:101)(cid:102) f(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:324)(cid:37)a= .
4
10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:274)(cid:325)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=lnx+1+kx+1(cid:26)
(1)(cid:39) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(2)(cid:36) f x£-1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)k(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
n lni nn-1
(3)(cid:39)(cid:45)(cid:10)å < (cid:26)(cid:27)nÎN(cid:38)n³2(cid:32)
i+1 4
i=2
æ 1ö æ 1 ö
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç-1,-1- ÷(cid:37)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç-1- ,+¥÷(cid:26)
è kø è k ø
(2)k £-1
(3)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:52)(cid:35)(cid:13) f x(cid:39)(cid:147),(cid:89)(cid:69)(cid:70)k(cid:40)(cid:239)(cid:292)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:88)(cid:71);
(cid:27)2(cid:32)(cid:36) f x£-1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:88) f x £-1(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:27)1(cid:32)(cid:50) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:39)(cid:67)(cid:96)(cid:41)(cid:171)(cid:43)(cid:88)(cid:71)(cid:187)(cid:124)(cid:39)(cid:24).
max
(cid:27)3(cid:32)(cid:106)(cid:27)2(cid:32)(cid:34)(cid:56)k =-1(cid:95),(cid:145)lnx+1-x+1£-1(cid:81)-1,+¥(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:169)x=n2 nÎN*,n>1 ,(cid:88)(cid:71)(cid:326)(cid:67)
lnn < n-1 nÎN*,n³2 (cid:37)(cid:89)(cid:52)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:153)(cid:327)(cid:328)(cid:329)(cid:39)(cid:152),(cid:88)(cid:71)(cid:326)(cid:67)(cid:148)(cid:190).
n+1 2
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)-1,+¥(cid:26)
1
f¢x= +k(cid:26)
x+1
k ³0(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37) f x(cid:40)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)-1,+¥(cid:37)(cid:168)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
① k <0(cid:95)(cid:37)(cid:169) f¢x>0(cid:93)-1-1- 1 (cid:37)
k k
③
æ 1ö æ 1 ö
(cid:101)(cid:102) f x(cid:40)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç-1,-1- ÷(cid:37)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç-1- ,+¥÷(cid:26)
è kø è k ø
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:37)k ³0(cid:95)(cid:37) f x(cid:81)-1,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37) f 0=k ³0(cid:37)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:37)
æ 1ö
(cid:100)(cid:193)(cid:30)(cid:109)k <0(cid:40)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:34) f x = f ç-1- ÷=-1-ln-k£-1
max è kø
(cid:88)ln-k³0Þ-k ³1Þk £-1
(cid:116)(cid:75)(cid:37)k(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:73)k £-1(cid:26)
(cid:27)3(cid:32)(cid:106)(cid:27)2(cid:32)(cid:34)(cid:10)(cid:56)k =-1(cid:95)(cid:37)lnx+1-x+1£-1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:101)(cid:102)lnx+1£x(cid:37)
(cid:101)(cid:102)lnx1 (cid:37)
(cid:163)(cid:84)lnn2 0)
x
(1)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
a
(2)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x(cid:37)(cid:35)(cid:13)g(x)=x-sinx- (cid:81)R(cid:75)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:73)x(cid:26)(cid:45)(cid:46)(cid:10)x 0)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)0,+¥(cid:37)
x
1 a ax-1
(cid:38) f¢(x)=- + = (cid:37)
x2 x x2
1 1
(cid:101)(cid:102)(cid:56)0 (cid:95) f¢(x)>0(cid:37)
a a
æ 1ö æ1 ö
(cid:101)(cid:102) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç0, ÷(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç ,+¥÷(cid:44)
è aø èa ø
1 æ1ö
(cid:27)2(cid:32)(cid:151)(cid:22)(cid:10)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:34)(cid:36)(cid:35)(cid:13) f x(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x(cid:37)(cid:97)x = (cid:37)(cid:88) f ç ÷=-alna+a+1=0(cid:37)
1 1 a èaø
(cid:169)jx=-xlnx+x+1(cid:37)(cid:97)j¢x=-lnx(cid:37)
(cid:56)x>1(cid:95)(cid:37)j¢x<0,jx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:56)00,jx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:98)(cid:73)e4 >2.74 =53.1441>27(cid:37)e5 <35 =243<256(cid:37)
(cid:101)(cid:102)j3=-3ln3+4=4-ln27=lne4-ln27>0(cid:37)
j4=-4ln4+5=5-ln256=lne5-ln256<0(cid:37)
(cid:56)00(cid:37)(cid:56)x®+¥(cid:95)jx®-¥(cid:37)
1 1 1
(cid:101)(cid:102)jx(cid:81)3,4(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:101)(cid:102)3hç ÷= +sin - > +sin - =sin >0(cid:37)
èaø è3ø e2 3 3 32 3 3 3
1 1
(cid:101)(cid:102)ae-2 > -sin (cid:37)
a a
(cid:197)gx =x -sinx -ae-2 =0(cid:37)
2 2 2
1 1
(cid:101)(cid:102)x -sinx =ae-2 > -sin =x -sinx (cid:37)
2 2 a a 1 1
(cid:169)Fx= x-sinx(cid:37)(cid:97)F¢x=1-cosx³0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)Fx(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197)Fx >Fx (cid:37)
2 1
(cid:101)(cid:102)x >x .
2 1
1
(cid:151)(cid:161)(cid:10)(cid:98)(cid:73)a>0(cid:37)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:34)(cid:36)(cid:35)(cid:13) f x(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x(cid:37)(cid:97)x = (cid:37)
1 1 a
1 1
(cid:88) f x =alnx + +1= lnx +x +1=0Þlnx +x +1=0(cid:37)
1 1 x x 1 1 1 1
1 1
æ1ö æ 1 ö
(cid:72)h(x)=lnx+x+1,hç ÷>0,hç ÷<0(cid:37)(cid:84)hx(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
èeø èe2 ø
æ 1 1ö
(cid:101)(cid:102)x Îç , ÷(cid:37)g¢(x)=1-cosx(cid:304)0(cid:37)(cid:101)(cid:102)gx(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
1 èe2 eø
a
(cid:197)g(0)=- <0,\x >0(cid:37)
e2 1
1 1
(cid:169)j(x)=x-sinx- ,j¢(x)=1-cosx+ >0(cid:37)(cid:101)(cid:102)j(x)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
e2x e2x2
æ1ö 1 a 1
(cid:101)(cid:102)\jx 0, f(x)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
\f(x)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:73) f(0)=0.
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:37)h(x)= f¢(x)=x-cosx+a(cid:37)
Qh¢(x)=1+sinx³0(cid:37)(cid:100)h(x)(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:88) f¢(x)(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197) f¢(-2-a)=-2-cos(2+a)<0, f¢(2-a)=2-cos(2-a)>0(cid:37)
\f¢(-2-a)× f¢(2-a)<0(cid:37)
\f¢(x)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:261)(cid:9)(cid:162)(cid:78)x (cid:37)
0
(cid:88) f(x)(cid:145)(cid:38)(cid:57)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:146)(cid:43)(cid:78)x .
0
(cid:106) (cid:34)(cid:10) f(x)(cid:145)(cid:38)(cid:57)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:146)(cid:43)(cid:78)x (cid:38) f¢x =x -cosx +a=0(cid:37)(cid:97)a=cosx -x
0 0 0 0 0 0
②(cid:56)aÎ①[-1-π,1](cid:95)(cid:37) f¢(0)=-1+a£0, f¢(π)=π+1+a³0(cid:37)
(cid:106) (cid:34)(cid:10)0£x £π(cid:37)(cid:127)(cid:45) f(x )³ g(x )(cid:37)
0 0 0
(cid:193) ① (cid:204)(cid:45)(cid:10)Fx = f x -gx = 1 x2-sinx +ax - æ ç- 1 x2+2sinx -2x ö ÷³0(cid:37)
0 0 0 2 0 0 0 è 2 0 0 0ø
(cid:84)a=cosx -x (cid:37)(cid:346)(cid:347)Fx =2x -3sinx +x cosx 0£x £π.
0 0 0 0 0 0 0 0
\F¢x =2-2cosx -x sinx (cid:37)
0 0 0 0
(cid:169)Px =F¢x (cid:37)(cid:97)P¢x =sinx -x cosx (cid:37)
0 0 0 0 0 0
(cid:72)Sx =P¢x (cid:37)(cid:97)S¢x =x sinx (cid:37)(cid:197)x Î 0,π (cid:37)
0 0 0 0 0 0
(cid:101)(cid:102)S¢x ³0(cid:37)\Sx (cid:81) 0,π (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:88)P¢x (cid:81) 0,π (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
0 0 0(cid:197)P¢(0)=0(cid:37)\P¢x ³0(cid:37)\Px (cid:81) 0,π (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
0 0
(cid:88)F¢x (cid:81) 0,π (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:197)F¢(0)=0(cid:37)\F¢x ³0(cid:37)
0 0
\Fx (cid:81) 0,π (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)\Fx ³F0=0(cid:37)
0 0
(cid:116)(cid:75)(cid:101)(cid:117)(cid:37)aÎ[-1-π,1](cid:95)(cid:37) f x ³gx .
0 0
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:348)(cid:21)(cid:349)(cid:161)(cid:205)(cid:40)(cid:349)(cid:161)(cid:42)(cid:205)(cid:37)(cid:201)(cid:108)(cid:204)(cid:127)(cid:52)(cid:127)(cid:45)(cid:148)(cid:190)(cid:261)(cid:55)(cid:37)(cid:89)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)
Fx = f x -gx (cid:37)(cid:155)(cid:156)a=cosx -x (cid:37)(cid:214)(cid:16)(cid:73)(cid:45)(cid:46)Fx =2x -3sinx +x cosx ³00£x £π(cid:37)(cid:348)(cid:21)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(cid:349)(cid:161)(cid:107)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:81)(cid:79)(cid:204)(cid:127)(cid:350)(cid:202)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:35)(cid:13)(cid:43)(cid:113)(cid:42)(cid:79)0(cid:37)(cid:179)(cid:139)(cid:93)(cid:67)Fx (cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:89)
0
(cid:106)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:93)(cid:67)(cid:148)(cid:190)(cid:37)(cid:118)(cid:119)(cid:351)(cid:352)(cid:37)(cid:146)(cid:270)(cid:67)(cid:353).
2
13(cid:26)(cid:27)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:267)(cid:356)(cid:357)(cid:288)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=lnx+ -a(x+1)(aÎR).
x
(1)(cid:56)a=-1(cid:95)(cid:37)(cid:189)(cid:190) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
(2)(cid:36)x,x x 1)(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)g(t)=lnt- (t >1)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:234)(cid:235)g(x)(cid:81)(1,+¥)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:88)(cid:71)(cid:93)(cid:45).
x 1 t
2
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=-1(cid:95)(cid:37) f(x)=lnx+ +x+1, f(x)(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)(0,+¥)(cid:37)
x
1 2 x2+x-2 (x+2)(x-1)
(cid:101)(cid:102) f¢(x)= - +1= = (cid:37)(cid:169) f¢(x)=0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x=1(cid:37)
x x2 x2 x2
(cid:56)xÎ(0,1)(cid:95)(cid:37) f¢(x)<0(cid:37)(cid:56)xÎ(1,+¥)(cid:95)(cid:37) f¢(x)>0(cid:37)
(cid:100) f(x)(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:26)
1 2 -ax2+x-2
(cid:27)2(cid:32) f¢(x)= - -a= (cid:37)
x x2 x2
(cid:106)(cid:21)(cid:77)(cid:71)(cid:34)(cid:37)x,x x 0 1 1 2
(cid:97)í2a (cid:37)(cid:24)(cid:93)00 8 1 2 a 1 2 a2
1 a 1 8 a æ1ö 8
(cid:127)(cid:45) f x - f x < -4 = × - = × ç ÷ -
2 1 2a 2 a2 a 2 èaø a
a x -x
= × x +x 2-4xx = 2 1 (cid:37)
2 1 2 1 2 xx
1 2
2 é 2 ù x -x
(cid:88)(cid:45)lnx + -ax +1-êlnx + -ax +1 ú< 2 1(cid:37)
2 x 2 ë 1 x 1 û xx
2 1 1 2
x 2x -x x -x
(cid:193)(cid:204)(cid:45)ln 2 + 1 2 -ax -x < 2 1(cid:37)
x xx 2 1 xx
1 1 2 1 2
x x -x 2x -x x -x
(cid:204)(cid:45)ln 2 <2ax -x + 2 1 = 2 1 + 2 1,
x 2 1 xx x +x xx
1 1 2 1 2 1 2
x t-1 2(t-1)
(cid:169)t= 2(t>1)(cid:37)(cid:97)(cid:204)(cid:45)lnt< + (cid:37)
x t t+1
1
2
æ 1 1ö
(cid:72)gt=lnt- t-1 (t>1)(cid:37)(cid:97) t 1 2 - 1 t - 1 2(t-1) - 1 t 1 2 - 1 t - 1 2 +1 çt4 -t - 4÷ (cid:37)
t g¢(t)= 1 - 2 = 2 2 =- è ø <0
t t t 2t
t-1
(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13)g(t)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:101)(cid:102)g(t)1(cid:93)(cid:37) >0(cid:37)(cid:101)(cid:102)lnt< + (cid:37)
t+1 t t+1
1
(cid:100) f x - f x < -4(cid:93)(cid:45),
2 1 2a
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:133)(cid:151)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:52)(cid:79)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:234)(cid:235)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:40)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:173)(cid:145)(cid:24)(cid:205)(cid:21)(cid:40)(cid:39)(cid:24)(cid:330)(cid:331)(cid:10)
(cid:27)1(cid:32)(cid:332)(cid:260)(cid:127)(cid:159)(cid:215)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:234)(cid:235)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:41)(cid:43)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:39)(cid:67)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:155)(cid:156)(cid:71)(cid:66)(cid:303)(cid:261)(cid:317)(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:179)(cid:333)(cid:247)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:205)(cid:21)(cid:26)
(cid:27)3(cid:32)(cid:69)(cid:70)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:134)(cid:145)(cid:24)(cid:39)(cid:24)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:95)(cid:37)(cid:22)(cid:334)(cid:335)(cid:258)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)(cid:151)(cid:37)(cid:253)(cid:336)(cid:319)(cid:305)(cid:21)(cid:50)(cid:337)(cid:338)(cid:339)(cid:139)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)(cid:68)(cid:159)(cid:215)
(cid:40)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:340)(cid:179)(cid:333)(cid:39)(cid:67)(cid:41)(cid:43)(cid:78)(cid:40)(cid:141)(cid:142)(cid:37)(cid:163)(cid:316)(cid:39)(cid:24)(cid:37)(cid:36)(cid:138)(cid:261)(cid:66)(cid:303)(cid:113)(cid:270)(cid:39)(cid:24)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:130)(cid:127)(cid:30)(cid:109)(cid:155)(cid:156)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:151)(cid:152)(cid:218)
(cid:219)(cid:151)(cid:37)(cid:4)(cid:77)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:173)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:205)(cid:21)(cid:40)(cid:217)(cid:200)(cid:26)
14(cid:26)(cid:27)2024·(cid:274)(cid:325)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=ln(1+x)+cosx+a
x3+x2
-x,xÎ(-1,p).
(1)(cid:56)a=0(cid:95)(cid:44)
(cid:27)ⅰ(cid:32)(cid:39)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78)(0, f(0))(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
(cid:27)ⅱ(cid:32)(cid:39) f(x)(cid:162)(cid:78)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:44)
(2)(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:179)(cid:333)(cid:360)(cid:67)a(cid:40)(cid:22)(cid:107)(cid:43)(cid:37)(cid:203)(cid:93)x=0(cid:113)(cid:49) f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:182)(cid:45)(cid:46).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:27)ⅰ(cid:32)y=1;
(cid:27)ⅱ(cid:32) f(x)(cid:81)(-1,p)(cid:145)2(cid:107)(cid:162)(cid:78);
(2)a=1,(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:228)(cid:17)(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(1)(cid:108)(cid:39)(cid:147)(cid:37) f(x)(cid:81)x=0(cid:147)(cid:13)(cid:43)(cid:73)(cid:144)(cid:48)(cid:40)(cid:166)(cid:167)(cid:37)(cid:89)(cid:361)(cid:67)(cid:144)(cid:78)(cid:37)(cid:271)(cid:272)(cid:78)(cid:166)(cid:124)(cid:133)(cid:119)(cid:88)(cid:71)(cid:37)(cid:86)(cid:87)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:39)
(cid:147)(cid:37)(cid:234)(cid:235)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:239)(cid:292)(cid:37)(cid:66)(cid:65)(cid:67)(cid:231)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:86)(cid:87)(cid:217)(cid:212)(cid:132)(cid:40)(cid:40)(cid:239)(cid:292)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:103)(cid:15)(cid:37)(cid:93)(cid:139)(cid:162)(cid:78)(cid:107)(cid:13)(cid:44)
(2)(cid:113)(cid:362)(cid:363)(cid:364) f¢(0)=0(cid:37)(cid:323)(cid:232)x=0(cid:113)(cid:49) f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:97) f¢(x)(cid:81)x=0(cid:183)(cid:184)(cid:153)(cid:365)(cid:126)(cid:366)(cid:177)(cid:9)(cid:37)(cid:101)(cid:102)x=0(cid:113)(cid:71)(cid:340)
(cid:81) f¢(x)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:134)(cid:367)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:368)(cid:37)(cid:98)(cid:110) f¢(x)(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:81)x=0(cid:193)(cid:340)(cid:73)(cid:162)(cid:37)(cid:101)(cid:102)a=1(cid:37)(cid:199)(cid:68)(cid:89)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:45)(cid:46)x=0
(cid:113)(cid:49) f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:88)(cid:71).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=0(cid:95)(cid:37) f(x)=ln(1+x)+cosx-x,xÎ(-1,p)(cid:37)
1
(cid:27)ⅰ(cid:32) f¢(x)= -sinx-1(cid:37) f¢(0)=0(cid:37) f(0)=1(cid:37)
1+x
(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:10)y- f(0)= f¢(0)(x-0)(cid:37)(cid:101)(cid:102)y=1(cid:44)
1 1 1
(cid:27)ⅱ(cid:32) f¢(0)=0(cid:37)(cid:56)xÎ(0,p)(cid:37) < <1,-1<-sinx<0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f¢(x)= -sinx-1<0(cid:37)(cid:88) f x(cid:81)(0,p)
1+p 1+x 1+x
(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
1
(cid:169)g(x)= f¢(x)(cid:37)g¢(x)=- -cosx(cid:37)
(1+x)2
(cid:56)xÎ(-1,0)(cid:95)(cid:37)g¢(x)<0(cid:37)(cid:101)(cid:102)g(x)(cid:81)(-1,0)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:88) f¢(x)(cid:81)(-1,0)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)(cid:197)(cid:98)(cid:73) f¢(0)=0(cid:37)(cid:101)
(cid:102)(cid:37)(cid:56)xÎ(-1,0)(cid:95) f¢(x)>0(cid:37)(cid:88) f x(cid:81)(-1,0)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:98)(cid:110)(cid:10) f x(cid:81)(-1,0)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)(0,p)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
(cid:56)x®-1(cid:95)(cid:37)ln(1+x)®-¥(cid:37) f(x)<0(cid:44) f(0)=1(cid:37)(cid:98)(cid:73) f x(cid:81)(-1,0)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:103)
(cid:15)(cid:37) f(x)(cid:81)xÎ(-1,0)(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)(cid:44)
1 -x
(cid:169)h(x)=ln(1+x)-x(cid:37)h¢(x)= -1= (cid:37)
1+x 1+x
(cid:56)xÎ(-1,0)(cid:95)(cid:37)h¢(x)>0(cid:37)h(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38)h(0)=0(cid:37)
(cid:56) xÎ(0,+¥)(cid:95)(cid:37)h¢(x)<0(cid:37)h(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
(cid:101)(cid:102)hx =h0=0(cid:37)(cid:88)h(x)=ln(1+x)-x£0(cid:37)(cid:101)(cid:102)h(p)=ln(1+p)-p<0(cid:37)
max
(cid:101)(cid:102) f(p)=ln(1+p)-1-p<0(cid:37)(cid:197)(cid:98)(cid:73) f(x)(cid:81)(0,p)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:103)(cid:15) f(x)(cid:81)(0,p)(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78).
(cid:116)(cid:75)(cid:37) f(x)(cid:81)(-1,p)(cid:145)2(cid:107)(cid:162)(cid:78).
(cid:27)2(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)x=0(cid:113)(cid:49) f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:323)(cid:228)(cid:10)
(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f(x)=ln(1+x)+cosx+x3+x2-x,xÎ(-1,p)(cid:37)
1
f¢(x)= -sinx+3x2+2x-1, f¢(0)=0(cid:37)
1+x
1 1
(cid:169)t(x)= f¢(x)= -sinx+3x2+2x-1(cid:37)t¢(x)=- -cosx+6x+2,t¢(0)=0(cid:37)
1+x (1+x)2
1 2
(cid:169)w(x)=- -cosx+6x+2, w¢(x)= +sinx+6(cid:37)
(1+x)2 (1+x)32 2 2
(cid:98)(cid:73)-1£sinx£1(cid:37)(cid:101)(cid:102)w¢(x)= +sinx+6> -1+6= +5>0(cid:37)
(1+x)3 (1+x)3 (1+x)3
(cid:101)(cid:102)w(x)(cid:81)(-1,p)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:197)(cid:98)(cid:73)w(0)=t¢(0)=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)xÎ(-1,0)(cid:95)(cid:37)w(x)<0(cid:37)t¢(x)<0(cid:88)t(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
(cid:56)xÎ(0,p)(cid:95)(cid:37)w(x)>0(cid:37)t¢(x)<0(cid:37)(cid:88)t(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:89)(cid:98)(cid:73)t(0)= f¢(0)=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)t(x)³t(0)=0(cid:37)(cid:88) f¢(x)³0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f(x)(cid:81)(-1,p)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:101)(cid:102) f(x)(cid:81)(-1,p)
(cid:168)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:44)
(cid:116)(cid:75)(cid:37)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)x=0(cid:113)(cid:49) f(x)(cid:40)(cid:146)(cid:43)(cid:78)
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:133)(cid:151)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:348)(cid:21)(cid:349)(cid:22)(cid:205)(cid:30)(cid:369)(cid:39)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:37)(cid:86)(cid:87)(cid:162)(cid:78)(cid:107)(cid:13)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:370)(cid:127)(cid:133)(cid:151)(cid:10)(cid:108)(cid:155)(cid:156)(cid:35)(cid:13)(cid:39)(cid:67)(cid:144)(cid:78)(cid:164)
(cid:165)(cid:37)(cid:89)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:144)(cid:78)(cid:143)(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:43)(cid:99)(cid:79)(cid:144)(cid:48)(cid:40)(cid:166)(cid:167)(cid:88)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:81)x (cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)(cid:10)y- f(x )= f¢(x )(x-x )(cid:44)(cid:162)(cid:78)
0 0 0 0
(cid:107)(cid:13)(cid:205)(cid:21)(cid:370)(cid:127)(cid:133)(cid:151)(cid:145)(cid:10)(cid:234)(cid:235)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:69)(cid:70)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:103)(cid:15)(cid:86)(cid:87)(cid:162)(cid:78)(cid:107)(cid:13)(cid:44)
(cid:349)(cid:161)(cid:205)(cid:30)(cid:369)(cid:39)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:260)(cid:64)(cid:133)(cid:151)(cid:145)(cid:10)(cid:39)(cid:147)(cid:37)(cid:169)(cid:147)(cid:13)(cid:99)(cid:79)(cid:162)(cid:39)(cid:67)(cid:69)x (cid:37)(cid:147)(cid:13)(cid:81)x (cid:40)(cid:183)(cid:184)(cid:153)(cid:365)(cid:35)(cid:13)(cid:43)(cid:126)(cid:366)
0 0
(cid:371)(cid:9)(cid:37)(cid:183)(cid:239)(cid:184)(cid:292)(cid:73)(cid:146)(cid:171)(cid:43)(cid:78)(cid:37)(cid:183)(cid:292)(cid:184)(cid:239)(cid:73)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:78).
15(cid:26)(cid:27)2024·(cid:372)(cid:289)(cid:289)(cid:373)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)=ax-lnx-a(cid:37)(cid:36) f(x)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:73)0(cid:37)
(1)(cid:39)a(cid:40)(cid:43);
1
(2)(cid:36)g(x)=xf(x)(cid:37)(cid:45)(cid:46):g(x)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:146)(cid:171)(cid:43)(cid:78)x (cid:37)(cid:38)gx < .
0 0 4
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)a=1
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:52)(cid:35)(cid:13)(cid:39)(cid:147)(cid:68)(cid:37)(cid:66)a£0(cid:152)a>0(cid:153)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:189)(cid:190)(cid:39)(cid:24)(cid:88)(cid:71)(cid:44)
æ 1ö æ1 ö
(cid:27)2(cid:32)(cid:169)h(x)=g¢(x)=2x-2-lnx(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:68)(cid:71)(cid:93)h(x)(cid:81)ç0, ÷(cid:120)(cid:112)(cid:37)ç ,+¥÷(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:89)(cid:148)(cid:114)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)
è 2ø è2 ø
æ 1ö æ 1ö æ1 ö
(cid:93)h(x)(cid:81)ç0, ÷(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)x Îç0, ÷(cid:203)(cid:93)hx =0(cid:37)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:162)(cid:78)x=1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)x=x (cid:49)g(x)
è 2ø 0 è 2ø 0 è2 ø 0
(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:146)(cid:171)(cid:43)(cid:78).
1 ax-1
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32) f¢(x)=a- = (x>0)(cid:37)
x x
(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f¢(x)<0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:97) f(x)(cid:284)(cid:145)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:37)
1 1
(cid:56)a>0(cid:95)(cid:37)(cid:106) f¢(x)>0(cid:37)(cid:93)x> (cid:37)(cid:106) f¢(x)<0(cid:37)(cid:93)00)(cid:37)
a a
(cid:56)00(cid:37)(cid:56)a >1(cid:95)(cid:37)t¢(a)<0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)t(a)(cid:81)(0,1)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)(1,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)t(a) =t(1)=0(cid:37)
max
(cid:101)(cid:102)(cid:133)(cid:119)1+lna-a=0(cid:145)(cid:38)(cid:193)(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:24)a=1(cid:37)
(cid:116)(cid:75)(cid:37)a=1(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:45)(cid:46):(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)g(x)= x2-x-xlnx,g¢(x)=2x-2-lnx(cid:37)
1 2x-1
(cid:169)h(x)=2x-2-lnx,h¢(x)=2- = (x>0)(cid:37)
x x
1 1
(cid:56)0 (cid:95)(cid:37)h¢(x)>0(cid:37)
2 2
æ 1ö æ1 ö
(cid:101)(cid:102)h(x)(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)ç ,+¥÷(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
è 2ø è2 ø
æ1ö æ 1 ö 2
(cid:98)(cid:73)hç ÷=ln2-1<0,hç ÷= >0,h(1)=0(cid:37)
è2ø èe2 ø e2
æ 1ö æ 1ö æ1 ö
(cid:101)(cid:102)h(x)(cid:81)ç0, ÷(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)x Îç0, ÷(cid:203)(cid:93)hx =0(cid:37)(cid:81)ç ,+¥÷(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:162)(cid:78)x=1(cid:37)
è 2ø 0 è 2ø 0 è2 ø
(cid:101)(cid:102)(cid:56)01(cid:95)(cid:37)h(x)>0(cid:37)(cid:88)g¢(x)>0(cid:37)
0
(cid:56)x n+1e nÎN*(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:73)1(cid:37)(cid:168)(cid:146)(cid:171)(cid:43).
1
(2)a£-
e
(3)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65).
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:247)a=-1(cid:271)(cid:272)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:146)(cid:43).
(cid:27)2(cid:32)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)(cid:182)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:89)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:88)(cid:71).
(cid:27)3(cid:32)(cid:155)(cid:156)(cid:27)2(cid:32)(cid:40)(cid:148)(cid:190)(cid:71)(cid:93)x³elnx(cid:37)(cid:89)(cid:155)(cid:156)(cid:378)(cid:43)(cid:151)(cid:148)(cid:114)(cid:13)(cid:187)(cid:39)(cid:152)(cid:88)(cid:93).
1 1 1 x-1
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=-1(cid:95)(cid:37) f x=lnx+ (cid:37)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)0,+¥(cid:37)(cid:97) f¢x= - = (cid:37)
x x x2 x2
(cid:56)01(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)(cid:97) f x(cid:81)0,1(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)1,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:145)(cid:146)(cid:42)(cid:43) f 1=1(cid:37)(cid:168)(cid:146)(cid:171)(cid:43).
(cid:27)2(cid:32)(cid:98)(cid:73) f x³0(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:93)"x>0(cid:37)a£xlnx(cid:37)(cid:169)gx=xlnx(cid:37)x>0(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:40)g¢x=1+lnx(cid:37)
1 1
(cid:56)0 (cid:95)(cid:37)g¢x>0(cid:37)
e e
æ 1ö
(cid:88)(cid:35)(cid:13)gx(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)e,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
è eø
æ1ö 1
(cid:98)(cid:110)g x=gç ÷=- (cid:37)(cid:97) (cid:37)(cid:101)(cid:102)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60) .
min èeø e e e
𝟏 𝟏
𝐚≤− 𝐚≤−
1 1 1 1
(cid:27)3(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:106)(cid:27)2(cid:32)(cid:34)(cid:37)a=- (cid:95)(cid:37)(cid:88)lnx³- Þ ³eln Þx³elnx(cid:37)
e ex x x
n+1 n+1
(cid:79)(cid:49) ³eln =eé ëlnn+1-lnnù
û
(cid:37)
n n
n n
³eln =eé ëlnn-lnn-1ù
û
(cid:37)¼(cid:37)
n-1 n-1
2 2
³eln =eln2-ln1(cid:37)
1 1
n+1 n 2
(cid:98)(cid:110) + +L+ >eé ëlnn+1-lnn+lnn-lnn-1+L+ln2-ln1ù
û
=elnn+1
n n-1 1
3 n+1
(cid:101)(cid:102)
e
2+
2
+¼+
n
>n+1e.
sinx
17(cid:26)(cid:27)2024·(cid:310)(cid:311)(cid:91)(cid:377)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f(x)= -m,xÎ(0,π).
ex
(1)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(2)(cid:36)x
π
2
(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:37)(cid:36)x
2
>
π
2
(cid:95)(cid:37)(cid:72)g(x)=
π
-m(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)(cid:93)(cid:97)g(x)(cid:81)(0,π)
e4
(cid:170)(cid:145)(cid:153)(cid:162)(cid:78)x*(cid:152)x*(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:239)(cid:381)(cid:35)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:85)(cid:71)(cid:34)x*+x* =π(cid:37)(cid:199)(cid:68)(cid:45)(cid:46)x +x < x*+x*(cid:91)(cid:92)(cid:88)(cid:71).
1 2 1 2 1 2 1 2
sinx cosx-sinx
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:106) f(x)= -m,xÎ(0,π)(cid:93) f¢(x)= (cid:37)
ex ex
æ πö æπ ö
(cid:56)xÎç0, ÷(cid:95)(cid:37) f¢(x)>0, f(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)(cid:56)xÎç ,π÷(cid:95)(cid:37) f¢(x)<0, f(x)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112).
è 4ø è4 ø
æ πö æπ ö
(cid:100) f(x)(cid:157)(cid:111)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç0, ÷, f(x)(cid:157)(cid:112)(cid:217)(cid:212)(cid:73)ç ,π÷.
è 4ø è4 ø
æ πö æπ ö æπö
(cid:27)2(cid:32)(cid:27)i(cid:32)(cid:106)(cid:21)(cid:72)(cid:258)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:103)(cid:15)(cid:71)(cid:34)x Îç0, ÷,x Îç ,π÷(cid:37)(cid:38)(cid:145) f(0)= f(π)<0(cid:37)(cid:38) f ç ÷>0(cid:37)(cid:101)(cid:102)
1 è 4ø 2 è4 ø è4ø
ì0-m<0
ï
ï í 2 (cid:37)(cid:101)(cid:102)00 2 è 2 ø
ï π
î e4
π π π
(cid:27)ii(cid:32)(cid:36)x £ (cid:95)(cid:37)(cid:97)x +x < + <π(cid:44)
2 2 1 2 4 2
sinx
(cid:36)x 2 >
π
2
(cid:95)(cid:37)(cid:72)g(x)=
π
-m(cid:37)(cid:145)g(0)=g(π)<0(cid:37)(cid:38)g æ
ç è
π
4
ö
÷ ø >0(cid:37)
e4
æ πö æ3π ö
(cid:97)g(x)(cid:81)(0,π)(cid:170)(cid:145)(cid:153)(cid:162)(cid:78)x*(cid:152)x*(cid:37)(cid:96)(cid:50)x*Îç0, ÷,x*Îç ,π÷(cid:37)
1 2 1 è 4ø 2 è 4 ø
π
(cid:84)g(x)(cid:3)(cid:79)x= (cid:52)(cid:53)(cid:37)(cid:38)(cid:145)x*+x* =π.
2 1 2
sinx æ πö sinx* sinx sinx
(cid:106) π (cid:81)ç è 0, 2 ÷ ø (cid:157)(cid:111)(cid:37)(cid:34)m= π 1 = ex1 1 > π 1 (cid:37)(cid:145)x 1 < x 1 *(cid:37)
e4 e4 e4
sinx æπ ö sinx* sinx sinx
(cid:106) π (cid:81)ç è2 ,π÷ ø (cid:157)(cid:112)(cid:37)(cid:34)m= π 2 = ex2 2 < π 2 (cid:37)(cid:145)x 2 < x 2 *(cid:37)
e4 e4 e4
(cid:97)x +x < x*+x*(cid:37)(cid:88)x +x <π.
1 2 1 2 1 2(cid:116)(cid:75)(cid:37)x +x <π.
1 2
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:133)(cid:151)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:52)(cid:79)(cid:35)(cid:13)(cid:162)(cid:78)(cid:40)(cid:107)(cid:13)(cid:40)(cid:176)(cid:3)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:152)(cid:13)(cid:55)(cid:148)(cid:114)(cid:40)(cid:13)(cid:11)(cid:122)(cid:344)(cid:246)(cid:39)(cid:24)(cid:26)(cid:382)(cid:188)(cid:205)(cid:21)
(cid:39)(cid:24)(cid:40)(cid:332)(cid:151)(cid:49)(cid:10)
(cid:27)1(cid:32)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:382)(cid:49)(cid:24)(cid:383)(cid:110)(cid:188)(cid:21)(cid:40)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:152)(cid:362)(cid:78)(cid:37)(cid:182)(cid:39)(cid:96)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:13)(cid:37)(cid:93)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:152)(cid:146)(cid:43)(cid:78)(cid:44)
(cid:27)3(cid:32)(cid:13)(cid:55)(cid:148)(cid:114)(cid:37)(cid:384)(cid:385)(cid:243)(cid:343)(cid:128)(cid:129)(cid:37)(cid:137)(cid:103)(cid:35)(cid:13)(cid:54)(cid:74)(cid:173)x(cid:319)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:163)(cid:84)(cid:39)(cid:24).
18(cid:26)(cid:27)2024·(cid:386)(cid:274)(cid:387)(cid:298)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=xex-alnx+x(cid:37)(cid:96)(cid:50)e(cid:49)(cid:341)(cid:199)(cid:52)(cid:13)(cid:40)(cid:388)(cid:13).
(1)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:39)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78) 1, f 1 (cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:40)(cid:166)(cid:389)(cid:124)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
(2)(cid:56)a=e(cid:95)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:101)(cid:145)(cid:162)(cid:78)(cid:44)
(3)(cid:45)(cid:46)(cid:10)x2ex >x+2lnx+2sinx.
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)y=2e-2x-e+1(cid:44)
(2) f x(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x=1(cid:44)
(3)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65).
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:247)a=1(cid:271)(cid:272)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:37)(cid:89)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:149)(cid:150)(cid:77)(cid:104)(cid:39)(cid:67)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119).
(cid:27)2(cid:32)(cid:247)a=e(cid:271)(cid:272)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:390)(cid:189)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:88)(cid:93).
(cid:27)3(cid:32)(cid:52)(cid:101)(cid:45)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:345)(cid:99)(cid:172)(cid:261)(cid:55)(cid:93)x(elnx+x-x-lnx-1)+(x2-lnx2-1)+(x-sinx)+(1-sinx)>0(cid:37)(cid:89)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)
(cid:318)(cid:202)(cid:45)(cid:46)(cid:88)(cid:93).
1
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f x=xex-lnx+x(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93) f¢x=x+1ex- -1(cid:37)
x
(cid:97) f¢1=2e-2(cid:37)(cid:197) f 1=e-1(cid:37)
(cid:98)(cid:110)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78) 1, f 1 (cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)y-e-1=2e-2x-1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:144)(cid:48)(cid:40)(cid:166)(cid:389)(cid:124)(cid:133)(cid:119)(cid:73)y=2e-2x-e+1.
e (x+1)(xex-e)
(cid:27)2(cid:32)(cid:56)a=e(cid:95)(cid:37) f(x)=xex-e(lnx+x)(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93) f¢(x)=(x+1)ex- -e= (cid:37)
x x
(cid:169)ux=xex-e(cid:37)x>0(cid:37)(cid:97)u¢x=x+1ex >0(cid:37)
(cid:97)ux(cid:81)0,+¥(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:84)u1=0(cid:37)(cid:56)xÎ0,1(cid:95)(cid:37)ux<0(cid:37)(cid:88) f¢x<0(cid:37)
(cid:56)x>1(cid:95)(cid:37)ux>0(cid:37) f¢x>0(cid:37)(cid:35)(cid:13) f x(cid:81)0,1(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)1,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:197) f 1=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:56)a=e(cid:95)(cid:37) f x(cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x=1.
(cid:27)3(cid:32)(cid:113)(cid:99)(cid:124)x2ex >x+2lnx+2sinx Û x2ex-x+2lnx-2sinx>0
Û xex+lnx-x+2lnx-2sinx>0 Û x elnx+x-x-lnx-1 +x2+x-2lnx-2sinx>0Û x elnx+x-x-lnx-1 +(x2-lnx2-1)+x+1-2sinx>0
Û x elnx+x-x-lnx-1 +(x2-lnx2-1)+x-sinx+1-sinx>0(cid:37)
(cid:169)(cid:35)(cid:13)g(x)=ex -x-1(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93)g¢(x)=ex-1(cid:37)(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37)g¢(x)<0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)g¢(x)>0(cid:37)
(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:81)(-¥,0)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:97)g(x)³g(0)=0(cid:37)(cid:88)ex -x-1³0(cid:37)
(cid:98)(cid:110)ex+lnx-x-lnx-1³0(cid:37) x2-lnx2-1=elnx2 -lnx2-1³0 (cid:37)
(cid:169)h(x)=x-sinx,x>0(cid:37)(cid:39)(cid:147)(cid:93)h¢(x)=1-cosx³0(cid:37)(cid:35)(cid:13)h(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
h(x)>h(0)(cid:37)(cid:98)(cid:110)x-sinx>0(cid:37)(cid:197)1-sinx³0(cid:37)
(cid:83)(cid:84)x elnx+x-x-lnx-1 +(x2-lnx2-1)+x-sinx+1-sinx>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:231)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:93)(cid:45).
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:35)(cid:13)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:45)(cid:46)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:213)(cid:101)(cid:45)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:99)(cid:172)(cid:214)(cid:16)(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:28)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:89)(cid:391)(cid:392)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:23)
(cid:146)((cid:41))(cid:43)(cid:205)(cid:21)(cid:143)(cid:15).
19(cid:26)(cid:27)2024·(cid:274)(cid:325)(cid:393)(cid:104)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=xln2x+1-ax2.
(1)(cid:39)(cid:47)(cid:48)y= f x(cid:81)(cid:78) 0, f 0 (cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:44)
(2)(cid:56)a<0(cid:95)(cid:37)(cid:39)(cid:45)(cid:10)(cid:35)(cid:13) f x(cid:178)(cid:81)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:44)
(3)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:107)(cid:13).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)y=0
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(3)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:147)(cid:13) f¢(x)(cid:37)(cid:89)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:149)(cid:150)(cid:77)(cid:104)(cid:39)(cid:24)(cid:345)(cid:25).
1
(cid:27)2(cid:32)(cid:189)(cid:190)(cid:35)(cid:13) f¢(x)(cid:81)(cid:217)(cid:212)(- ,0)(cid:152)(0,+¥)(cid:75)(cid:40)(cid:175)(cid:9)(cid:88)(cid:71)(cid:326)(cid:15)(cid:345)(cid:25).
2
ln2x+1 æ 1 ö
(cid:27)3(cid:32)(cid:81)x¹0(cid:95)(cid:37)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)(cid:37)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)gx= (cid:37)(cid:89)(cid:390)(cid:189)g(x)(cid:81)ç- ,0÷È0,+¥(cid:75)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:141)(cid:142)(cid:88)
x è 2 ø
(cid:71)(cid:345)(cid:25).
2x
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:106)(cid:35)(cid:13) f x=xln2x+1-ax2(cid:39)(cid:147)(cid:93)(cid:10) f¢x=ln2x+1+ -2ax(cid:37)
2x+1
(cid:101)(cid:102) f¢(0)=0(cid:37)(cid:98)(cid:73) f(0)=0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:48)y= f(x)(cid:81)(cid:78)(0, f(0))(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:49)y=0.
1 2x
(cid:27)2(cid:32)(cid:35)(cid:13) f x=xln2x+1-ax2(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)(- ,+¥)(cid:37)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:37) f¢x=ln2x+1+ -2ax(cid:37)
2 2x+1
1 2x
(cid:98)(cid:73)a<0(cid:37)(cid:97)(cid:56)- 0(cid:95)(cid:37)ln(2x+1)>0(cid:37) >0(cid:37)-2ax>0(cid:37)(cid:97)(cid:145) f¢(x)>0(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
2x+1
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)x=0(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:58)(cid:93)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)a<0(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:178)(cid:81)(cid:146)(cid:42)(cid:43).
1
(cid:27)3(cid:32)(cid:35)(cid:13) f x=xln2x+1-ax2(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)(- ,+¥)(cid:37) f x=0Û xln2x+1=ax2(cid:37)
2
(cid:198)(cid:199)x=0(cid:49)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
ln(2x+1)
(cid:56)x¹0(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:88)(cid:73)(cid:133)(cid:119)a= (cid:40)(cid:24)(cid:37)
x
ln2x+1 æ 1 ö 2x -ln2x+1
(cid:169)gx=
x
,xÎç
è
-
2
,0÷
ø
È0,+¥(cid:37)(cid:97) g¢x= 2x+1 (cid:37)
x2
(cid:169)hx= 2x -ln2x+1(cid:37)(cid:97)h¢x= 2 - 2 =- 4x (cid:37)
2x+1 2x+12 2x+1 2x+12
1
(cid:56)- 0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)h¢(x)<0(cid:37)
2
1
(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:13)h(x)(cid:81)(- ,0)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
2
æ 1 ö
"ÎxÎç- ,0÷È0,+¥(cid:37)h(x)0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)j¢(x)<0(cid:37)
2
1
(cid:101)(cid:102)(cid:37)j(x)(cid:81)(- ,0)(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)j(x)£j(0)=0(cid:37)
2
1
(cid:101)(cid:102)(cid:37)"Î(- ,+¥)(cid:37)(cid:90)(cid:145)ln(2x+1)£2x(cid:37)(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)x=0(cid:95)(cid:58)“=”(cid:37)
2
1 ln(2x+1) ln2x+1
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)- 2(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)0< <2(cid:37)
2 x x
1
(cid:101)(cid:102)(cid:37)gx(cid:81)(- ,0)(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)gx(cid:58)(cid:43)(cid:394)(cid:114)(cid:73)(2,+¥)(cid:37)
2
gx(cid:81)(0,+¥)(cid:75)(cid:120)(cid:112)(cid:37)gx(cid:58)(cid:43)(cid:394)(cid:114)(cid:73)(0,2)(cid:37)
ln(2x+1)
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)02(cid:95)(cid:37)(cid:133)(cid:119)a= (cid:145)(cid:196)(cid:22)(cid:24)(cid:37)
x(cid:56)a£0(cid:134)a=2(cid:95)(cid:37)(cid:110)(cid:133)(cid:119)(cid:168)(cid:24)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:37)(cid:56)a£0(cid:134)a=2(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:56)02(cid:95)(cid:37)(cid:35)(cid:13) f(x)(cid:145)(cid:153)(cid:107)(cid:162)(cid:78).
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:335)(cid:258)(cid:343)(cid:138)(cid:40)(cid:35)(cid:13)(cid:162)(cid:78)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:66)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:37)(cid:234)(cid:235)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:23)(cid:41)(cid:43)(cid:99)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:162)
(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)(cid:37)(cid:391)(cid:392)(cid:13)(cid:55)(cid:148)(cid:114)(cid:122)(cid:344)(cid:66)(cid:65)(cid:24)(cid:383)(cid:205)(cid:21).
20(cid:26)(cid:27)2024·(cid:280)(cid:281)(cid:395)(cid:396)·(cid:22)(cid:262)(cid:32)(cid:72)(cid:35)(cid:13) f x=ex+asinx(cid:37)xÎ 0,+¥ .
(1)(cid:56)a=-1(cid:95)(cid:37) f x³bx+1(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)b(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
(2)(cid:36)a>0, f x(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)-¥,0
é 5π ö
(2)ê 2e4 ,+¥÷
ë ø
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:35)(cid:13)hx=ex-bx-sinx-1(cid:37)(cid:332)(cid:118)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:13)h(x)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:163)(cid:84)(cid:39)(cid:24)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)
(cid:60)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)- 1 = sinx (cid:37)(cid:169)gx= sinx (cid:37)xÎ 0,+¥(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:35)(cid:13)g(x)(cid:81)(cid:397)(cid:103)(cid:217)(cid:212)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:37)(cid:88)
a ex ex
1
g(x) £- £g(x) (cid:93)(cid:24).
min a max
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=-1(cid:95)(cid:37) f x=ex-sinx(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:113)(cid:99)(cid:124)(cid:214)(cid:16)(cid:73)ex-bx-sinx-1³0(cid:37)(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92).
(cid:169)hx=ex-bx-sinx-1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)h¢x=ex-cosx-b.
(cid:56)xÎ[0,+¥)(cid:95)(cid:37)ex-cosx³0(cid:90)(cid:91)(cid:92).
(cid:36)b£0(cid:37)(cid:97)h¢x³0(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
hx(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:100)hx³h0=0(cid:37)(cid:175)(cid:114)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
(cid:36)b>0(cid:37)(cid:169)(cid:35)(cid:13)mx=ex-cosx-b(cid:37)
(cid:97)m¢x=ex+sinx³0(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)mx(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:98)(cid:73)m0=-b<0(cid:37)(cid:38)(cid:56)x®+¥(cid:95)(cid:37)mx®+¥.
(cid:101)(cid:102)$x Î0,+¥(cid:37)mx =ex0 -cosx -b=0(cid:37)
0 0 0(cid:100)(cid:56)xÎ0,x (cid:95)(cid:37)h¢x=mx<0(cid:37)hx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
0
(cid:56)xÎx ,+¥(cid:95)(cid:37)h¢x=mx>0(cid:37)hx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
0
(cid:97)h(x) =hx =ex0 -bx -sinx -10(cid:37)gx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:44)
è4 4 ø è 4ø
æ πö æ5π 9π ö æ πö
(cid:56)xÎç0, ÷(cid:37)xÎç +2kπ, +2kπ÷(cid:95)(cid:37)sinçx- ÷<0,gx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
è 4ø è 4 4 ø è 4ø
5π
(cid:101)(cid:102)(cid:56)x= +2kπ,kÎN(cid:95)(cid:37)gx(cid:58)(cid:93)(cid:146)(cid:42)(cid:43)(cid:37)
4
5π 13π
(cid:88)(cid:56)x= , ,×××(cid:95)(cid:37)gx(cid:58)(cid:93)(cid:146)(cid:42)(cid:43).
4 4
(cid:197)(cid:98)(cid:73)sin 5π =sin 13π =×××=- 2 (cid:37)
0gç ÷>×××.
è4ø è 4 ø(cid:101)(cid:102)gx£g æ ç πö ÷= 2 e - π 4(cid:37)
è4ø 2
(cid:101)(cid:102)(cid:56)xÎ 0,+¥(cid:37)- 2 e - 5 4 π £gx£ 2 e - π 4.
2 2
2 - 5π 1 2 - π
(cid:101)(cid:102)- e 4 £- £ e 4.
2 a 2
(cid:197)(cid:98)(cid:73)a>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) 5π(cid:95)(cid:37) f x(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
a³ 2e4
é 5π ö
(cid:101)(cid:102)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:73)ê 2e4 ,+¥÷.
ë ø
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:122)(cid:123)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:348)(cid:21)(cid:71)(cid:83)(cid:102)(cid:228)(cid:133)(cid:259)(cid:24)(cid:21)
(cid:27)1(cid:32)(cid:159)(cid:160)(cid:35)(cid:13)(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:332)(cid:118)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:39)(cid:138)(cid:13)(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:66)(cid:303)(cid:138)(cid:13)(cid:37)(cid:213)(cid:162)(cid:78)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:174)(cid:78)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:182)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:163)(cid:84)(cid:39)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:43).
(cid:27)3(cid:32)(cid:348)(cid:21)(cid:301)(cid:302)(cid:317)(cid:376)(cid:171)(cid:37)(cid:4)(cid:77)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:24)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:40)(cid:398)(cid:270)(cid:67)(cid:364)(cid:40)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:102)(cid:258)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:40)(cid:66)(cid:65)(cid:127)(cid:4)(cid:77)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60).
1
21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:399)(cid:400)·(cid:262)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=eax+ x2-ax(cid:27)aÎR(cid:32).
2
(1)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:39) f x(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)
(2)(cid:56)aÎ-1,1 (cid:95)(cid:37)(cid:45)(cid:46)(cid:10)(cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)x(cid:37)x Î-2,2(cid:37)(cid:377)(cid:145) f x - f x (cid:285)e2-1.
1 2 1 2
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:41)(cid:42)(cid:43) f 0=1(cid:37)(cid:168)(cid:41)(cid:171)(cid:43).
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37)(cid:270)(cid:39)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:37)(cid:39)(cid:67)(cid:147)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:182)(cid:86)(cid:87)(cid:231)(cid:35)(cid:13)(cid:81)(cid:39)(cid:93)(cid:162)(cid:78)(cid:401)(cid:287)(cid:40)(cid:157)(cid:158)
(cid:85)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:137)(cid:103)(cid:35)(cid:13)(cid:146)(cid:43)(cid:37)(cid:163)(cid:22)(cid:402)(cid:137)(cid:103)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:56)aÎ-1,1 (cid:95)(cid:37)(cid:332)(cid:118)(cid:223)(cid:224)(cid:39)(cid:147)(cid:93)(cid:67)(cid:231)(cid:35)(cid:13) f x(cid:81)-2,2(cid:75)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:332)(cid:118)(cid:301)(cid:302) f 2- f 0(cid:152)
f -2- f 0(cid:40)(cid:43)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)ht=e2t -2t-e2+2(cid:37)(cid:182)(cid:332)(cid:118)(cid:39)(cid:147)(cid:137)(cid:103)(cid:96)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:39)(cid:67)ht(cid:81)tÎ-1,1(cid:40)(cid:43)(cid:105)(cid:37)
(cid:106)(cid:110)(cid:71)(cid:159)(cid:215)(cid:113)(cid:99)(cid:124)e2t -2t+1£e2-1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:67) f 2- f 0 £e2-1(cid:37) f -2- f 0 £e2-1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:45).
1
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f x=ex+ x2-x(cid:37) f¢x=ex+x-1(cid:37)
2
(cid:270)(cid:34) f¢x=ex+x-1(cid:81)(cid:75)R(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:98)(cid:73) f¢0=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:145)(cid:41)(cid:42)(cid:43) f 0=1(cid:37)(cid:168)(cid:41)(cid:171)(cid:43).(cid:27)2(cid:32)(cid:45)(cid:46)(cid:10) f¢x=aeax+x-a.(cid:169)gx= f¢x=aeax+x-a(cid:37)(cid:97)g¢x=a2eax+1>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f 'x(cid:81)-2,2(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:197) f¢0=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37) f¢x<0(cid:37)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37) f¢x>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-2,0 (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,2 (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:88)(cid:56)aÎ-1,1 (cid:95)(cid:37)
f
x(cid:81)-2,0 (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,2 (cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:101)(cid:102) f 2- f 0=e2a -2a+1(cid:37) f -2- f 0=e-2a +2a+1.
(cid:169)ht=e2t -2t-e2+2(cid:37)(cid:97)h¢t=2e2t -2(cid:37)(cid:56)t<0(cid:95)(cid:37)h¢t<0(cid:37)(cid:56)t>0(cid:95)(cid:37)h¢t>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)ht(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
1
(cid:98)(cid:73)h1=0(cid:37)h-1= +4-e2 <0(cid:37)(cid:101)(cid:102)(cid:56)tÎ-1,1(cid:95)(cid:37)ht£0(cid:37)
e2
(cid:88)(cid:56)tÎ-1,1(cid:95)(cid:37)e2t -2t+1£e2-1(cid:37)
(cid:101)(cid:102)(cid:56)aÎ-1,1 (cid:95)(cid:37)e2a -2a+1(cid:285)e2-1(cid:38)e-2a+2a+1(cid:285)e2-1(cid:37)
(cid:88) f 2- f 0 £e2-1(cid:38) f -2- f 0 £e2-1(cid:37)
(cid:88)(cid:52)(cid:76)(cid:77)(cid:40)x(cid:37)x Î-2,2(cid:37)(cid:377)(cid:145) f x - f x (cid:285)e2-1.
1 2 1 2
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:27)1(cid:32)(cid:3)(cid:236)(cid:49)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13) f x(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:258)(cid:96)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:182)(cid:86)(cid:87)(cid:231)(cid:35)(cid:13)(cid:81)(cid:39)(cid:93)(cid:162)(cid:78)(cid:401)(cid:287)(cid:40)(cid:157)(cid:158)
(cid:85)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:137)(cid:103)(cid:41)(cid:43)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:3)(cid:236)(cid:49)(cid:332)(cid:118)(cid:301)(cid:302) f 2- f 0(cid:152) f -2- f 0(cid:40)(cid:43)(cid:159)(cid:215)(cid:35)(cid:13)ht=e2t -2t-e2+2(cid:37)(cid:41)(cid:403)(cid:159)(cid:215)(cid:113)(cid:99)(cid:124)
e2t -2t+1£e2-1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:67) f 2- f 0 £e2-1(cid:37) f -2- f 0 £e2-1(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:93)(cid:45).
a
22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:404)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:13) f x=x-1ex- x2+a.
2
(1)(cid:189)(cid:190) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:44)
(2)(cid:36) f x(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60).
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)(cid:25)(cid:62)(cid:64)(cid:24)(cid:65)
(2)a>e2
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:52)(cid:35)(cid:13)(cid:39)(cid:147)(cid:68)(cid:37)(cid:66)a£0(cid:37)a=1(cid:37)01(cid:310)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:189)(cid:190)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:239)(cid:292)(cid:37)(cid:83)(cid:84)(cid:71)(cid:39)(cid:67)(cid:35)(cid:13)
(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:34)(cid:56)a >1(cid:95)(cid:37) f x(cid:71)(cid:340)(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:199)(cid:68)(cid:66)1e2(cid:153)(cid:154)(cid:141)(cid:142)(cid:148)(cid:114)(cid:162)(cid:78)(cid:178)
(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)(cid:173)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:189)(cid:190)(cid:162)(cid:78)(cid:40)(cid:107)(cid:13).
(cid:61)(cid:94)(cid:24)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:98)(cid:73) f x(cid:40)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:73)R(cid:37)(cid:38) f¢x=x ex-a (cid:37)(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37)(cid:169) f¢x<0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x<0(cid:44)(cid:169) f¢x>0(cid:37)(cid:24)(cid:93)x>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f¢x³0(cid:95)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:56)(cid:38)(cid:57)(cid:56)x=0(cid:95)(cid:99)(cid:9)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)R(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:56)00(cid:37)(cid:24)(cid:93)x0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-¥,lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)lna,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:56)a >1(cid:95)(cid:37)lna>0(cid:37)(cid:169) f¢x<0(cid:37)(cid:24)(cid:93)00(cid:37)(cid:24)(cid:93)x>lna(cid:134)x<0(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)0,lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)lna,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:116)(cid:75)(cid:37)(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:44)
(cid:56)01(cid:95)(cid:37) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:81)0,lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)lna,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111).
(cid:27)2(cid:32)(cid:106)(cid:27)1(cid:32)(cid:93)(cid:37)(cid:56)a£0(cid:95)(cid:37) f x(cid:405)(cid:350)(cid:145)(cid:153)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:113)(cid:175)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
(cid:56)a=1(cid:95)(cid:37) f x(cid:405)(cid:350)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:113)(cid:175)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
æ lnaö
(cid:56)00(cid:37) f x(cid:405)(cid:350)(cid:145)
è 2 ø
(cid:153)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)(cid:113)(cid:175)(cid:21)(cid:77)(cid:44)
(cid:56)a>e2(cid:95)(cid:37)(cid:98)(cid:73) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:38) f - 2 = - 2-1 e- 2 <0(cid:37)
f 0=a-1>0(cid:37)(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)-¥,0(cid:75)(cid:145)(cid:38)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
æ lnaö
(cid:98)(cid:73) f x(cid:81)0,lna(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37) f 0=a-1>0(cid:37)(cid:38) f lna=alnaç1- ÷<0(cid:37)
è 2 ø
(cid:101)(cid:102) f x(cid:81)0,lna(cid:75)(cid:145)(cid:38)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
æ lnaö
(cid:98)(cid:73) f x(cid:81)lna,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37) f lna=alnaç1- ÷<0(cid:37)
è 2 ø
(cid:169)Hx=ex-
x2
x>0(cid:37)(cid:97)H¢x=ex-x(cid:37)(cid:169)t(x)=H¢x=ex-x(cid:37)(cid:97)
2
t¢x=ex-1(cid:37)
(cid:98)(cid:73)(cid:56)x>0(cid:95)(cid:37)t¢x>t¢(0)=0(cid:37)(cid:101)(cid:102)t(x)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:88)H¢x=ex-x(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)H¢x>H¢0=1>0(cid:37)(cid:101)(cid:102)H(x)(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
(cid:101)(cid:102)Hx>H0=1>0(cid:37)
(cid:101)(cid:102)ex >
x2
(cid:81)0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
2
a x2 a x3-a+1x2
(cid:101)(cid:102) f x=x-1ex- x2+a>x-1× - x2+a= +a(cid:37)
2 2 2 2
(cid:101)(cid:102) f a+1>a>0(cid:37)
(cid:100) f x(cid:81)lna,+¥(cid:75)(cid:145)(cid:38)(cid:193)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:101)(cid:102) f x(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:162)(cid:78)(cid:37)
(cid:116)(cid:75)(cid:37)(cid:56)a>e2(cid:95)(cid:37)y= f x(cid:145)(cid:181)(cid:107)(cid:113)(cid:177)(cid:40)(cid:162)(cid:78).
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:110)(cid:21)(cid:30)(cid:369)(cid:147)(cid:13)(cid:40)(cid:116)(cid:114)(cid:131)(cid:156)(cid:37)(cid:30)(cid:369)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:39)(cid:35)(cid:13)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:37)(cid:30)(cid:369)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:24)(cid:383)(cid:35)
(cid:13)(cid:162)(cid:78)(cid:205)(cid:21)(cid:37)(cid:349)(cid:27)2(cid:32)(cid:205)(cid:24)(cid:21)(cid:40)(cid:3)(cid:236)(cid:49)(cid:56)a>e2(cid:95)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:27)1(cid:32)(cid:56)a >1(cid:95)(cid:37) f(x)(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:217)(cid:212)(cid:152)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)
(cid:66)(cid:65)(cid:86)(cid:87)(cid:37)(cid:30)(cid:369)(cid:13)(cid:11)(cid:214)(cid:16)(cid:122)(cid:344)(cid:152)(cid:301)(cid:302)(cid:340)(cid:374)(cid:37)(cid:375)(cid:79)(cid:362)(cid:21).
23(cid:26)(cid:27)2024·(cid:274)(cid:325)·(cid:181)(cid:262)(cid:32)(cid:33)(cid:34) f x=2x-1eax-x(cid:81)x=0(cid:143)(cid:40)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:73)x+y+b=0(cid:26)
(1)(cid:39)(cid:268)(cid:13)a,b(cid:40)(cid:43)(cid:44)
3
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:10) f x(cid:57)(cid:145)(cid:22)(cid:107)(cid:146)(cid:43)(cid:78)x (cid:37)(cid:38) f x <- (cid:26)
0 0 4
(3)(cid:36)gx=kx-1ekx-x(cid:37)(cid:49)(cid:306)(cid:178)(cid:81)k(cid:203)(cid:93)gx³-1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:178)(cid:81)(cid:308)(cid:39)(cid:67)k(cid:40)(cid:58)(cid:43)(cid:59)(cid:60)(cid:37)(cid:113)(cid:178)(cid:81)(cid:308)(cid:309)(cid:46)(cid:15)
(cid:106)(cid:26)
(cid:61)(cid:25)(cid:62)(cid:63)(1)a=2,b=1
(2)(cid:45)(cid:46)(cid:64)(cid:94)(cid:24)
(3)(cid:113)(cid:178)(cid:81)(cid:37)(cid:15)(cid:106)(cid:64)(cid:94)(cid:24)
(cid:61)(cid:66)(cid:65)(cid:63)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:67) f x(cid:40)(cid:147)(cid:13)(cid:37)(cid:69)(cid:70)(cid:144)(cid:48)(cid:133)(cid:119)(cid:39)(cid:67)a(cid:37)b(cid:40)(cid:43)(cid:88)(cid:71)(cid:44)
(cid:27)2(cid:32)(cid:39)(cid:147)(cid:71)(cid:93) f¢x=4xe2x-1(cid:37)(cid:169)gx= f¢x(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:71)(cid:93)gx(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:148)(cid:114)(cid:162)(cid:78)(cid:178)(cid:81)(cid:85)(cid:103)(cid:15)(cid:71)(cid:93)
æ 1ö
gx(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x (cid:37)(cid:38)4x ×e2x0 =1(cid:37)(cid:163)(cid:84)(cid:71)(cid:93) f x(cid:40)(cid:157)(cid:158)(cid:85)(cid:37)(cid:71)(cid:86)(cid:87)(cid:146)(cid:43)(cid:141)(cid:142)(cid:44)(cid:148)(cid:114)
è 4ø 0 0
1 æ 1 ö
4x ×e2x0 =1(cid:271)(cid:272)(cid:16)(cid:279) f x = -çx + ÷(cid:37)(cid:406)(cid:302)(cid:93)(cid:45)(cid:44)
0 0 2 è 0 4x ø
0
(cid:27)3(cid:32)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)kx-1ekx ³x-1(cid:37)(cid:52)xÎR(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:56)k £0(cid:95)(cid:37)(cid:198)(cid:199)(cid:75)(cid:124)(cid:113)(cid:91)(cid:92)(cid:44)(cid:56)k >0(cid:95)(cid:37)(cid:169)
æ 1 ö
jx=kx-1ekx-x+1(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:71)(cid:93)(cid:178)(cid:81)x Îç0, ÷(cid:37)(cid:203)(cid:93)j¢x =0(cid:37)(cid:56)xÎ0,x (cid:95)(cid:37)j¢x<0(cid:37)(cid:88)jx
1 è k2 ø 1 1(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:110)(cid:95)jx0(cid:37)(cid:93)x>- (cid:37)(cid:169)g¢x<0(cid:37)(cid:93)x<- (cid:37)
2 2
æ 1ö æ 1 ö
(cid:101)(cid:102)gx(cid:81)ç-¥,- ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:81)ç- ,+¥÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
è 2ø è 2 ø
æ 1ö
(cid:101)(cid:102)gx =gç- ÷=-2e-1-1<0(cid:37)
min è 2ø
æ1ö 1
(cid:38)(cid:56)x<0(cid:95)(cid:37)gx<0(cid:37)g0=-1<0(cid:37)gç ÷=e2 -1>0(cid:37)
è4ø
æ 1ö
(cid:101)(cid:102)gx(cid:81)ç0, ÷(cid:75)(cid:178)(cid:81)(cid:196)(cid:22)(cid:162)(cid:78)x (cid:37)(cid:203)(cid:93)gx =0(cid:88)4x ×e2x0 =1(cid:37)
è 4ø 0 0 0
(cid:56)xÎ-¥,x (cid:95)(cid:37)gx<0(cid:37)(cid:88) f¢x<0(cid:37) f x(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)
0
(cid:56)xÎx ,+¥(cid:95)(cid:37)gx>0(cid:37)(cid:88) f¢x>0(cid:37) f x(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)
0
æ 1ö
(cid:101)(cid:102) f x(cid:57)(cid:178)(cid:81)(cid:22)(cid:107)(cid:146)(cid:43)(cid:78)x (cid:37)x Îç0, ÷(cid:37)
0 0 è 4ø
1 1 æ 1 ö
f x =2x -1e2x0 -x =2x -1´ -x = -çx + ÷(cid:37)
0 0 0 0 4x 0 2 è 0 4x ø
0 0
1 æ 1ö 4x2-1
(cid:197)(cid:35)(cid:13)y=x+ (cid:37)xÎç0, ÷(cid:37)(cid:84)y¢= <0(cid:37)
4x è 4ø 4x2
1 æ 1ö 1 5
(cid:101)(cid:102)y=x+ (cid:81)xÎç0, ÷(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:97)y=x+ > (cid:37)
4x è 4ø 4x 4
1 5 3
(cid:101)(cid:102) f x < - =- .
0 2 4 4
(cid:27)3(cid:32)(cid:36)(cid:178)(cid:81)k(cid:37)(cid:203)(cid:93)gx³-1(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:88)kx-1ekx ³x-1(cid:37)(cid:52)xÎR(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)
(cid:56)k £0(cid:95)(cid:37)(cid:56)x>1(cid:95)(cid:37)(cid:97)kx-1ekx <0(cid:37)(cid:198)(cid:199)(cid:75)(cid:124)(cid:113)(cid:91)(cid:92)(cid:44)
(cid:56)k >0(cid:95)(cid:37)(cid:169)jx=kx-1ekx-x+1(cid:37)j0=0(cid:37)
(cid:97)j¢x=k2xekx-1(cid:37)
(cid:169)Gx=j¢x(cid:37)(cid:97)G¢x=k21+kxekx >0(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)æ 1 ö 1
(cid:101)(cid:102)Gx(cid:88)j¢x(cid:81) 0,+¥(cid:75)(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:111)(cid:37)(cid:197)j¢0=-1(cid:37)j¢ ç ÷=ek -1>0(cid:37)
èk2 ø
æ 1 ö
(cid:101)(cid:102)(cid:178)(cid:81)x Îç0, ÷(cid:37)(cid:203)(cid:93)j¢x =0(cid:37)
1 è k2 ø 1
(cid:101)(cid:102)(cid:56)xÎ0,x (cid:95)(cid:37)j¢x<0(cid:37)(cid:88)jx(cid:157)(cid:158)(cid:120)(cid:112)(cid:37)(cid:110)(cid:95)jx0(cid:95)(cid:37)(cid:113)(cid:178)(cid:81)k(cid:295)(cid:296)(cid:128)(cid:129).
(cid:116)(cid:75)(cid:37)(cid:113)(cid:178)(cid:81)k(cid:37)(cid:203)(cid:93)gx³-1(cid:90)(cid:91)(cid:92).
(cid:61)(cid:78)(cid:121)(cid:63)(cid:3)(cid:236)(cid:78)(cid:121)(cid:10)(cid:348)(cid:21)(cid:349)(cid:181)(cid:205)(cid:37)(cid:24)(cid:21)(cid:40)(cid:3)(cid:236)(cid:49)(cid:213)(cid:205)(cid:21)(cid:214)(cid:16)(cid:73)kx-1ekx ³x-1(cid:37)(cid:52)xÎR(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:37)(cid:66)k £0
(cid:152)k >0(cid:189)(cid:190)(cid:37)(cid:96)(cid:50)k >0(cid:95)(cid:37)(cid:169)jx=kx-1ekx-x+1(cid:37)(cid:155)(cid:156)(cid:147)(cid:13)(cid:86)(cid:87)(cid:39)(cid:24)(cid:210)(cid:67)(cid:226)(cid:227).
