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2024-2025 学年四川省雅安中学高二下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
lim f (x −2Δx)−f (x )
1.设函数
f (x)
满足
Δx→0
0 0
=2
，则
f ′(x
0
)=( )
Δx
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
1
2.已知数列{a }中，a =2，a =1− (n≥2)，则a 等于( )
n 1 n a 2021
n−1
1 1
A. −1 B. − C. D. 2
2 2
3.已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， 4，且 ，则a +a +a ( )
{a } {b } a +a = b b b =8 3 8 13=
n n 7 9 3 2 6 10 b b −1
4 8
1 2 1 1
A. B. C. D.
4 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
4.用数学归纳法证明：“1− + − +⋯+ − = + +⋯+ (n为正整数”，在n=k
2 3 4 2n−1 2n n+1 n+2 2n
到n=k+1时的证明中，( )
1 1
A. 左边增加的项为 B. 左边增加的项为−
2k+1 2k+2
1 1 1 1
C. 左边增加的项为 + D. 左边增加的项为 −
2k+1 2k+2 2k+1 2k+2
5.设数列 和 都为等差数列，记它们的前 项和分别为 和 ，满足a n ，则S ( )
{a } {b } n S T n= 5 =
n n n n b 2n+1 T
n 5
1 3 5 3
A. B. C. D.
2 7 9 5
6.意大利数学家列昂那多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”(斐波那契数列)：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯，在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草等)的瓣数恰是斐波那契数列中的
数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用 已知斐波那契数列 满足：
. {a }
n
a =1,a =1,a =a +a ，若a +a +a +a +a +a =a −a ，则k等于( )
1 2 n+2 n+1 n 3 5 7 9 11 13 k 2
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1 1A. 14 B. 13 C. 89 D. 144
7.对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 ，对自然数
{a } {Δa } {a } Δa =a −a (n∈N∗)
n n n n n+1 n
，规定 为数列 的 阶差分数列，其中 若 ，且
k(k≥2) {Δka } {a } k Δka =Δk−1a −Δk−1a . a =1
n n n n+1 n 1
，则数列 的通项公式为
Δ2a −Δa +a =−2n(n∈N∗) {a }
n n+1 n n
A. B.
a =n2×2n−1 a =n×2n−1
n n
C. D.
a =(n+1)×2n−2 a =(2n−1)×2n−1
n n
8.已知数列 {a } 满足 a =1 ， a = a n (n∈N∗) ，若 b =(n−2λ)⋅ ( 1 +1 ) (n∈N∗) ， b =−λ ，且
n 1 n+1 a +2 n+1 a 1
n n
数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是
{b } λ
n
2 3 2 3
A. λ> B. λ> C. λ< D. λ<
3 2 3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
1 1
A. f (x)= ，则f ′(3)=−
x 9
B. y=x3+sin2，则y′=3x2+cos2
C. (cosx) ′ xsinx+cosx
=
x x2
9
D. 设函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)=x2+3xf ′(2)+lnx，则f ′(2)=−
4
10.下列命题正确的有( )
A. 若数列 为等比数列， 为其前 项和，则 成等比数列；
{a } S n S ,S −S ,S −S ,⋯
n n 4 8 4 12 8
B. 若数列 为等差数列，则 为等比数列；
{a } {2a n}
n
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2 1C. 数列 满足： a a a ，则
{a } a + 2+ 3+⋯+ n =n+1 a =2n−1
n 1 2 22 2n−1 n
1 2
D. 已知T 为数列{a }的前n项积，若 + =1，则数列{T }的前n项和S =n2+2n
n n a T n n
n n
n
11.已知数列
{a }
满足
a =2
，
a =a +2n
，定义其“双阶变换”数列
{b }
为
b =∑(−1) k+1a .
以下命题
n 1 n+1 n n n k
k=1
正确的是( )
A. 的通项公式为
{a } a =n2−n+2
n n
B. 存在周期性
{b }
n
n2
C. 当n为偶数时，b =−
n 2
D. 的奇数项之和为 (n+1)(n2+2n+9)
{b } S =
n n 12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
3
12.已知正项等比数列{a }满足a =a2，且a +a = ，则公比为 ．
n 2n n 1 2 4
4
13.已知正项数列{a }是公比不等于1的等比数列，且aa=1, 若f (x)= , 则f (a )+f (a )⋯+f (a )=
n 1+x2 1 2 2024
．
14.已知数列 满足 ， ， ， 的通项公式 用 表示 为 ；若
{a } a =3a −2a a =λ(λ≠2) a =2 {a } ( λ )
n n+2 n+1 n 1 2 n
是递增数列，则 的取值范围为 ．
{a } λ
n
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设数列 的前 项和为 ，已知 ，且{S }为等差数列．
{a } n S a =1,S =21 n
n n 1 6 n
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3 1求数列 的通项公式；
(1) {a }
n
{ a ,n为奇数
n
(2) 若b = 1 ，求 {b } 的前 2n 项和 T ．
n ,n为偶数 n 2n
a a
n n+2
16.(本小题15分)
已知函数 的图象经过点 ，且在点 处的切线与直线 ： 垂直．
f (x)=x3+ax2+bx−4 A(1,−2) A l x=1
(1)求a，b的值；
(2)求经过点M(2,−2)且与曲线y=f (x)相切的切线方程．
17.(本小题15分)
已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ．
{a } n S a =9,4S =a2+2a +m
n n 3 n n n
证明： 为等差数列．
(1) {a }
n
求 的值和 的通项公式．
(2) m {a }
n
若数列 满足 a −3，其前 项和为 ，证明： ．
(3) {b } b = n n T T <4
n n 2n n n
18.(本小题17分)
市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：
①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；
②等额本息：每月的还款额均相同．
银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还
款).已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．
(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计
算该笔贷款的总利息．
(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张
家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)．
参考数据：1.004240≈2.61．
(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式．
19.(本小题17分)
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4 1若数列 满足 为正整数， 为常数 ，则称数列 为等方差数列， 为公方差．
{a } a2 −a2=p(n p ) {a } p
n n+1 n n
已知数列 ， 的通项公式分别为： ， ，判断上述两个数列是否为等方差数列，
(1) {x } {y } x =√n+1 y =3n−1
n n n n
并说明理由；
若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 为常数列．
(2) {a } {a }
n n
若数列 是首项为 ，公方差为 的等方差数列，在 的条件下，在 与 之间依次插入数列
(3) {a } 1 2 (1) y y {a2}
n k k+1 n
中的 项构成新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，求数列 中前 项的和
k {c } y a2 y a2 a2 y a2 a2 a2 y …… {c } 30
n 1 1 2 2 3 3 4 5 6 4 n
T ．
30
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5 1参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.B
6.A
7.B
8.C
9.AD
10.BD
11.AC
1
12. /0.5
2
13.4048
14.
a =(2−λ)2n−1−2+2λ；；(−∞,2)
n
15. 设等差数列{S }的公差为 ，因为 ，
(1) n d a =S =1
n 1 1
S S 21 1
所以 6− 1=5d，即 −1=5d,d= ，
6 1 6 2
S 1 n(n+1)
所以 n=1+ (n−1)，即S = ，
n 2 n 2
n(n+1) n(n−1)
当n≥2时，a =S −S = − =n，
n n n−1 2 2
当n=1时，a =1，满足上式，所以a =n．
1 n
{ n,n为奇数,
由 知
(2) (1) b = 1
n ,n为偶数,
n(n+2)
则
T =(b +b +b +⋯+b )+(b +b +b +⋯+b )
2n 1 3 5 2n−1 2 4 6 2n
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6 1( 1 1 1 1 )
=(1+3+5+⋯+2n−1)+ + + +⋯+
2×4 4×6 6×8 2n×(2n+2)
= n(1+2n−1) + 1(1 − 1 + 1 − 1 +⋯+ 1 − 1 ) =n2+ 1 − 1 ，
2 2 2 4 4 6 2n 2n+2 4 4n+4
1 1
所以数列{b }的前2n项和为T =n2+ − ．
n 2n 4 4n+4
16. 因为 ，所以 ．
(1) f (x)=x3+ax2+bx−4 f ′(x)=3x2+2ax+b
f (x)的图象在点A(1,−2)处的切线与直线l：x=1垂直，
{1+a+b−4=−2 {a=−4
∴ ，解得 ；
3+2a+b=0 b=5
由 知 ， ，
(2) (1) f (x)=x3−4x2+5x−4 f ′(x)=3x2−8x+5
设切点坐标为 ，
(x ,x3−4x2+5x −4)
0 0 0 0
因为 ，
f ′(x )=3x2−8x +5
0 0 0
所以切线方程为 ，
y+2=(3x2−8x +5)(x−2)
0 0
又切线过点 ，
(x ,x3−4x2+5x −4)
0 0 0 0
所以 ，
x3−4x2+5x −4+2=(3x2−8x +5)(x −2)
0 0 0 0 0 0
即 ，
x3−5x2+8x −4=x3−x2−4x2+8x −4=(x −2) 2 (x −1)=0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
解得x =2或x =1，
0 0
即 或 ，
y+2=(3×22−8×2+5)(x−2) y+2=(3×12−8×1+5)(x−2)
即x−y−4=0或y+2=0，
所以经过点M(2,−2)且与曲线y=f (x)相切的切线方程为x−y−4=0或y+2=0．
17. ，
(1)4S =a2+2a +m①
n n n
当 时， ，
n≥2 4S =a2 +2a +m②
n−1 n−1 n−1
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7 1式子 得 ，
①−② 4a =a2+2a −a2 −2a
n n n n−1 n−1
故 ，故 ，
a2−2a −a2 −2a =0 (a +a )(a −a −2)=0
n n n−1 n−1 n n−1 n n−1
为正项数列，故 ，所以 ，
{a } a +a >0 a −a −2=0
n n n−1 n n−1
即 ， 为公差为 的等差数列；
a −a =2 {a } 2
n n−1 n
由 知， 为公差为 的等差数列，
(2) (1) {a } 2
n
a =9，故a =a −2×2=5，
3 1 3
中，令 得 ，
4S =a2+2a +m n=1 4a =a2+2a +m
n n n 1 1 1
即 ，
a2−2a +m=0
1 1
将a =5代入上式得25−10+m=0，解得m=−15，
1
的通项公式为 ；
{a } a =a +2(n−1)=5+2n−2=2n+3
n n 1
(3)b =
a
n
−3
=
2n+3−3
=n⋅
(1) n−1 ，
n 2n 2n 2
1 (1) 2 (1) n−1 ，
T =1+2× +3× +⋯+n× ③
n 2 2 2
故1 1 (1) 2 (1) 3 (1) n ，
T = +2× +3× +⋯+n× ④
2 n 2 2 2 2
式子③−④得
(1) n
1−
1 1 (1) 2 (1) n−1 (1) n 2 (1) n (1) n
T =1+ + +⋯+ −n× = −n× =2−(n+2) ，
2 n 2 2 2 2 1 2 2
1−
2
故 (1) n−1 ．
T =4−(n+2) <4
n 2
18.(1)由题意可知，等额本金还款方式中，
每月的还款额构成等差数列，记为 ，
{a }
n
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8 1用 表示数列 的前 项和，
S {a } n
n n
则a =4900，a =2510，
1 240
240(4900+2510)
则S = =889200，
240 2
故小张的该笔贷款的总利息为889200−600000=289200(元)．
(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则 ，
x+x(1+0.004)+x(1+0.004) 2+⋯+x(1+0.004) 239=600000×(1+0.004) 240
所以 (1−1.004240 ) ，
x =600000×1.004240
1−1.004
即 600000×1.004240×0.004 600000×2.61×0.004 ，
x= ≈ ≈3891
1.004240−1 2.61−1
1
因为3891<10000× =5000，
2
所以小张该笔贷款能够获批．
(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为
3891×240−600000=333840(元)，
因为333840>289200，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金的还款方式．
19. 因为 常数 ，
(1) x2 −x2=1( )
n+1 n
所以数列 为等方差数列， 为公方差；
{x } 1
n
因为 ，
y2−y2=32−12=8,y2−y2=92−32=72,y2−y2≠ y2−y2
2 1 3 2 2 1 3 2
所以数列 不是等方差数列；
{y }
n
因为 是等差数列，设其公差为 ，
(2) {a } d
n
则 ，
a −a =a −a =d(n≥2,n∈N∗)
n n−1 n+1 n
又 是等方差数列，所以 ，
{a } a2−a2 =a2 −a2(n≥2,n∈N∗)
n n n−1 n+1 n
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9 1故 ，
(a +a )(a −a )=(a +a )⋅(a −a )
n n−1 n n−1 n+1 n n+1 n
所以 ，
(a +a )d=(a +a )d
n n−1 n+1 n
即 ，
d(a +a −a −a )=−2d2=0
n n−1 n+1 n
所以 ，故 是常数列；
d=0 {a }
n
由题意知数列 是首项为 ，公方差为 的等方差数列，
(3) {a } 1 2
n
故 ，而 ，所以 ，
a2 −a2=2 a2=1 a2=1+2(n−1)=2n−1
n+1 n 1 n
是首项为 ，公比为 的等比数列，
{y } 1 3
n
(k+1)(k+2)
而新数列{c }中y 项(含y )前共有(1+2+3+…+k)+k+1= 项，
n k+1 k+1 2
(k+1)(k+2)
令 ≤30，结合k∈N∗，解得k≤6，
2
故数列 中前 项含有 的前 项和数列 的前 项，
{c } 30 {y } 7 {a2} 23
n n n
1−37 23×22
所以数列{c }中前30项的和T = +23×1+ ×2=1622．
n 30 1−3 2
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10 1
