专题18环排问题_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 环排问题 18 例 ． 颗颜色不同的珠子，可穿成 种不同的珠子圈． 1 7 例 ． 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 2 6 例 ．有 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然 3 5 后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余 个匣子，那么钥匙的放法有 种． 4 例 人围桌而坐 共有多少种坐法 4. 8 , ? 例 ． ， ， ， ， ， 六人围坐在一张圆桌周围开会， 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 5 A B C D E F A ， 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ） B C ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 A 60 B 48 C 30 D 24 例 ．现有一圆桌，周边有标号为 ， ， ， 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数 6 1 2 3 4 学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有 种．（用数字作答） ____ 例 ． 人围圆桌开会，其中正、副组长各 人，记录员 人 7 8 1 1 . 若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (1) 若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？ (2) 1专题 环排问题 18 例 ． 颗颜色不同的珠子，可穿成 种不同的珠子圈． 1 7 【解析】 因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有An 种排 n An 法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 n 种排法，而珠子圈没有反正， n A7 故 颗颜色不同的珠子，可穿成 7 360种不同的珠子圈． 27 7 故答案为： ． 360 例 ． 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 2 6 【解析】 因为由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有An种种 n An 排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有有 n 种种排法，而钻石圈没有反正， n A6 故 颗颜色不同的钻石，可穿成 6 60种不同的钻石圈． 62 6 例 ．有 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然 3 5 后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余 个匣子，那么钥匙的放法有 种． 4 【解析】 在砸开的匣子中必放有另一个匣子i1的钥匙，在匣子i1中又放有匣子i2的钥匙，在匣子i2中放有匣子i3的 钥匙，在匣子i3中放有匣子i4的钥匙，在匣子i4中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣 子为is．这就相当于 ， ， ， ， 形成一个环状排列， 1 2 3 4 5 反过来，对由 ， ， ， ， 排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放 1 2 3 4 5 钥匙的方法．先让 个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得 5 到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与 ， ， ， ， 1 2 3 4 的环状排列数相等， 5 由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为 个排列：i1，i2，i3，i4，i5；i2，i3，i4，i5，i1；i3， 5 1i4，i5，i1，i2；i4，i5，i1，i2，i3；i5，i1，i2，i3，i4； 反之， 个这样的排列对应着一个环状排列，因而 个元素的环状排列数为：4!24（种) 5 5 一般地，n个元素的环状排列数为(n1)!种 故答案为： 例 人2围4 桌而坐 共有多少种坐法 【解析】 4. 8 , ? 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直线 4 其余 人共有（ ）！种排法即7！ C 7 8-1 D B E A A B C D E F G H A F H G 例 ． ， ， ， ， ， 六人围坐在一张圆桌周围开会， 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 5 A B C D E F A ， 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ） B C ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 A 60 B 48 C 30 D 24 【解析】 首先， 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， A 考虑 、 两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， B C 根据排列数的计算公式，得到，4A2，接下来，考虑其余三人的情况， 2 其余位置可以互换，可得A3种，最后根据分步计数原理，得到4A2A3  48种， 3 2 3 故选 B. 例 ．现有一圆桌，周边有标号为 ， ， ， 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数 6 1 2 3 4 学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有 种．（用数字作答） ____ 【解析】 先按排甲，其选座方法有C1种，由于甲、乙不能相邻， 4 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A2种， 2 所以共有坐法种数为C1A2  428种． 4 2 故答案为 ． 8 例 ． 人围圆桌开会，其中正、副组长各 人，记录员 人 7 8 1 1 . 2若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (1) 若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？ (2) 【解析】 正、副组长相邻而坐，可将此 人当作 人看，即 人围一圆桌，有 － ！＝ ！种坐法，又因为正、 (1) 2 1 7 (7 1) 6 副组长 人可换位，有 ！种坐法．故所求坐法为 － ！ ！＝ 种． 2 2 (7 1) ×2 1440 记录员坐在正、副组长中间，可将此 人视作 人，即 人围一圆桌，有 － ！＝ ！种坐法，又因 (2) 3 1 6 (6 1) 5 为正、副组长 人可以换位，有 ！种坐法，故所求坐法为 ！ ！＝ 种． 2 2 5 ×2 240 3