专题17构造法模型和递推模型_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 17 构造法模型和递推模型 类型1：构造法模型 例1．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果 有多少种． 例2.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法． 例3.从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的 走法有多少种． 例5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法． 例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数． 例7. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛， 负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么 所有可能出现的比赛过程有多少种？ 例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 例9.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 类型2：递推模型 例1．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有( )种不同的站法． A．42 B．44 C．46 D．48 1例2．欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有 89 种不同的走法． 例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有( ) 制发 A．6 种 B．8种 C．10种 D．16 种 例4．甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有 342 种． 例5．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4:00~5:00同时开放健身房和 娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去 娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？ 例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（ ） A.60种 B.44种 C.36种 D.24种 例7.有排成一行的n个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾 两格也不同色,阳有多少种涂法? 例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有 多少种不同的爬跃方式？ 例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方 法？ 例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种? 23专题 17 构造法模型和递推模型 类型1：构造法模型 例1．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果 有多少种． 【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A2=20种 5 例2.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法． 【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列 问题．C5=126种 9 例3.从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 【解析】把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C10 991 例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的 走法有多少种． 【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问 题．C3=35（种） 7 例5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法． 【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6 个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．C6 =924（种）． 12 例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数． 【解析】展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球 的排列问题．C2 =66（种） 12 例7. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛， 负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么 1所有可能出现的比赛过程有多少种？ 【解析】设亚洲队队员为a,a，…,a,欧洲队队员为b，b，…，b，下标表示事先排列的出场顺序，若以 1 2 5 1 2 5 依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队 员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程 的总数为C6 =252（种） 10 例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C3 10 种 5 例9.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 【解析】将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少 选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方 队中选3人的方法有C1C1C1种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列 3 2 1 有C3C3选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有C3C3C1C1C1 600选法。 5 5 5 5 3 2 1 类型2：递推模型 例1．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有( )种不同的站法． A．42 B．44 C．46 D．48 【解析】首先我们把人数推广到n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．设 满足这样的站队方式有a 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系： n 第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n1种站法． 2第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在 第一个位置，则余下的n2个人有a 种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二 n2 个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，，第n个人不站 在第n个位置，所以有a 种站队方式． n1 由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列a 的递推关系式： n a (n1)(a a )，显然，a 0，a 1，a32，a 9，a 44，有44种排法 n n1 n2 1 2 4 5 故选：B． 例2．欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有 89 种不同的走法． 【解析】最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去， 设上n级楼梯的走法是a(n)，则a(n)的值与等于a(n1)与a(n2)的值的和， a(n)a(n1)a(n2) 一阶为1种走法：a（1）1 二阶为2种走法：a（2）2 a（3）123 a（4）235 a（5）358 a（6）5813 a（7）81321 a（8）132134 a（9）213455 a(10)345589 故答案为：89． 3例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有( ) 制发 A．6 种 B．8种 C．10种 D．16种 【解析】根据题意，设在第n次传球后(n 2)，有a 种情况球在甲手中， n 即经过n次传递后，球又被传回给甲， 而前n次传球中，每次传球都有2种方法，则前n次传球的不同的传球方法共有2n种， 那么在第n次传球后，球不在甲手中的情况有2n a 种情况，即球在乙或丙手中， n 只有在这些情况时，在第n1次传球后，球才会被传回甲，即a 2n a ； n1 n 易得a 2，则a 22 22，a 23 26，a 24 610， 2 3 4 5 故选：C． 例4．甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有 342 种． 【解析】解：设经过n次传球后球回到甲手中的传法有a 种． n 则经过(n1)次传球后球回到甲手中的传法有a 种． n1 而(n1)次传球一共有2n1次传法， 所以经过(n1)次传球后球没有回到甲手中的传法有a 2n1a ， n n1 a 21a ， a 22 a 22 21a ， 2 1 3 2 1 a 29 a 29 28 272a (29 272)(28 26 22)342 10 8 1 故答案为342 例5．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4:00~5:00同时开放健身房和 娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去 娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否 趋于稳定？ 4【解析】记第n天去健身房的人数为a ，去娱乐室的人数为b ，则a b 150； n n n n 当n1时，则a 150b ， 1 1 当n 2时，a (110%)a 20%b n n1 n1 (110%)a 20%(150a ) n1 n1 300.7a ， n1 则a 1000.7(a 100)， n n1 a 100 即 n 0.7； a 100 n1 数列{a 100}是a 100为首项，以0.7为公比的等比数列； n 1 a 100(a 100)0.7n， n 1 即a (a 100)0.7n 100； n 1 当n时，0.7n 0， (a 100)0.7n 0， 1 a 100； n 即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右． 例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（ ） A.60种 B.44种 C.36种 D.24种 【解析】首先我们把人数推广到n个人,即n个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这 样的站队方式有a 种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一 n 个位置,有n1种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二 个人恰好站在第个位置,则余下的n2个人有a 种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第 n2 二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,,第n个人不站在第 n个位置,所以有a 种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列a 的递推关系 n1 n 5式:a (n1)a a ,显然,a  0,a 1,再由递推关系有a 2,a 9,a 44,故应选B. n n2 n1 1 2 3 4 5 例7.有排成一行的n个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾 两格也不同色,阳有多少种涂法? 【解析】设共有a 种不同涂法.易得a 3,a 6,a 6，且当n 4时,将n个格子依此编号后,则格1与格(n1) n 1 2 3 不相邻. (1)若格(n1)涂色与格1不同,此时格n只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有a 种不同涂法. n1 (2)若格(n-1)涂色与格1相同,此时格(n-2)与格1涂色必然不同,否则格(n1)与格(n2)相同,于是前n2格 有a 种不同涂法.因为格n 与格 1 不同色,有两种涂法,故有 2a 种不同涂法.综上可得递推关系式 n2 n2 :a a 2a (n 4),并可得a 2n 2(1)n(n 2). n n1 n2 n 例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有 多少种不同的爬跃方式？ 【解析】易得a 1,a 2,a 4,a 7 .把问题一般化,设一共有n级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃 1 2 3 4 三级.设共有a 种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有a 种方式;若第一次上跃二级，则有a 种方式; n n1 n2 若第一次上跃三级,则有a 种方式.因此a a a a :易得a 81.即共有81种不同的爬跃方式. n3 n n1 n2 n3 8 例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方 法？ 【解析】我们先把这个题目推广:用m 种不同颜色给n边形AA A 的n个顶点染色（其中m 3,n 3,且m 1 2 n 为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种? 设不同的染色方法有a 种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系： n 第一步:染A,有m 种染法第二步:染A ,有m1种染法同理，染A ,A 均有m1种染法，最后染A ,如 1 2 3 n1 n 果仅考虑A 与A 不同色，则仍有m1种染法，相乘得m (m1)n1种染法,但要去掉A 与A 同色的染法数, n n1 n 1 此时可将A 与A 合并看成一个点,得出需要排除的染法数为a ,所以有a m(m1)n1 a ,显然,a  A3. n 1 n1 n n1 3 m 6又本题中,颜色数m4,所以递推关系为:a 43n1a ,又a  A3 24,所以a 433 a 84(种),故不 n n1 3 4 4 3 同的染色方法种数有84种. 例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种? 【解析】首先我们把人数推广到n个人,即n个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这 样的站队方式有a 种，现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系：第一步:第一个人不站在原来的第 n 一个位置,有n1种站法. 第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两 类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有a 种站队方式;第二类，第二个人不站在第 n2 一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位 置，……，第n个人不站在第n个位置,所以有a 种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理，,我们便得 n1 到了数列的递推关系式：a (n1)a a ,a 0 a 1,再由递推关系有a 2,a 9,a 44,故共有44 n n2 n1 1 2 3 4 5 种. 7