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2024 年兰州市高三诊断考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，若复数z对应的点Z在第二象限，则复数 对应的点 所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取 8人的得分
作为样本，分数从低到高依次为:84，85，87，87，90，a，b，99，若这组数据的第75百分位数为94，则利
用样本估计此次竞赛的平均分约为（ ）
A．85 B．86 C．90 D．95
4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 : 与双曲线 : 的离心率相同，双曲线 的顶点是双
曲线 的焦点，则双曲线 的虚轴长为（ ）
A． B． C． D．10
6．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截
学科网（北京）股份有限公司球面所得的圆）．设地球的半径为R，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于北纬 西经 ，则甲、
乙两地的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
7．数列 满足 ， 则
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
8．已知 是定义在 上的奇函数，且对于任意x均有 ，当 时，
，若 （e是自然对数的底），则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在
以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角 ， ，再测量A，B两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶
端的仰角 和
C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角 ，再测量A到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角 ，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角
10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件 A，B 存在如下关系:
．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使
用信用卡支付的用户占总用户的20%，使用支付宝支付的用户占总用户的40%，其余的用户使用微信支付．
平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题
的概率是 ，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为 ，则以下说法正确的是（
学科网（北京）股份有限公司）
A．使用信用卡支付的用户中有10%的人遇到支付问题
B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同
C．要将出现支付问题的概率降到 ，可以将信用卡支付通道关闭
D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率
11．半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进 米．运动前车轮着地点为
A，若车轮滚动时点A距离地面的高度h（米）关于时间t（秒）的函数记为 ，则以下判断正
确的是（ ）
A．对于 ，都有 B． 在区间 上为增函数
C． D．对于 ，都有
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数 （e是自然对数的底）在 处的切线方程是________．
13．等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点， ________．
14．如图在四棱柱 中，侧面 为正方形，侧面 为菱形， ，
E、F分别为棱 及CD的中点，在侧面 内（包括边界）找到一个点P，使三棱锥 与三
棱锥 的体积相等，则点P可以是________（答案不唯一），若二面角 的大小为 ，当
取最大值时，线段 长度的取值范围是________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
学科网（北京）股份有限公司15．（13分）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的多边形为凸多边形，
凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用 表示凸 边形 对角线的条数．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 ，并证明 ．
16．（15分）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ，
， ，E，F分别为PB，PC上一点， ， ．
（1）当 平面AEFD时，求 的值；
（2）当二面角 的余弦值为 时，求PC与平面AEFD所成角的正弦值．
17．（15分）2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且
仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6
分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．
（1）已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，
记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X．
（i）求 ；
（ii）求使得 取最大值时的整数k；
（2）若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择
若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为 ，求该同学在答题过程中使得分期望最大
的答题方式，并写出得分的最大期望．
18．（17分）已知圆 C过点 ， 和 ，且圆 C与y轴交于点 F，点F是抛物线 E:
学科网（北京）股份有限公司的焦点。
（1）求圆C和抛物线E的方程：
（2）过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别做抛物线E的切线，两条切线交于点
Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．
19．（17 分）定义：如果在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 ， ，那么称
为A，B两点间的曼哈顿距离．
（1）已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
（2）已知点N是直线 上的动点，点 与点N的曼哈顿距离 的
最小值记为 ，求 的最大值；
（3）已知点 ，点 （k，m， ，e是自然对数的底），当 时， 的最
大值为 ，求 的最小值．
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