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秘密★启用前 【考试时间：3月28日15∶00—17∶00】
昆明市 2024 届“三诊一模”高三复习教学质量检测
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若 是等比数列， ， ，则
A．7 B．9 C．25 D．35
2．双曲线C： 的渐近线方程为
A． B． C． D．
3．复平面内表示复数 （ ）的点在直线 上，则
A．1 B． C．2 D．
4．已知下图网格中面积最小的正方形边长为1，平面向量 ， 如图所示，则
A．2 B． C． D．1
5．在 的展开式中，含项 的系数是
A．16 B．19 C．21 D．24
6．已知函数 ，则下列说法正确的是
学科网（北京）股份有限公司A． 为增函数 B． 有两个零点
C． 的最大值为2e D． 的图象关于 对称
7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太
阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在 位置时，测出 ；
行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了 位置，测出 ， ．若地
球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据： ）
A．2.1R B．2.2R C．2.3R D．2.4R
8．已知椭圆E： （ ）的左、右焦点为 、 ，圆 与E的一个交点
为P，直线 与E的另一个交点为O， ，则E的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，若 ，则 的值可以为
A． B． C． D．
10．在数列 中， ， ， ，记 的前n项和为 ，则下列说法正确的
是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
学科网（北京）股份有限公司C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
11．在矩形ABCD中， ， ，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A＇BD，
连接A＇C得到三棱锥A＇-BCD，在翻折过程中，下列说法正确的是
A．三棱锥A＇-BCD体积的最大值为 B．点A＇，B，C，D都在同一球面上
C．点A＇在某一位置，可使BD⊥A＇C D．当A＇B⊥DC时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ，则 ．
13．已知正六棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则该正六棱锥的
体积为 ．
14．如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位，共移动六次．质
点位于4的位置的概率为 ；在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次3的位置
的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如图，在直三棱柱 中，D，E为 ，AB中点，连接 ， ．
（1）证明：DE∥平面 ；
（2）若DE⊥AB， ， ，求二面角 的正弦值．
16．（15分）
某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至
学科网（北京）股份有限公司2023年研发资金的投入额 和年收入的附加额 进行研究，得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
10 30 40 60 80 90 110
投入额
3.20 4.00 4.80 6.00 7.30 7.45 9.25
年收入的附加额
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取
3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据： ， ， ．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
， ．
17．（15分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时， ，求a的取值范围．
18．（17分）
已知抛物线C： （ ）的焦点为F，直线 与C交于A，B两点， ．
（1）求C的方程；
（2）过A，B作C的两条切线交于点P，设D，E分别是线段PA，PB上的点，且直线DE与C相切，求证：
．
19．（17分）
若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种
对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
， ．对于给定的集合B，定
义映射f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ，2，3，4），则 ；若 （
学科网（北京）股份有限公司，2，3，4），则 ．记 ．
（1）若 ， ，写出Y，并求 ；
（2）若 ， ，求所有 的总和；
（3）对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
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数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C B D A B BD ACD ABD
三、填空题
12． 13． 14． ， （第1空2分，第2空3分）
15．解：
（1）连接 ．因为D，E分别为 ，AB的中点，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以DE∥平面 ．
（2）由（1）得 ，因为DE⊥AB，所以 ，因为在直三棱柱 中 平
面ABC，所以 ，因为 ，所以AB⊥平面 ，故AB⊥BC．
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则 ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可取 为平面 的一个法向量，
可取 为平面 的一个法向量，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
设二面角 的大小为 ，则 ， ，
所以二面角 的正弦值为 ．
16．解：
（1） ， ，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为 ．
（2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个“优”，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以X的期望是 ．
17．解：
（1）由于 ，则切点坐标为 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以切线斜率为 ，
故切线方程为 ．
（2）当 时， 等价于 ，
令 ， ， 恒成立，则 恒成立，
，
当 时， ， 在 上单调递减， ，不符合题意；
当 时，由 得， ，
时， ， 单调递减， ，不符合题意；
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ， 在 上单调递增，
，符合题意．
综上所述， ．
18．解：
（1）设 ， ， ，
联立 ，得 ，
则 ， ， ，
则 ，故 ，
所以C的方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 ，因为抛物线C： ，则 ，
则 ， ，则直线PA方程为 ，即 ，
同理直线PB方程为 ．
联立 得（ ，则 ，
将 代入得 两式相加得
，
即 ，所以点 ．
设直线DE与抛物线相切于点 ，则直线DE方程为 ．
设 ， ，联立
两式作比 ，即 ，同理 ，
因为 ，
同理 ，
故要证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
学科网（北京）股份有限公司即证 ，
由（1）知 ，又 故 ，上式成立，
故 ．
19．解：
（1）由题， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于B进行讨论
①含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；不含1的B的个数为 ，此时在映
射f下， ；所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；不含5的B的个数为 ，此时在映
射f下， ；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；不含 的B的
个数为 ，此时在映射f下， ， ；所以所有y中 的总个数和 的总个数均为
20．
综上，所有 的总和为 ．
（3）对于给定的 ，考虑 在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有 的子集B共 个，所以在映射f下 变为 ；不含 的子集
B共 个，在映射f下 变为 ；所以在映射f下得到的所有 的和为
．
同理，在映射f下得到的所有 （ ，3，4）的和为 ．
所以所有 的总和为 ．
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