文档内容
西山区 2024 届高三第三次教学质量检测
数学试题卷
（本试卷共四个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数z满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
3．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则 （ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．华为云“盘古”气象大模型是世界上首个精度超过传统数值预报方法的AI模型，对比传统方法，预测速
度提高10000倍以上，可秒级完成对全球气象的预测．由“盘古”模型预测，某地某天降雨的概率是0.5，连
续两天降雨的概率是0.3，已知某地某天降雨，则随后一天降雨的概率是（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
5．已知椭圆C： 的左焦点为F，点P在椭圆C上，若 的最大值是最小值的2倍，
则椭圆C的离心率 （ ）
A． B． C． D．
6．已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆 相交于点 ，将
的终边逆时针旋转45°之后与圆 的交点为B，则点B的横坐标为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋
谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则
在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线a，b，c与平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则a，b异面
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
10．直线 与函数 有且仅有三个交点，从左往右依次记作点
A，B，C，则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是 B． 有且仅有2个极大值点
C． 在 上单调递增 D．若 ，则
11．设O为坐标原点，直线l过抛物线C： 的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象
限）， ，l为C的准线， ，垂足为M， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 D．x轴上存在一点N，使 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
13．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上
底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要______立方米水制成．
（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态， ， ）
14．函数 的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ，且成等差数列， ， ．
（1）求a，c；
（2）点D在AC上，从下列三个条件中选择一个作为已知，求BD的长．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
16．（15分）
直三棱柱 中， ，M为AC的中点，N为 的中点， ．
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值．
17．（15分）
新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有
3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分
选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3
学科网（北京）股份有限公司个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多
三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其
他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．
18．（17分）
已知双曲线E： 的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ．
（1）求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点 的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得 ，若存
在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
19．（17分）
我们把 （其中 ， ）称为一元n次多项式方程．
代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ，…， 为实数）在复数集内至
少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重
根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为
n个一元一次多项式的积．
即 ，其中k， ，
， ， ，……， 为方程 的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即 ， ， ，…， 为实数），方程
的有实数根，则多项式 必可分解因式．例如：
观察可知， 是方程 的一个根，则 一定是多项式 的一个因式，即
，由待定系数法可知， ．
学科网（北京）股份有限公司（1）解方程： ；
（2）设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
（i）分解因式： ；
（ii）记点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
西山区 2024 届第三次高三教学质量检测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C D B B C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．2 13．11.1 14．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（书写合理尽量给分）
解：（1）由 ，且成等差数列，则 （Ⅰ）
又 ， ，则 ，代入得 （Ⅱ）
联立（Ⅰ）、（Ⅱ）得， ，
（2）若选①，过点B作AC边上的高BE，因为BD平分 ，所以
学科网（北京）股份有限公司，得 ，所以 ， ；
在 中， ，所以 ；
在 中， ，则 ．
若选②，过点B作AC边上的高BE，由 可得，
，则 ，又 ，所以 ， ；
在 中， ，所以 ；
在 中， ，则 ．
若选③，由 ，所以 ， ；
在 中， ，所以 ；
在 中， ，则 ．
16．（15分）
（1）证明：设直线 与 相交于点O，
因为三棱柱 为直三棱柱，又 ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，则 ，即 ；
又 ， ，
所以 平面 ；所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 平面 ，则 ，
又 ，所以 ．
（注：第一问也可直接建系，按高考评卷标准，有系无论对错既给1分，（1）（2）问不重复给建系分）
（2）由①得，建立空间直角坐标系 如图所示：
设 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，则平面 的法向量 ，
则 ， ，则平面 的法向量 ，
，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
注：建系，只要过程完整，无论对错可给3分，多对一个法向量多给2分．
17．（15分）
解：（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
设 “某题的答案是AB，该考生得分”，则 ．
（2）设方案一、二、三的得分分别为X，Y，Z．
学科网（北京）股份有限公司①∵ ， ．
∴X的分布列为：
X 2 3
P
则： ．
②∵ ， ， ，
∴Y的分布列为：
Y 0 4 6
P
则： ．
③∵ ， ，
∴Z的分布列为：
Z 0 6
P
则： ．
∵ ，∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
18．（17分）
解：（1）由题知： ，又 ， 解得： ， ；
则E的方程为 ．
（2）设AB中点为 ，由 可知 为等腰三角形， ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，可得 ， （Ⅰ）
设 ， ，则： ，
①－②化简整理得： ，即 ；
可得 （Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得： ；
所以直线l的方程为： ．
（第二问解法多样，几何法，联立方程组都可求解，其他方法参考上面过程合理给分即可）
19．（17分）
解：（1）观察可知： 是方程 的一个根；
所以： ，
由待定系数法可知， ， ， ；
所以 ，即 或 ，
则方程的根为 ， ， ．
（2）（i）由 可知： 是方程 的一个根；
所以： ，
由待定系数法可知， ， ， ；
所以
学科网（北京）股份有限公司．
（ii）令 ，即 ，
点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 是方程 的最小正实根；
由（i）知： 是方程 的一个正实根，
且 ，
设 ，由 ， ， ， 可知 为开口向上的二次函数；
又因为 ，则 一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又 ，可得 ，
所以 ；
当 时， ，
由二次函数单调性可知 ，即 是方程 的最小正实根．
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