文档内容
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知向量 ，若 ，则 （ ）
A.1 B.-1 C.9 D.-9
2.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A.1012 B.1013 C.2024 D.2025
3.若虚数单位 是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A.0 B.1 C. D.2
4.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过 ，这些人近视率
约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中含 项的系数为（ ）
A.9 B.10 C.18 D.20
6.已知函数 ，则“ ”是“ ”的.（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在同一平面上有相距14公里的 两座炮台， 在 的正东方.某次演习时， 向西偏北 方向发射炮弹，
则向东偏北 方向发射炮弹，其中 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着 改向
向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点 ，则 炮台与弹着点 的距离为（ ）
A.7公里 B.8公里 C.9公里 D.10公里
8.将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同
的分组方法数是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数 ，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C.当 时， 为奇函数
D.当 时，
10.下列结论正确的是（ ）
A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关
系数为0.95
B.已知随机变量 ，若 ，则
C.在 列联表中，若每个数据 均变成原来的2倍，则 也变成原来的2倍（
，其中 ）
D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， “2枚骰子正面
向上的点数相同”，则 互为独立事件11.已知圆 ，抛物线 的焦点为 为 上一点（ ）
A.存在点 ，使 为等边三角形
B.若 为 上一点，则 最小值为1
C.若 ，则直线 与 相切
D.若以 为直径的圆与 相外切，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.集合 ，则 __________.
13.已知 是双曲线 的左､右焦点，点 在 上.
，则 的离心率为__________.
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠
的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的
高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为 ，球冠
的高是 ，球冠的表面积公式是 ，与之对应的球缺的体积公式是 .如图2，已知
是以 为直径的圆上的两点， ，则扇形 绕直线 旋转
一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知向量 ，函数 .（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原
来的 ，得到函数 的图象，当 时，解不等式 .
16.（15分）
某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游.戏规则如
下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，
当参加游戏的学生位于第8､第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可
获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.，
（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第 级台阶，求 的分布列及数学期望 ；
（2）甲､乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
17.（15分）
如图，在直三棱柱 中， ，点 分别在棱 上，
为 的中点.
（1）在平面 内，过 作一条直线与平面 平行，并说明理由；
（2）当三棱柱 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（17分）
已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；（3）若存在 ，且 ，使得 ，求证： .
19.（17分）
动圆 与圆 和圆 都内切，记动圆圆心 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上
一点 处的切线方程为： ，试运用该性
质解决以下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ，切点分别
为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 ，设 的面积分别为 ，求
的最大值.
