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2000 年天津高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）设集合 且 ， ，且 ，则 中的
元素个数是
A．11 B．10 C．16 D．15
2．（4分）设 、 、 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
① ；
② ；
③ 不与 垂直；
④ ．
其中的真命题是
A．②④ B．③④ C．②③ D．①②
3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，这个长方体对角
线的长是
A． B． C．6 D．
4．（4分）已知 ，那么下列命题成立的是
A．若 、 是第一象限角，则
B．若 、 是第二象限角，则
C．若 、 是第三象限角，则
D．若 、 是第四象限角，则
5．（4分）函数 的部分图象是
A． B．
第1页 | 共21页C． D．
6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800
元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进
计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分
超过500元至2000元的部分
超过2000元至5000元的部分
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
7．（4分）若 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
8．（4分）已知两条直线 ， ，其中 为实数，当这两条直线的夹角在
内变动时， 的取值范围是
A． B． ， C． ， ， D．
9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
A． B． C． D．
10．（4分）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的
方程是
A． B． C． D．
第2页 | 共21页11．（4分）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 、 两点，若线段
与 的长分别是 、 ，则 等于
A． B． C． D．
12．（4分）二项式 的展开式中系数为有理数的项共有
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到
的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ．
14．（5分）椭圆 的焦点 、 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点
横坐标的取值范围是 ．
15．（5分）设 是首项为1的正项数列，且 ，2，3，
，则它的通项公式是 ．
16．（5 分）如图， 、 分别是正方体的面 、面 的中心，则四边形
在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）
三、解答题（共7小题，满分82分）
第3页 | 共21页17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判
断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
18．（12分）如图，直三棱柱 ，底面 中， ， ，
棱 ， 、 分别是 、 的中点．
（1）求 的长；
（2）求 的值；
（3）求证 ．
19．（12 分）如图，已知平行六面体 的底面 上菱形，且
，
（1）证明： ；
（2）当 的值为多少时，能使 平面 ？请给出证明．
第4页 | 共21页20．（12分）设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 ， ，
为数列 的前 项和，求 ．
21．（12分）设函数 ，其中 ，
（1）解不等式 ；
（2）证明：当 时，函数 在区间 ， 上是单调函数．
22．（12分）用总长 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的
一边比另一边长 ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
23．（12分）如图，已知梯形 中 ，点 分有向线段 所成的比为 ，
双曲线过 、 、
三点，且以 、 为焦点．求双曲线的离心率．
第5页 | 共21页2000年天津市高考数学试卷（文）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）设集合 且 ， ，且 ，则 中的
元素个数是
A．11 B．10 C．16 D．15
【解答】解：由集合 中的条件可得 中的元素有： ， ， ， ， 共10个；
集合 中的不等式 解得 且 ，所以 中的元素有： ， ， ， ，
，0，1，2，3，4，5共11个
所以 中的元素有： ， ， ， ， ，0，1，2，3，4，5共16个
故选： ．
2．（4分）设 、 、 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
① ；
② ；
③ 不与 垂直；
④ ．
其中的真命题是
A．②④ B．③④ C．②③ D．①②
【解答】解：由于 是不共线的向量，因此 不一定等于 ，故①错误；
由于 不共线，故 构成三角形，因此②正确；
由于 ，故③中两向量垂直，故③错误；
根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选 ．
3．（4分）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，这个长方体对角
线的长是
第6页 | 共21页A． B． C．6 D．
【解答】解：设长方体三度为 ， ， ，
则 ．
三式相乘得 ．
故选： ．
4．（4分）已知 ，那么下列命题成立的是
A．若 、 是第一象限角，则
B．若 、 是第二象限角，则
C．若 、 是第三象限角，则
D．若 、 是第四象限角，则
【解答】解：若 、 同属于第一象限，则 ， ；故 错．
第二象限，则 ， ；故 错．
第三象限，则 ， ；故 错．
第四象限，则 ，
．（均假定 ， ． 故 正确．
故选： ．
5．（4分）函数 的部分图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ，则 ， 为奇函数；
第7页 | 共21页又 时 ，此时图象应在 轴的下方
故选： ．
6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800
元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进
计算：
全月应纳税所得额 税率
不超过500元的部分
超过500元至2000元的部分
超过2000元至5000元的部分
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【解答】解：设收入为 元，税款为 元，则
当 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
题设 ，
故 ．
故选： ．
7．（4分）若 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由平均不等式知 ．
同理 ．
故选： ．
8．（4分）已知两条直线 ， ，其中 为实数，当这两条直线的夹角在
内变动时， 的取值范围是
第8页 | 共21页A． B． ， C． ， ， D．
【解答】解：直线 的倾斜角为 ，令直线 的倾斜角为 ，则有
过原点的直线 ， 的夹角在 内变动时，可得直线 的倾斜角的
范围是 ， ， ．
的斜率的取值范围是 ， ， ，即 ， ， ，
故选： ．
9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
A． B． C． D．
【解答】解：设圆柱底面积半径为 ，则高为 ，
全面积：侧面积
．
故选： ．
10．（4分）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的
方程是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，圆方程为 ，
圆心为 ，半径为1，
．
故选： ．
第9页 | 共21页11．（4分）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 、 两点，若线段
与 的长分别是 、 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
设 直线方程是 ，
则 ， 是方程 的两根，
，
其中 ．同理 ．
从而 ．
故选： ．
12．（4分）二项式 的展开式中系数为有理数的项共有
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
【解答】解： 展开式的通项
项的系数为
第10页 | 共21页要使系数为有理数，需 是6的倍数
所以 ，6，12，18，24，30，36，42，48，
故展开式中系数为有理数的项共有9项
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到
的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是 ．
【解答】解： 含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，
其中每个个体被抽到的概率相等，
总体中每个个体被抽到的概率是 ，
故答案为： ．
14．（5分）椭圆 的焦点 、 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点
横坐标的取值范围是 为： ．
【解答】解：如图，
设 ，则 ，
且 是钝角
．
故答案为： ．
第11页 | 共21页15．（5分）设 是首项为1的正项数列，且 ，2，3，
，则它的通项公式是 ．
【解答】解：
（另解 不合题意舍去），
，即 ，
故答案为： ．
16．（5 分）如图， 、 分别是正方体的面 、面 的中心，则四边形
在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上）
【解答】解：因为正方体是对称的几何体，
所以四边形 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，
第12页 | 共21页也就是在面 、面 、面 上的射影．
四边形 在面 和面 上的射影相同，如图②所示；
四边形 在该正方体对角面的 内，它在面 上的射影显然是一条线段，
如图③所示．故②③正确
故答案为 ②③
三、解答题（共7小题，满分82分）
17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判
断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
甲从选择题中抽到一题的可能结果有 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有
个，
故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有 个；
试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为 个，
甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 ，
所求概率为 ．
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，
甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 ，
第13页 | 共21页甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 ，
所求概率为 ．
18．（12分）如图，直三棱柱 ，底面 中， ， ，
棱 ， 、 分别是 、 的中点．
（1）求 的长；
（2）求 的值；
（3）求证 ．
【解答】解：如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ．
（1）依题意得 ，1， ， ，0， ，
（2分）
（2）依题意得 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ．
， ， ， ， （5分）
（9分）
（3）证明：依题意得 ，0， ， ，1， ， ，
第14页 | 共21页，
（12分）
19．（12 分）如图，已知平行六面体 的底面 上菱形，且
，
（1）证明： ；
（2）当 的值为多少时，能使 平面 ？请给出证明．
【解答】（1）证明：如图，连接 、 和 交于 ，连接 ．
第15页 | 共21页四边形 是菱形，
， ．
又 ， ，
△ △ ，
，
，（3分）
又 ， ，
平面 ，
又 平面 ，
．（6分）
（2）当 时，能使 平面 ．
，
，
又 ，
由此可推得 ．
三棱锥 是正三棱锥．（9分）
第16页 | 共21页设 与 相交于 ．
，且 ，
．
又 是正三角形 的 边上的高和中线，
点 是正三角形 的中心，
平面 ，
即 平面 ．（12分）
20．（12分）设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 ， ，
为数列 的前 项和，求 ．
【解答】解：设等差数列 的公差为 ，则
．
， ，
即
解得 ， ．
，
，
第17页 | 共21页数列 是等差数列，其首项为 ，公差为 ，
．
21．（12分）设函数 ，其中 ，
（1）解不等式 ；
（2）证明：当 时，函数 在区间 ， 上是单调函数．
【解答】（1）解：不等式 即 ，
由此得 ，即 ，其中常数 ．
所以，原不等式等价于
即 （3分）
所以，当 时，所给不等式的解集为 ；
当 时，所给不等式的解集为 ．（6分）
（2）证明：在区间 ， 上任取 ，
使得
，
，
又 ，
第18页 | 共21页，
即 ．
所以，当 时，函数 在区间 ， 上是单调递减函数．（12分）
22．（12分）用总长 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的
一边比另一边长 ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
【解答】解：设容器底面短边长为 ，则另一边长为 ，
高为
由 和 ，得 ，
设容器的容积为 ，则有
整理，得 ，（4分）
（6分）
令 ，有 ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．（8分）
从而，在定义域 内只有在 处使 ．
由题意，若 过小（接近 或过大（接近 时， 值很小（接近 ，
因此，当 时 取得最大值， ，这时，高为 ．
答：容器的高为 时容积最大，最大容积为 ．（12分）
23．（12分）如图，已知梯形 中 ，点 分有向线段 所成的比为 ，
双曲线过 、 、
三点，且以 、 为焦点．求双曲线的离心率．
第19页 | 共21页【解答】解：如图，以 的垂直平分线为 轴，直线 为 轴，建立直角坐标系 ，
则 轴．
因为双曲线经过点 、 ，且以 、 为焦点，由双曲线的对称性知 、 关于 轴对称．
（2分）
依题意，记 ， ， ， ，
其中 为双曲线的半焦距， ， 是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点 的坐标为 ， ．
（5分）
设双曲线的方程为 ，则离心率 ．
由点 、 在双曲线上，
第20页 | 共21页得 （10分）
解得 ，化简可得 ，
所以，离心率 （14分）
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日期：2019/5/27 23:02:56；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156
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