文档内容
参照秘密级管理★启用前
试卷类型：A
2024 届高三模拟考试
数学试题
2024.03
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检
查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
疗 疗效
合计
法 未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合
21 115 136
计
经计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验（已知 独立性检验中 ），
则可以认为（ ）
A．两种疗法的效果存在差异
B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
C．两种疗法的效果没有差异
D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在平面直角坐标系 中，已知 为圆 上动点，则
学科网（北京）股份有限公司的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
5．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题错误的是（ ）
A．若数据 的标准差为 ，则数据 的标准差为
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 为取有限个值的离散型随机变量，则
7．在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，则以 为球心，
为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 为抛物线 的焦点， 的三个顶点都在 上， 为 的中点，且 ，
则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 在 上单调递增
C． 在 上有2个零点
学科网（北京）股份有限公司D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称
10．已知 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．将数列 中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数 成
等差数列．若 ，则（ ）
A． B．
C． 位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为______．（用数字作答）
13．已知 为偶函数，且 ，则 ______．
14．盒子内装有编号为1，2，3，…，10的10个除编号外完全相同的玻璃球．从中任取三球，则其编号之
和能被3整除的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 是边 上的高，且 ，求 ．
学科网（北京）股份有限公司16．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 与底面所成的角为 ，E
为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（15分）
已知 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围．
18．（17分）
有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游
戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答
题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 ．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始
时乙罐无球．
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第 次答题后游戏停止的概率为 ．
①求 ；
② 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．
19．（17分）
学科网（北京）股份有限公司在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被 截得的线段
长为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知直线 与圆 相切，且与 相交于 两点， 为 的右焦点，求
的周长 的取值范围．
2024 届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
2024.03
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1-4．DCAB 5-8．BDCB
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．0 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意及正弦定理，得 ，
所以 ．
又因为 为 的内角，所以 ．
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
（2）方法一 由题意知 ，所以 ，
所以 ．
即 （*）
又 ，
所以
代入（*）式得 ，
所以 ，所以 ．
方法二 中，由余弦定理得
，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
由平面向量基本定理知， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
16．证明：（1）因为 平面 平面 ，所以 ，
因为 与平面 所成的角为 平面 ，
所以 ，且 ，
又 为 的中点，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为底面 为正方形， 为 的内心，
所以 在对角线 上．
如图，设正方形的对角线的交点为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，又因为 ，所以 ．
由题意知 两两垂直，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空
间直角坐标系 ．
所以 ，由（1）知 ，
所以 ，
所以 ．
又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
17．解：（1）由题意知 定义域为
且 ．
令 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增．
②当 时， ，记 的两根为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，且 ．
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2） ，化简得 ．
方法一 易证 ，当且仅当 取等号，
令 ，显然 在 上单调递增．
又因为 ，
所以存在唯一 ，使得 （*）分
所以 ，当且仅当 时取等号．
①当 时， 成立．
②当 时，由（*）知 ， ．
所以 与 恒成立矛盾，不符合题意．
综上 ．
方法二 即 ．
令
则 ．
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ．
所以 在 上单调递增．
又 ，
所以 ，使 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
由 得 ，
即 ．
设 ，则
所以 在 上单调递增．
由 ，得 ，
所以 ，
即有 ，且
所以 ，
所以 ．
18．解：（1）记 “此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
“第 次摸出红球，并且答题正确”， ；
“第 次摸出黑球，并且答题正确”， ；
“第 次摸出红球或黑球，并且答题错误”， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
又 ； ； ，
所以
．
同理：
所以 ．
（2）①第 次后游戏停止的情况是：前 次答题正确恰好为4次，答题错误 次，且第 次摸出最
后一球时答题正确．
所以 ．
②由①知 ，
所以 ．
令 ，解得 ； ，解得 ．
所以 ，
所以 的最大值是 ．
学科网（北京）股份有限公司19．解：（1）由题意，得
解得 ．所以 的方程为 ．
（2）由题意知 ，设 ，
由 与圆 相切，得 ，即 ．
由 消去 并整理得 ．
该方程的判别式 ，
由韦达定理得 ．
于是
，
而 ．
同理， ．
所以
．
学科网（北京）股份有限公司显然 ，下面针对 的符号进行讨论：
①当 时， ．（*）
令 ，则 且 ．
代入（*）化简得 ．
因为 ，所以 ，解得 ，当且仅当 时取等号．
②当 时， ．
综上， 周长 的取值范围为 ．
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