文档内容
专题 08 平面向量小题全面梳理与精细分类
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................7
题型一：平面向量基本定理及其应用 7
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用 8
题型三：平面向量的数量积 9
题型四：平面向量的模与夹角 11
题型五：等和线问题 12
题型六：极化恒等式 13
题型七：矩形大法 15
题型八：平面向量范围与最值问题 16
题型九：等差线、等商线问题 18
题型十：奔驰定理与向量四心 20
题型十一：阿波罗尼斯圆问题 22
题型十二：平行四边形大法 23
重难点突破：向量对角线定理 25平面向量的数量积、模和夹角是高考中的重点和热点内容，它们通常以选择题或填空题的形式被考察。
这类题目经常以平面图形作为背景，来测试学生对数量积、夹角以及向量垂直条件的理解和应用。此外，
这些内容还容易与平面几何、三角函数、解析几何以及不等式等其他数学知识相结合，作为解题的工具或
手段。近年来，高考中主要围绕平面向量的坐标运算、模的最大或最小值问题，以及向量的夹角等问题进
行考察。这些问题与三角函数、解析几何等知识点紧密相关，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
平面向量基本定理及
理解定理，掌握应用 2022年I卷第3题，5分
其应用 2025 年高考中，平面
向量的数量积预计将继续成
为重点考察内容，可能会单
2024年 I I卷第 3题，5分 独出现，也可能与平面图形
2023年北京卷第3题，4分 等其他知识点相结合。考察
平面向量的数量积、 理解概念，应用解决 内容将涵盖平面向量数量积
2023年甲卷第4题，5分
模、夹角 实际问题 的定义、性质及其应用，特
2023年 I卷第3题，5分 别是利用数量积来计算向量
2023年 I I卷第13题，5分 的夹角、模以及判断向量的
垂直关系等问题。这些题目
2024年天津卷第14题，5分
的难度可能会涵盖基础题、
2023年天津卷第14题，5分 中档题乃至难题，并且以选
掌握范围求解，最值 择题或填空题的形式呈现。
平面向量范围与最值 2022年北京卷第10题，4分
方法，提升解题能力
2022年浙江卷第17题，4分
2022年天津卷第14题，5分1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问
题，总的思路有：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行
相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方
程进行求解．
2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：
①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面
图形的特征直接进行判断；
②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024年天津高考数学真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中
为实数，则 ；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为
．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023年北京高考数学真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与
交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．题型一：平面向量基本定理及其应用
【典例1-1】如图，在 中， ， 是 的中点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如图，在 中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近 的
四等分点，CD与AE交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．
2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知等边 的边长为1，点 分别为 的中点，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形 中， 分别在边 上，
， 相交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形 中，点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
【典例2-1】在 中， 、 分别在边 、 上，且 ， ， 在边 上（不
包含端点）．若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知 是平面内两个不共线的向量， ， ，则 三点共
线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
1、平面向量共线定理：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量 ， ，则 的充要条
件是 ；（2）若 ，则 ．
【变式2-1】如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设
， ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3【变式2-2】如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 ，
则 的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
1．已知 是 所在平面内一点，若 均为正数，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
题型三：平面向量的数量积
【典例3-1】如图，在平行四边形 中， 分别为 的中点， 为 上一点，且 ，
，则 ．【典例3-2】已知向量 ， 满足 ，且 ，则 ．
1、向量的数量积：设两个非零向量 的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积，记作 ．
2、数量积的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
3、设向量 ， ，则 ，由此得到：
（1）若 ，则 或 ．
（2）设 ，则A，B两点间的距离
（3）设两个非零向量 ，且 ， ，则
（4）若 都是非零向量， 是 与 的夹角，则
【变式3-1】如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若
， ，则 的值为 .
【变式3-2】如图，在平面四边形 中，O为BD的中点，且 ， .若 ，则
.1．已知 是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边 ， 的中点，连接 并延长到点F．使
得 ，则 ．
题型四：平面向量的模与夹角
【典例4-1】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在 中， ， ，P在以O为圆
心，半径为1的圆上运动，则当 取最大值时， ．
(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为 ．
(2)求非零向量 的夹角一般利用公式 先求出夹角的余弦值，然后
求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期末）已知非零向量 满足： ，且 ，则
.【变式4-2】已知平面内两个向量 ， ，若 与 的夹角为钝角，则实数k的取值范围是
.
1．平面向量 满足 ， ，若 ，则 .
题型五：等和线问题
【典例5-1】已知在 中，点P满足 ，动点M在 的三边及内部运动，设
，则 的取值范围为 .（用区间表示）
【典例5-2】如图，已知 是圆 上不同的三点， 与 交于点 （点 与点 不重合），若
，则 的取值范围是 ．
等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
①当等和线恰为直线 时， ；
②当等和线在 点和直线 之间时， ；
③当直线 在点 和等和线之间时， ；
④当等和线过 点时， ；
⑤若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
【变式5-1】已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 ，
则 的取值范围是 .
【变式5-2】如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ， ，点 是圆 及其内
部任意一点，且 ，则 的取值范围是 ．1．已知 为 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若
，则 的取值范围是 ．
题型六：极化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知圆C的半径为2，点A满足 ，E，F分别是C上两个动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【典例6-2】已知正六边形 的边长为4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆 的半径为2，圆
的直径 ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设 ，则 ，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
②三角形模式： （M为BD的中点）
A
B M C
【变式6-1】已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的最大值为 .
【变式6-2】在 中， ， ， ，P，Q是BC边上的两个动点，且 ，则
的最大值为 ．1．已知点O为坐标原点， 为圆 的内接正三角形，则 的最小
值为 ．
2．如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则 的值为 .若在线
段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .
题型七：矩形大法
【典例7-1】已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，
满足 ，则线段AB的取值范围是 ．
【典例7-2】在平面内，已知 ， ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，
证明： ．【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，点 ，M、N为圆O上两个不同的点，
且 若 ，则 的最小值为______．
【变式7-2】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量 ， 是平面内两个互相
垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知向量 、 满足 且 ，则 的最大值为 .
题型八：平面向量范围与最值问题
【典例8-1】若 ， ，则 的最大值是 ；最小值是 ．
【典例8-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在四边形 中，已知 ，
点 在边 上，则 的最小值为 .平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步： 将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步： 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【变式8-1】（2024·高三·上海·期中）在平面上，已知两个单位向量 、 的夹角为 ，向量
，其中 .则 的最大值为 .
【变式8-2】设向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为
1．已知向量 ， 满足 ，则 的最大值与最小值之和为 ．
2．已知向量 满足 ，则 的取值范围为 ．题型九：等差线、等商线问题
【典例9-1】如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），若 ，
则 ， 的最小值为 .
【典例9-2】（多选题）给定两个单位向量 ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运
动， ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C．2 D．0
1、如图设 ， 是平面内两个不共线向量，若 = ，反向延长 到 ,使
，当P位于直线BE上时，一定有 ，若 且 ，则有 .2、如图所示，令 ，若 ，根据等和线定理可得 ，
所以直线OC就是一条等商线.
【变式9-1】（多选题）在 中，点 满足 ，当点 在线段 上（不含 点）移动时，记
，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【变式9-2】（2023·山西·高一统考期末）已知在 中，点 满足 ，点 在线段 (不含端
点 ， )上移动，若 ，则 .
1．（多选题）已知 中， 是边 的中点，动点 满足
，则（ ）
A． 的值可以等于2
B． 的值可以等于2
C． 的值可以等于D． 的值可以等于3
题型十：奔驰定理与向量四心
【典例10-1】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰
定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内一
点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题错误的是
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【典例10-2】平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为 内的一点， ， ， 的
面积分别为 ， ， ，则 ．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔
驰定理”．已知O为 的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．1、重心定理：①在△ABC中，若G为重心，则 ．
． ③
②
④三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
2、奔驰定理：若 ，则 ；
3、垂心定理：三角形三边上的高相交于一点
ABC
故点O是 的垂心，
．
则一定有
，即 ，以此类推即可证明．
4、外心向量定理：
（1） ， ； ；
（2） ， ， ；
， ，
（3）
5、内心定理
①角平分线的交点，到三条边的距离相等；
② ；
③【变式10-1】在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典
的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式10-2】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一
点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
1．在锐角 中，内角 的对边分别为a，b，c， ， 为其外心.若 外接圆半径为 ，
且 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知 的外心为 ，内角 的对边分别为 ，且 ．若 ，则
（ ）
A． B．50 C．25 D．题型十一：阿波罗尼斯圆问题
【典例11-1】（2024·高三·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹为圆，
且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知 满足
，则 的取值范围为 ．
【典例11-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 、
的距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波
罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 中， 、 ，点 满足 ，则 的
最小值为 .
在平面上给定两点A，B，设点 在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个
圆，称之为阿波罗尼斯圆（ 时 点的轨迹是线段AB的中垂线）．
【变式11-1】已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
1.已知平面向量 ， ， 满足： ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
题型十二：平行四边形大法
【典例12-1】如图，C，D在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是
_________.
【典例12-2】半径为 的两圆 和圆 外切于点 ，点 是圆 上一点，点 是圆 上一点，则
的取值范围为_______.
1、中线长定理2、 为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
【变式12-1】如图，圆 是半径为1的圆， ，设 ， 为圆上的任意2个点，则 的取值范
围是___________.
1．设圆 ，圆 的半径分别为1，2，且两圆外切于点 ，点 ， 分别是圆 ，圆 上的两动点，则
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
重难点突破：向量对角线定理
【典例13-1】已知平行四边形 ， ， ， ， 与 交于点 ，若
记 ， ， ，则（ ）
A. B． C． D．
【典例13-2】如图，在圆 中，若弦 ，弦 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．【变式13-1】在四边形ABCD中， ， 若， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式13-2】如图，点 在以 为直径的圆上，其中 ，过 向点 处的切线作垂线，垂足为 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．在 中， ， ， ，若点 满足 ，则 .
