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韶关市 2024 届高三综合测试（二）
数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分，考试时间 120分钟．
注意事项：
1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、学校和班级填写在
答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内和应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以
上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
{ } 1 ( )
1．若集合A= x1< x ≤6 ,B = x <0，则 A B =（ ）
x−7 R
A． { x x ≤1或6≤ x ≤7 } B． { x x ≤1或6< x<7 }
C． { x x<1或6≤ x<7 } D． { x x ≤1或6< x ≤7 }
2．设α,β,γ是三个不同的平面，m,l 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α,m∥β，则α∥β B．若m∥α,l∥α，则m∥l
C．若m ⊥α,m ⊥β，则α∥β D．若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β
3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉 12 和 45，将剩下的数据与原数据相比，
则（ ）
A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．上四分位数不变
4 ． 过 点 P (−2,3 ) 作 斜 率 为 −2 的 直 线 ， 若 光 线 沿 该 直 线 传播 经 x 轴 反 射 后 与 圆
C:(x−3)2 +(y−2)2 = r2(r >0)相切，则r =（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
5．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的计算公式是W =(长+4 )×(宽+4 ) ，在
不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这
块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
1 3
6．在△ABC 中，tanA= ,tanB = ．若△ABC 的展长边的长为 17 ．则最短边的长为（ ）
4 5
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
x2 y2
7．已知双曲线C: − =1(a >0,b>0)的左焦点为F ，过点F 的直线l:3x+4y+m =0与 y轴交于点
a2 b2
B，与双曲线C交于点A（A在y轴右侧）．若B是线段AF 的中点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
3 1
A．y =± x B．y = ± x C． y = ± 3x D． y = ±2x
3 2
a,a ≥b b,a ≥b
8 ． 定 义 max { a,b }= ,min { a,b }= ， 对 于 任 意 实 数 x >0,y >0 ， 则
b,a<b a,a<b
1 1
minmax2x,3y, + 的值是（ ）
4x2 9y2
A．3 2 B． 2 C． 3 D．3 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知复数z ,z ，则下列命题正确的是（ ）
1 2
A．若 z = z ，则z =±z B．若z = z ，则 z z = z 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
C．若z 是非零复数，且z 2 = z z ，则z = z D．若z 是非零复数，则z + ≠0
1 1 1 2 1 2 1 1 z
1
10．设函数 f ( x )=2sin2x−3sin x +1，则（ ）
A． f ( x )是仙函数 B． f ( x )在[−2π,2π]上有6个零点
1 π
C． f ( x )的是小值为− D． f ( x )在 − ,0 上单调递减
8 4
11．已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,g ( x ) 的导函数分别为 f′( x ) ,g′( x ) ，且 f ( x )= f ( 4−x ) ，
f ( 1+ x )−g ( x )=4, f′( x )+g′( 1+ x )=0，则（ ）
A．g ( x )关于直线x =1对称 B．g′( 3 )=1
学科网（北京）股份有限公司C． f′( x )的周期为4 D． f′( n )⋅g′( n )=0 ( n∈Z )
三、填空题：本题共 3小题、每小题 5分、共 15分．
12．二项式( 2−x )n 的展开式中，x2项的系数是常数项的2.5倍，则n =______．
( ) ( )
13．已知平面向量a、b、c均为单位向量，且|a+b |=1，则向量a与b 的夹角为______， a+b ⋅ b −c 的
最小值为______．
π
14．在三棱锥P− ABC中，侧面与底面ABC的夹角均为 ，若AB =2,CA+CB =4，且△ABC 是直角三
4
角形，则三棱锥P− ABC的体积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3
15．（13分）已知函数 f ( x )=ax+ +2lnx在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线平行于x轴．
x
（1）求实数a；
（2）求 f ( x )的单调区间和极值．
1
16．（15分）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是 ，击中区域乙的
3
1 1
概率是 ，击中区域丙的概率是 ，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中
4 8
区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获
得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．
（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．
17．（15分）如图，圆柱OO 内有一个直三棱性ABC− ABC ，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知
1 1 1 1
圆柱OO 的轴截面是边长为6的正方形，AB = AC = 30，点P在线段OO 上运动．
1 1
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：BC ⊥ PA；
1
（2）当PA = PB时，求BC与平面APB所成角的正弦值．
1 1
( )
f x
18．（17分）记R上的可导函数 f ( x )的导函数为 f′( x )，满足x = x − n ( n∈N* ) 的数列{ x }称为
n+1 n f′( x ) n
n
函数 f ( x ) 的“牛顿数列”．已知数列{ x }为函数 f ( x )= x2 −x 的牛顿数列，且数列{ a }满足
n n
x
a =2,a =ln n ,x >1．
1 n x −1 n
n
（1）求a ；
2
（2）证明数列{ a }是等比数列并求a ；
n n
（3）设数列{ a }的前n项和为S ，若不等式(−1)n⋅tS −14≤ S 2对任意的n∈N∗恒成立，求t的取值范围．
n n n n
x2 y2 1
19．（17 分）已知椭圆C: + =1(a >b>0)的离心率为 ，长轴长为 4，A,B是其左、右顶点，F 是
a2 b2 2
其右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P ( x ,y )( y >0 )是椭圆C上一点，∠PFB的角平分线与直线AP交于点T ．
0 0 0
①求点T 的轨迹方程；
9
②若△TPF 面积为 ，求x ．
4 0
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