文档内容
衡阳市一中 2022 级 2023-2024 学年下学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 函数 在 上的单调性是（ ）．
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在 上单调递减，在 上单调递增
D. 在 上单调递增，在 上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数判断函数 在 上的单调性.
【详解】 ，令 ，得 ；
令 ，得 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司2. 已知数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和.已知 ，则 （ ）
A. 15 B. 17 C. 31 D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先判断 ，再求出首项和公比，注意各项均为正数，再求 即可.
【详解】解：设公比为 ，显然 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】考查等比数列的有关计算，基础题.
3. 正方体 的棱长为2，E，F，G分别为 ，AB， 的中点，则直线ED与FG所成
角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B
4. 如果定义在R上的函数 满足：对于任意 ，都有
，则称 为“ 函数”．给出下列函数：① ；② ；③ ；
④ ，其中“ 函数”的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得 恒成立，则函数f（x）是定义在R上的增函数，利
用导数判断①②得单调性，即可判断；根据指数函数得单调性即可判断③，分 和 判断函数得单
调性即可判断④.
【详解】解：∵对于任意给定的不等实数 ，不等式 恒成立，
∴不等式等价为 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司即函数f（x）是定义在R上的增函数，
① ， ，当 或 时， ，
所以函数 在 和 上递减，故不满足条件；
② ； ，
所以函数单调递增，满足条件；
③ 为增函数，满足条件；
④ ，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件，
综上满足“H函数”的函数为②③.
故选：C.
5. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，
再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 的边长为 ，点 在四段
圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求出点 的横坐
标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的取值范围.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
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学科网（北京）股份有限公司设点 ，易知，以 为半径的左半圆的方程为 ，
以 为半径的右半圆的方程为 ，
所以点 的横坐标 的取值范围是 ，
又因为 ， ，所以， .
故选：B.
6. 若函数 恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为 与 有两个交点，分类讨论取绝对值，利用导数讨论单调性，
然后做出 的草图可得.
【详解】因为 ，所以 不是 的零点，
当 时，令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司记 ，
则问题转化为 与 有两个交点，
易知 在 上单调递增，
又 ，
所以 的零点 ，当 时 ，当 时 ，
当 且 时， ，
令 ，得
当 时， ， 单调递增，当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ，则 ， 单调递增，
且当x趋近于0或从左趋近于1时， 趋近于 ，当x从右趋近于1时， 趋近于 ，当x趋近于
时， 趋近于1.
又 ，
所以可作 的草图如下：
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，当 或 时， 与 有两个交点，即 有两个零点.
故选：B
7. 已知点 ，若圆 上存在点 ，使得线段 的中点也在圆 上，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知用相关点法，求出 中点 的轨迹方程，又有 点在圆上，可得 点轨迹与圆有公共点，求
出 的范围.
【详解】设 ， 的中点 ，
由已知有 解得 ，
即 的中点的轨迹为圆 ，
又线段 的中点也在圆 上，∴两圆有公共点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 .
故选:B.
【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题.
8. 若 ， ， ，则（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数运算结合对数函数单调性可得 ，并与 比较大小，再构造函数
，可得 ，即可与c比较大小作答.
【详解】依题意， ，
令函数 ，求导得
，
函数 在 上单调递减， ，即当 时，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，因此 ，
所以 .
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓
住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平行六面体 如图所示，其中 ， ，
，线段AC，BD交于点O，点E是线段 上靠近 的三等分点，则下列说法正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.
【详解】依题意， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，故A正确；
，故B错误；
，
则 ，故C错误；
，故D正确；
故选：AD.
10. 设函数 ，且 ，下列命题：其中正确的命题是（ ）
.
A 若 ，则 ；
B. 存在 ， ，使得 ；
C. 若 ， ，则 ；
D. 对任意的 ， ，都有 .
【答案】BCD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】
结合割线与切线斜率的大小关系即可判断选项A、B、C，根据中位线与函数值的大小比较可判断选项D，
进而可得正确选项.
【详解】
由 可得 ，
如图：对于选项A： 表示曲线在点 处的切线斜率小于割线 的斜率，所以 ，
故选项A不正确；
对于选项B：在点 处的切线斜率小于割线 的斜率，在点 处的切线斜率大于割线 的斜率，所以
在曲线 上必存在某点 ，使得该点处的切线斜率等于割线 的斜率，所以存在
， 使得 ； 故选项B正确；
对于选项C： ，由图知割线 的斜率，小于在点 处的切线的斜率，所以
，故选项C正确；
对于选项D：由图知梯形中位线 的长为 ， 的长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，故选项D正确；
故选：BCD公众号：高中试卷君
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数的几何意义，数形结合比较切线和割线的斜率，理解
凸函数的性质.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在三个不同的零点
B. 函数 的极小值为 ，极大值为
C. 若 时， ，则t的最大值为2
D. 若方程 有两个实根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】解方程求出零点判断A；利用导数求出函数 的极值判断B；求出函数单调区间，数形结合判
断CD.
【详解】对于A，由 ，得 ，解得 ，函数 只有两个零点，A错误；
对于B，函数 定义域为R，求导得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
函数 的极小值为 ，极大值为 ，B正确；
对于C，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 单调递减，值域为 ，而 ，
则 ，函数 在 上的值域为 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上的值域为 ，
因此存在 ，使得 ，如图，
由当 时， ，得 ，则 的最大值为2，C正确；
对于D，方程 有两个实根等价于 的图象与直线 有两个交点，如图，
观察图象知：当 时，直线 与 的图象有两个交点，
因此方程 有两个实根时， ，D正确.
故选：BCD
【点睛】易错点睛：关键是首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，
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学科网（北京）股份有限公司要注意 是函数的单调递减区间，且 恒成立，图象是无限接近 轴，如果这里判断错了，
那选项就容易判断错了．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将
2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此
数列的项数为_______．
【答案】57
【解析】
【分析】由题意可得 ，令 ，求出n的最大值即可得解.
【详解】被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故 ．
由 可得 可取的最大整数为57，故此数列最后一项的项数为57．
故答案为：57.
【点睛】本题考查了数列通项公式的应用，属于基础题.
13. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于A，B两点，A，B
中点 在 轴上方且其横坐标为1， ，则直线 的斜率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出直线 的方程为： ，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和
弦长公式，以及中点坐标即可求解.
【详解】由题意可知：直线 的斜率存在且大于零，
则设直线 的方程为： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司联立方程组 ，整理可得： ，
则 ， ，又因为A，B中点 的横坐标为1，
所以 ，则 ，
由弦长公式可得： ，
又因为 ，则有 ，
化简整理可得： ，即 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故答案为： .
14. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，若平面 平面ABCD，侧面PAD是边长为 的正三角形，
底面ABCD是矩形， ，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是______．（填序号）
① 平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为 ；
③三棱锥B-ACQ的体积为 ；④四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 ．
【答案】②④
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则由已知可得 平面 ，而底面
为矩形，所以以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴， 轴 ， 轴，建立空间
直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.
【详解】解：取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
因为三角形 为等边三角形，所以 ,
因为平面 平面ABCD，所以 平面 ，
因为 ，所以 两两垂直，
的
所以，如下图，以 为坐标原点，分别以 所在 直线为 轴， 轴 ， 轴，建立空间直角
坐标系，
则 ，
，
因为点Q是PD的中点，所以 ，
对于①：平面 的法向量为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 与 不共线，所以 与平面 不垂直，故①不正确；
对于②： ，
设平面 的法向量为 ，则
，
令 ，则 ，
所以 ，
设PC与平面AQC所成角为 ，
则 ，
所以 ，所以②正确；
对于③：三棱锥 的体积为
，所以③不正确；
对于④：设四棱锥 外接球的球心为 ，则 ，
所以 ，
解得 ，即 为矩形 对角线的交点，
所以四棱锥 外接球的半径为 ，
设四棱锥 外接球的内接正四面体的棱长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为 ，所以 ，得 ，
所以正四面体的表面积为 ，所以④正确.
故选：②④.公众号：高中试卷君
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发
前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
因发烧请假 非发烧请假 合计
流感暴发前 10 30
流感暴发后 30
合计 70
（1）完成 列联表，并依据 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人
数有影响．
（2）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 ，且 的因发烧请假的男生需要输液
治疗， 的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，
求这名同学是女生的概率．
附： ．
0．05 0．01 0．001
3．841 6．635 10．828
【答案】（1）表格见解析，有影响
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意完成 列联表，计算 ，再与临界值比较即可；（2）利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
零假设为 ：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立．
完成列联表如下所示．
因发烧请假 非发烧请假 合计
流感暴发前 10 20 30
流感暴发后 30 10 40
合计 40 30 70
根据列联表中的数据，经计算得
．
所以我们推断 不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
【小问2详解】
设 事件表示请假的同学为女生， 事件表示需要输液治疗，
， ，
则 ．
所以这名同学是女生的概率为 ．
16. 已知 为各项均为正数的等比数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前n项和 ．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】(1)利用基本量法，求出首项和公比，即可求解.
(2)利用错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
设等比数列 公比 为
【小问2详解】
17. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”
两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊
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学科网（北京）股份有限公司杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊
杂志”的概率为 ．
（1）求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；
（2）求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率公式与条件概率的乘法公式即可得解；
（2）利用全概率公式求解.
【小问1详解】
用 ， 分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用 ， 表示第一次、第二次借阅“文献书籍”.
则 ， ， ， , .
记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件 ，则
.
【小问2详解】
设第二次借阅“文献书籍”为事件 ，则：
.
18. 如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ， 为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若 为 的中点，求二面角 的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.
【小问1详解】
以 为原点，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
而 ，故 ， ，
故 ， ， ，
设面 的法向量为 ，故得 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ， ，故得 ，
显然 与 平行，故 平面 得证.
【小问2详解】
易知 ， ， ， ，
， ，设面 的法向量为 ，
故有 ，令 ，解得 ， ，故 ，
设面 的法向量为 ，故得 ，
令 ，解得 ， ，故 ，
设二面角 为 ，结合图象可知 ，
故 ，
故 ，即二面角 的大小为 .
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 有两个不同的零点 ，
（i）求实数 的取值范围：
（ⅱ）若 满足 ，求实数 的最大值.
【答案】（1）答案见解析；
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）求导 ，分类讨论参数 和 时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得 ，令 ，利用导数研究函数的单调性，极值，数
形结合即可；
（ⅱ）由已知 ，设 ，可得 ，设 ，利用
导数研究函数的单调性，可求额 ，再利用 的单调性可求得 ，
进而求得结果.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 的递增区间是 ，无递减区间；
当 时， 的递增区间是 ，递减区间是 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）由 ，得 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
而当 时， 恒成立，且 ，
由 有两个零点，即方程 有两个不等的正根，亦即直线 与 的图象有两个公共点，
因此 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
（ⅱ）由 ，得 ，且 ，
不妨设 ，将 代入 ，
得 ，即 ，
令 ，求导得 ，令 ，
求导得 ，则函数 在 上单调递减，
有 ，即 ，函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此函数 在 上单调递减，即 ，
于是 ，有 ，则 ，
又 ，令 ， ，
由（ⅰ）知， 在 上递增，而 ，因此 在 上递增，
则 ，即 ，解得 ，
所以a的最大值是 .
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，
即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司
