文档内容
衡阳市一中 2022 级 2023-2024 学年下学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 函数 在 上的单调性是（ ）．
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在 上单调递减，在 上单调递增
D. 在 上单调递增，在 上单调递减
2. 已知数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 项和.已知 ，则 （ ）
A. 15 B. 17 C. 31 D. 33
的
3. 正方体 棱长为2，E，F，G分别为 ，AB， 的中点，则直线ED与FG所成
角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
4. 如果定义在R上的函数 满足：对于任意 ，都有
，则称 为“ 函数”．给出下列函数：① ；② ；③ ；
④ ，其中“ 函数” 个数是
的
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，
再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形 的边长为 ，点 在四段
圆弧上运动，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
的
7. 已知点 ，若圆 上存在点 ，使得线段 中点也在圆 上，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
8. 若 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知平行六面体 如图所示，其中 ， ，
，线段AC，BD交于点O，点E是线段 上靠近 的三等分点，则下列说法正确的是（
）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
10. 设函数 ，且 ，下列命题：其中正确 的命题是（ ）
A. 若 ，则 ；
B. 存在 ， ，使得 ；
C. 若 ， ，则 ；
D. 对任意的 ， ，都有 .
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在三个不同的零点
B. 函数 的极小值为 ，极大值为
C. 若 时， ，则t的最大值为2
D. 若方程 有两个实根，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将
2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此
数列的项数为_______．
13. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于A，B两点，A，B
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学科网（北京）股份有限公司中点 在 轴上方且其横坐标为1， ，则直线 的斜率为______.
14. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，若平面 平面ABCD，侧面PAD是边长为 的正三角形，
底面ABCD是矩形， ，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是______．（填序号）
① 平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为 ；
③三棱锥B-ACQ的体积为 ；④四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发
前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
因发烧请假 非发烧请假 合计
流感暴发前 10 30
流感暴发后 30
合计 70
（1）完成 列联表，并依据 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人
数有影响．
（2）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 ，且 的因发烧请假的男生需要输液
治疗， 的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，
求这名同学是女生的概率．
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学科网（北京）股份有限公司附： ．
0．05 0．01 0．001
3．841 6．635 10．828
16. 已知 为各项均为正数的等比数列，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 前n项和 ．
17. 为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”
两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊
杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为 ，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊
杂志”的概率为 ．
（1）求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；
（2）求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．
18. 如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 为 的中点，求二面角 的大小.
19. 已知函数 .
的
（1）讨论函数 单调性；
（2）设函数 有两个不同的零点 ，
（i）求实数 的取值范围：
（ⅱ）若 满足 ，求实数 的最大值.
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