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邵阳市第二中学 2022 级高三第一次月考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 若非空集合A,B满足 ，U为全集，则下列集合中表示空集的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】根据 图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案.
【详解】根据 可以看出
对A， ；
对B， ；
对C， ；
对D， .
故选：D
2. sin40°(tan10°－√3)＝
A. － B. －1 C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式化简即可求解．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式的综合应用．
3. 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数 的定义域是 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的定义域为 ，
所以要使函数 有意义，则有 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的定义域为 .
故选：A.
4. 下列求导数计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．
【详解】解：A． ，正确，不符合题意；
B． ，错误，符合题意；
C． ，正确，不符合题意；
D． ，正确，不符合题意．
故选：B．
5. 苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处
理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成 ，则
，这样我们可以知道N的位数.已知正整数 是35位数，则M的值为（
）
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
.
0.30 0.48 0.60 070 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A. 3 B. 12 C. 13 D. 14
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.
【详解】由题意可知 ,两边同时取对数可得 ，
所以 ，故 ，则 ，
由表中数据可知 ,
故选：C
6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放
在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 ，其中 、 分别为左、右盘中物体质量， 、
分别为左右横梁臂长．
A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】设天平左臂长 ，右臂长 ，且 ，根据已知条件求出 、 的表达式，利用基本不等式
比较 与 的大小关系，即可得出结论.
【详解】设天平左臂长 ，右臂长 ，且 ，
设天平右盘有 克黄金，天平左盘有 克黄金，所以 ，
所以 ， ，则 ．
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司7. 如图，在 中，已知 边上的两条中线 相交于点
，求 的余弦值．（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求三角形中线 ， 的长度，根据三角形重心的性质求得 ， ，在 中，利用
余弦定理求 的余弦，即为所求结果.
【详解】因 ， ， .
为
因为
.
由 为 的重心，所以 ， .
在 中，由余弦定理，得：
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则k的最大值是（
）
A. B. C. 2e D. 4e
【答案】B
【解析】
【分析】设切点分别为 和 ，则 ，根据题意转化为
有解，设 ，求得 ，得出函数的单调性和极
小值 ，结合 ，即可求解.
【详解】因为 是 和 的公切线，
设切点分别为 和 ，则 ，
由 ，可得 ，则
又由 ，可得 ，且 ，则 ，
所以 ，可得 ，
即 ，显然 同号，不妨设 ，
设 ，（其中 ），
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
要使得 有解，则需要 ，即
即 ，解得 ，所以 ，即 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 有一个零点 B. 的极小值为
C. 的对称中心为 D. 直线 是曲线 的切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，
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学科网（北京）股份有限公司对于B，由选项A的得到函数的单调区间分析判断，对于C，令 ，可判断 的图象关于
原点对称，从而可判断出 的对称中心，对于D，利用导数的几何意义分析判断即可.
【详解】对于A，由 ，得 ，
令 ，得 ；令 ，得 或 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
所以当 时， ，当 时， 存在唯一零点，
故函数 在 上只有一个零点，故A正确；
对于B，由选项A可知，函数 的极小值为 ，故B正确；
对于C，令 ，定义域为 ，则 ，
所以函数 为奇函数，对称中心为 ，将函数 图象向下平移1个长度单位，得函数 的
图象，
所以 的对称中心为 ，故C错误；
对于D，由选项A知， ，令 ，又 ，
所以切线方程为 ，即 ，
所以直线 是曲线 在点 处的切线，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极
问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析
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学科网（北京）股份有限公司判断，考查计算能力，属于较难题.
10. 设点D是 所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 ，则D是BC边上靠近B的三等分点
B. 若 ，（ 且 ），则直线AD经过 的垂心
C. 若 ，且x， ， ，则 是 面积的一半
D. 若平面内一动点P满足 ，（ 且 ），则动点P的轨迹一定通过
的外心
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，化简等式成 ，即可判断；对于B，将等式两边与 作点乘，化简得出结果
为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，
化简向量等式，利用单位向量作出 即得菱形，推得 ，即得结论.
【详解】对于A，由 可得， ，
即得 ，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；
对于B，因 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，即 ，故直线AD经过
的垂心，即B正确；
对于C，因 ， ，则 ，
设 ，则 ，因 ，故 三点共线，
如图1所示， ，故 的 边上的高是 的 边上的高的一半，
故 是 面积的一半，即C正确；
对于D，由 可得， ，
如图2，取 ，则有 ，以 为两邻边作 ，
易知 是菱形，故 平分 ，且 故得， ，
故动点 的轨迹为 的平分线，即动点P的轨迹一定通过 的内心，故D错误.
故选：ABC.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.
对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定理的条件入手；有时通过与其他
向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.
11. 设函数 向左平移 个单位长度得到函数 ，已知 在 上有且
只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上，方程 的根有3个，方程 的根有2个
C. 在 上单调递增
D. 的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数的零点的个数，求出参数 的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.
【详解】由题意， ，
由题意， 不一定是函数的对称轴，所以A错误；
当 时，得 ，故 ；
，所以D正确.
因为 ，则 的根分别可由 或 或 求出，
共有3个根；
当 时， 的根分别可由 或 求出，共2个根；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 的根分别可由 或 或 求
出，共3个根；所以B错误；
当 时，得 ，
由 ，得 ，所以 ，此时 在 上单调递增，所以
C正确.
故选：CD.
【点睛】本题重点考查三角函数 的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法
判断：即通过将 作为整体，借助 的图象和性质来进行判断.公众号：高中试卷君
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉
代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都
通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若 ， ，
，图中两个阴影三角形的周长分别为 ， ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据图形中的相似关系先表示出 ，然后利用基本不等式求解出最小值.
【详解】如图1，易知 ，且 ，
所以 ，所以 ；
如图2，易知 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ,
又因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以最小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为 ，秒针均匀地绕点O旋转，当时间 时，点A与钟
面上标12的点B重合，将A，B两点的距离 表示成 的函数，则 ______ 其中 .
【答案】 ,
【解析】
【分析】可以求出 ，从而由余弦定理可以得到 ，由余弦的二倍角公式即
可化简得 .
【详解】如图，
；
在 中，
由余弦定理得，由 ， 知，
故答案为： ．
14. 如图，在边长为1的正方形 中， 为 的中点， 点在正方形内（含边界），且 ．
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，则 的值是_______；②若向量 ，则 的最小值为
________．
【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.5
【解析】
【分析】①由题知 是边长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；
②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.
法一：结合图像，作 ，连接PF，设 ，利用 三点共线可得
，又 三点共线，故可得 ，因此只需要考虑 值最大的情况即可
得到 的最小值.
法二：由题知点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆在正方体 内的圆弧部分，进而建立直角
坐标系，设点 ,再利用向量坐标运算得
，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.
【详解】解：①因为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是边长为1的等边三角形，
.
所以
②法一：如图，作 ，连接PF，设 ，
由于 共线，不妨设 ，又
故 ，
又由于 共线，所以 ，故 ，
结合图像可知，当 两点重合时， 交于 处，此时 值最大，
易知 ，故 ，故 .
.
法二：因为 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆在正方体 内的圆弧部分，
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学科网（北京）股份有限公司所以以点 为坐标原点，如图建立坐标系，
因为正方体 的边长为 ，
所以设点 ， ，
所以由 得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
令 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 区间 恒成立，
在
所以函数 在区间 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
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学科网（北京）股份有限公司.
【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第
二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将 转化为 ，进而考虑特殊位置
点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点 ，进而利用坐标运算
得 ，再结合函数性质求解最值即可.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在 中，内角 的对边分别为a,b,c，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，点 是线段 上的一点， ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由 的面积比值得 （角平分线定理），设 ，则
， ， ，再通过余弦定理列式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
所以
.
即 ,
由正弦定理得 ，
又 、 ，则 或 （舍去）．
所以 .
【小问2详解】
因为 ，设 中 边上的高为 ，
所以 ，所以 ，
设 ，
由 ， ， ,
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ， ， ,
在 中，由余弦定理得 ，
设 的中点为 ，连接 ，
如图所示，由 ,则 ，
在 中， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
16. 如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的平面角的大小为 ？若存在，求出 的
长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得 平面 ，以 为坐标原点， 所在直线分别
为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量、 ，利用 可得答案；
（2）假设在线段 上存在点 ，设 ，求出平面 、平面 的一个法
向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
.
，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1
令 ，解得： ，
又 ，即 ，
又 平面 平面 ；
【小问2详解】
假设在线段 上存在点 ，使二面角 的大小为 .
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，解得： ，
又平面 的一个法向量为 ，
，
即 ，解得： 或 （舍去），
此时 ，
在线段 上存在点 ，使二面角 的平面角的大小为 ，
此时 .
17. 已知函数 ，其导函数为 .
（1）若 在 不是单调函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 恒成立，求实数 的最小整数值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知f′(x)在(1,+∞)有变号零点，由此结合函数的单调性，解不
等式即可求得答案；
（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为 在(1,+∞)恒成立，构造函数
，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；
法二：求函数 的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等
式即可求得答案.
【小问1详解】
；
因为 在(1,+∞)不是单调函数，所以f′(x)在(1,+∞)有变号零点；
因为 恒成立，令 ，则 在(1,+∞)有变号零点；
因为 ，所以 在(1,+∞)单调递增，
因为 ，当 的值趋近正无限大时， 趋近于正无限大，a为待定的参数，
故 趋近于正无限大，故只需 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司（法一）令 ，
因为 在(1,+∞)恒成立，所以φ(x)在(1,+∞)单调递减，
所以 ，
所以 在(1,+∞)恒成立，即为 在(1,+∞)恒成立，
令 ，
则
，
令 ，则 在(1,+∞)恒成立，
所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递减；
因为 ；
所以ℎ(x)有唯一零点 ，且
当 时，ℎ(x)>0，即 ，所以 在 单调递增；
当x∈(x
0
,+∞)时，ℎ(x)<0，即 ，所以 在 单调递减；
所以 ；
所以实数 的最小整数值为 .
（法二）
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得，当 时， 在(1,+∞)上单调递增，
所以 成立.
当 时，存在 ，使得
当 时，f′(x)<0，当x∈(x ,+∞)时，f′(x)>0，
0
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
令 得 ；
解之得 .
综上， ，
所以实数 的最小整数值为 .
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而
构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函数，求导数，求解函数的最值，使得最小
值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.
18. 已知函数
（1）当 时，求 的单调增区间；
（2）若 ，使 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 和
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出 的单调增区间；（2）
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学科网（北京）股份有限公司根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a的取值范围．
【小问1详解】
当 时， ，
时， 单调递增，
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的单调递增区间为 和 ，
【小问2详解】
，使
所以 ，
即 ，
①当 时， ，对称轴 ，
当 即 时， ，
，
所以 ，
所以 或 ，
因为 ，所以 ，
当 即 时， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
因为 ，所以 ，
②当 时， ，对称轴 ，
所以 ，
，
所以 ，
，
所以 ，
③当 时， ，
因为 ，
因为 ，
所以 不可能是函数的最大值，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
综上所述：a的取值范围是 .
【点睛】公众号：高中试卷君
关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式
的应用，属于较难题，解题的关键是将 ，使 ，转化为
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学科网（北京）股份有限公司，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力
19. 如果数列 满足： 且 则称
为n阶“归化”数列.
（1）若某3阶“归化”数列 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化”数列 是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若 为n阶“归化”数列，求证
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 成公差为r的等差数列，显然 ，由 得到 ，
由 得到 ，得到答案；
（2）设公差为 ，根据等差数列求和公式得到 ，当 ， 和 ，求出首项和公差，得
到通项公式；
（3）设 为 中所有大于0的数， 为 中所有小于0的数，故
， ，所以 .
【小问1详解】
设 成公差为r的等差数列，显然 ，
则由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，解得 ，
数列 为所求3阶“归化”数列.
【小问2详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
当 时，此时 ，
与归化数列的条件 相矛盾.
当 时，由 ，
故 ，又 ，
联立解得 ，
所以
当 时，由 ， ，同理解得 ，
所以 .
综上，当 ，
【小问3详解】
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司由已知可得：必有 也必有 （ ， ），
设 为 中所有大于0的数， 为 中所有小于0的数，
由已知得 ， ，
所以 .
【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，
又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.
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学科网（北京）股份有限公司
