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高二数学答案第!
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数学试题参考答案及评分标准
一!选择题"本题共#小题#每小题$分#共%&分'在每小题给出的四个选项中#只有一个选项符
合题目要求'
!!#答案$(
#解析$由题可知%")*%
#
槡
槡
)
%+#)* ,%故离心率$)#
"
槡
) ,!
#命题意图$考查双曲线方程标准方程及几何性质等基础知识%考查数学运算素养&
*!#答案$-
#解析$抽取的甲品种牛的头数为.&/,&
,&&).%乙品种牛的头数为.&/0&
,&&)!#%丙品种牛的头
数为.&/!#&
,&&),.%故抽取甲'乙'丙三个品种牛的头数分别为.%!#%,.!
#命题意图$考查分层抽样方法的应用%通过计算各层抽样数量%考查学生的数据分析素养&
,!#答案$1
#解析$直线*%2&)&的斜率为*%则直线'的斜率为2!
*%其方程为&2,)2!
*!%2*"%即
%+*&2#)&!
#命题意图$本小题主要考查两直线的位置关系%直线方程等基础知识%考查运算求解等数学
能力&
%!#答案$3
#解析$第$次和第#次某一面朝下的概率())%故3 正确!
#命题意图$测试伯努利试验下概率的均等性%理解频率与概率的关系%考查学生的数学抽象'
数据分析素养&
$!#答案$1
#解析$圆*! 的圆心*!!2!%2%"%半径+!)$%圆** 的标准方程为!%2*"
*+!&2*"
*)0%其
圆心**!*%*"%半径+*),!圆*! 与圆** 的圆心距"*!**")
!2!2*"
*+!2%2*"
槡
*
槡
), $%
+!++*)#%
+!2+*)*%可得+!2+*#"*!**"#+!++*%所以圆*! 与圆** 相交!
#命题意图$本小题主要考查圆的方程'两圆的位置关系等基础知识%考查运算求解等高能力&
.!#答案$-
#解析$因为!)!!%!%!"%")!&%,%*"%#)!!%&%&"%且!%"%#共面%所以!)%"+&#%又%"+
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&#)!&%,%%*%"%得到
!)&%
!),%%
!)*%
$
%
&
%
解得,)*%故选-'
#命题意图$考查空间向量共面的条件%通过计算参数%提升学生的数学运算和逻辑推理素养&
"!#答案$1
#解析$平均来说%甲队失球平均数少%防守效果较好%选项- 错误(甲队失球数的标准差比乙
队大%乙队的技术水平更稳定%选项(错误(甲队平均失球少%标准差大%故甲队表现好时失球
少%表现差时失球多%选项1正确(综合失球平均数和方差考虑%甲队个别场次可以没有失球%
选项3 错误!
#命题意图$本小题主要考查统计量的意义等基础知识%考查了数学抽象'数据处理等数学核心
素养&
#!#答案$(
#解析$对于!!))!%%&""%+&+"%2&")**%当%'& 时%%)!(当%#&
时%&)!!可知曲线!! 为右图+",字曲线!对于!*))!%%&""!"%+&"
*+
!"%2&"
*)%*%当")&时%方程!"%+&"
*+!"%2&"
*)%化简为&
*)*%
即&
槡
)4 *%此时!!%!* 仅有一个公共点%不合题意%- 选项不正确(当
"(&时%曲线!* 的方程为"
*%
*+&
*)*%曲线!* 为图中的环形曲线%要
使!!%!* 有四个公共点%结合图形可知%")! 槡
2 *%2!"*!!%槡*"!
#命题意图$判断两曲线!直线与圆%直线与椭圆"交点个数%通过方程求解参数范围%考查学生
的数学运算和逻辑推理素养&
二!选择题"本题共,小题#每小题.分#共计!#分!在每小题给出的选项中#有多项符合题目要
求!全部选对的得.分#部分选对的得部分分#有选错的得&分!
0!#答案$-13
#解析$事件- 指的是+恰好二次投中,和+恰好三次都投中,%故-%1 正确%3 正确(而.+-)
,%故选-13'
#命题意图$通过事件的运算和关系判断%发展学生的逻辑推理和数学抽象素养&
!&!#答案$-(1
#解析$直线*%+!)&表示一条垂直于% 轴的直线%它的一个方向向量为!&%!"%故选项- 正
确(对于选项(%/0. )*2!
$2,)!
*%/0*)!2!2*"
,2!2,"),
.)!
*%所以/0. )/0*%故选项(正确(对于
选项1%由*!,+!"%+ !,2,"&202$,)& 可得-,!*%2&2$"+*%+,&20)&%则
*%2&2$)&%
*%+,&20)&
$
%
&
%
解得
%),%
&)!
$
%
&
%
所以直线*!,+!"%+!,2,"&202$,)&必过定点!,%!"%故
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选项1正确(对于选项3%当")0&5时%直线的斜率不存在%选项3 错误!故选-(1'
#命题意图$综合考查直线方向向量'三点共线'直线过定点及直线方程等多个知识点%培养学
生的直观想象'逻辑推理和数学运算素养&
!!!#答案$(3
#解析$设点1!%%&"%显然&(4!%%(&%&2!
% /&+!
% )!
, -&
*2%
*
, )!!当,)2!时%得
%
*+&
*)!且&(4!%所以* 是以原点为圆心%半径为!的圆%且除去!&%2!"%!&%!"两点%故
选项- 错误(当,.&时%由方程&
*2%
*
,)!!&(4!"易知选项(正确(对于1%当,)2!
*时%
曲线*-&
*+*%
*)!%过点!!%&"的直线%)!与曲线* 没有公共点%故选项1 错误(当,.&
时%由方程&
*2%
*
, )!!&(4!"知%它表示除去上下顶点的双曲线%因此直线&)/%+*与*
有两个公共点%必须满足直线&)/%+*与* 的渐近线不能平行%故选项3 正确%故选(3'
#命题意图$通过判断动点轨迹形状和直线与双曲线的关系%考查学生直观想象'逻辑推理和
数学运算素养&
三!填空题"本题共,小题#每小题$分#共!$分!
!*!#答案$*!
#解析$由题知/!+")!/2!%/%!"%所以!2/+!)&%即/)*!
#命题意图$利用向量垂直的条件求解参数%培养学生的逻辑推理和数学运算素养&
!,!#答案$,
#解析$因为直线!,2*"%+!,2!"&2%)&与直线,%+%&+,+.)&平行%所以%!,2*"2
,!,2!")&%解得,)$!此时两直线可化为,%+%&2%)&和,%+%&+!!)&%其距离为2)
"2%2!!"
$
),!
#命题意图$考查直线的平行关系和平行线间的距离公式%通过计算提升学生数学运算素养&
!%!#答案$4.
#解析$$.!/
01-+ /
013+ /
014")$. /
01-+$. /
013+$. /
014%而$. /
01-)"$"" /
01-"678/$%/
01-0%
又因为" /
01-""678/$% /
01-0"表示/
01-在$ 上投影向量的长度%故$. /
01-)4*%同理可求得
$. /
013)4*%$. /
014)4*%据图可知这三个数量积的符号同为正或同为负%故答案为4.!
#命题意图$利用空间向量求解几何量%考查学生对投影向量的理解%培养学生空间想象和数
学运算素养&
四!解答题"本题共$小题#共""分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!
!$!!!,分"
#解析$!!"依题意%可知*")#%得")%%
*分
……………………………………………………
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由$)#
" )!
*%解得#)*%
%分
……………………………………………………………………
所以5) "
*2#
槡
*
槡
)* ,%
.分
……………………………………………………………………
故椭圆*! 的方程为%
*
!.+&
*
!*)!9
"分
……………………………………………………………
!*"椭圆*! 的焦点为4!!2*%&"%4*!*%&"%且短轴长为槡
% ,!
#分
……………………………
以4!!2*%&"%4*!*%&"为左'右顶点的双曲线** 的方程设为%
*
,
*2&
*
6
*)!!,.&%6.&"!
0分
……
……………………………………………………………………………………………
依题意%得,)*%6
槡
)* ,%
!&分
…………………………………………………………………
所以%双曲线** 的方程为%
*
%2&
*
!*)!9
!!分
……………………………………………………
其渐近线方程为&
槡
)4 ,%!
!,分
………………………………………………………………
#命题意图$通过椭圆和双曲线的标准方程及它们的性质%考查学生的数学运算'逻辑推理'几
何直观素养&
!.!!!$分"
#解析$!!"圆7 的标准方程为-!%2*"
*+!&2*"
*)%%圆7 的圆心为!*%*"%半径为*9
*分
…
……………………………………………………………………………………………
直线'-/%2&+/)&%
圆心7 到'的距离2)"*/2*+/"
/
*+!
槡
*
)",/2*"
/
*
槡+!
%
%分
……………………………………………
因为直线'与圆7 相切%所以",/2*"
/
*
槡+!
)*%
解得/)!*
$或/)&9
"分
…………………………………………………………………………
!*"直线'与圆7 相交于不同的两点!
#分
………………………………………………………
理由如下-
当/)!时%直线'-%2&+!)&%
由!!"可知%圆心7 到直线'的距离2)!
槡*
#*%
0分
……………………………………………
所以直线'与圆7 相交于不同的两点!
!&分
……………………………………………………
#注-也可以根据!!"中直线'与圆7 相切时的斜率进一步得到%直线'与圆7 相交时%其斜
率满足&#/#!*
$
%故当/)!时%直线'与圆7 相交于不同的两点$
所以"0.")* *
*2!!
槡*
"
槡
*
槡
)
!%%
!,分
………………………………………………………
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所以170. 的面积8170. )!
*"0."2)槡"
* !
!$分
……………………………………………
#命题意图$通过判断直线与圆的位置关系和求解弦长等问题%考查学生的直观想象'逻辑推
理和数学运算素养&
!"!!!$分"
#解析$!!"经过多轮比赛后%估计甲走的步数比乙多!
*分
……………………………………
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大%具体如下-
%分
………………………………
一轮比赛中%记+甲向前走一步,为事件0%+乙向前走一步,为事件.%
根据古典概型概率的计算可得1!0")*
,%1!."),
$%
$分
……………………………………
则1!0".1!."%即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大!
.分
……………………………
所以多轮比赛后%估计甲走的步数比乙多!
"分
…………………………………………………
!*"在*轮比赛后%事件+乙走的步数比甲多,包含+乙恰好向前走一步%甲没有前进,和+乙恰
好向前走两步%甲最多向前走一步,两个事件%分别记为*%-%且事件*%- 为互斥事件!则
1!*")1!.2
.3
03
0+2
..3
03
0")*/!
,/!
,/*
$/,
$)%
"$%
!&分
………………………………
1!-")1!..03
0+..3
00+..3
03
0"),
$/,
$/ *
,/!
,+!
,/*
,+!
,/
!
"
!
, )!
$%
!,分
………
……………………………………………………………………………………………
所以*轮比赛后%乙走的步数比甲多概率为1!*"+1!-")!0
"$!
!$分
………………………
#命题意图$通过概率计算考查学生对古典概型'相互独立事件和互斥事件等基础知识的理解
和相关数据分析能力%通过分类讨论培养学生的逻辑推理素养&
!#!!!"分"
#解析$!!"证明-在图"中%作0. 的靠近. 的三等分点9 %连接-9%
所以0.),9.%结合0.),-3 和-349.!
所以四边形3-9. 为平行四边形%
所以-9)3.!
所以10-9 为等腰三角形%
因为* 是0. 上靠近0 的三等分点%
所以* 为等腰三角形0-9 底边上的中点%所以-*50*!
所以在图#中%0!*5*-!
又因为0!*5*.%且*-+*.)*%所以直线0!*5平面.*-3!
$分
………………………
!*"由!!"知*-%*.%*0!两两垂直%分别以*-%*.%*0!所在直线为% 轴%& 轴%: 轴%建立空
间直角坐标系%如图所示!
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则*!&%&%&"%-!*%&%&"%3!*%*%&"%.!&%%%&"%0!!&%&%*"%
7!&%*%!"%
所以
/
0
-7)!2*%*%!"%0!/
0.)!&%%%2*"%/
0.3)!*%2*%&"!
"分
……
……………………………………………………………
设平面0!.3 的法向量为$)!%%&%:"%
则
$.0!/
0.)%&2*:)&%
$. /
0.3)*%2*&)&
$
%
&
%
令&)!%得$)!!%!%*"!
0分
………
设直线-7 与平面0!.3 所成角的大小为"%
则8:;")"678/$% /
0
-70")"$.
/
0
-7"
"$"" /
0
-7"
)
*
槡
,/ .
)槡.
0 %
所以直线-7 与平面0!.3 所成角的正弦值为槡.
0 !
!!分
……………………………………
!,"/
0*-)!*%&%&"%/
0*.)!&%%%&"%*0/
0
!)!&%&%*"%0!/
03)!*%*%2*"!
设0!/
07)#0!/
0.%&6#6!%则/
0
*7)*0/
0
!+0!/
07)*0/
0
!+#0!/
0.) &%%#%*!!2#
!
"
" !
!*分
……
设平面-*7 的法向量为%)!"%
5%
#"%
则
%. /
0*-)*")&%
%. /
0
*7)%#5+*!!2#"
#)&
$
%
&
%
解得")&9
!,分
……………………………………………
令#)*#%得5)#2!%可得平面-*7 的一个法向量为%)!&%
#2!%*#"%
!%分
……………
由题知"678/$%%0")"$.%"
"$""%")
"$#2!"
槡./
!#2!"
*+%#
槡
* )!
槡*
%
!$分
……………………………
解得#)
槡
!4 .
$
%且点7 在棱0!. 上%
所以0!7
0!.的值为
槡
!+ .
$
!
!"分
……………………………………………………………………
#命题意图$通过空间几何的证明和直线与平面所成角以及二面角的求解%培养学生的空间想
象'逻辑推理和数学运算素养&
!0!!!"分"
#解析$!!"由抛物线定义可知"14")%+(
*)$%
,分
…………………………………………
解得()*!
%分
……………………………………………………………………………………
所以抛物线* 的方程为&
*)%%!
$分
……………………………………………………………
!*"由1!%%&&"在抛物线上且在第一象限%得&&)%%即1!%%%"%
.分
…………………………
因为4!!%&"%
所以直线14 的斜率为%
,%
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所以直线14 的方程为&)%
,!%2!"%
"分
………………………………………………………
联立方程组
%),
%&+!%
&
*)%%
$
%
&
%
得&
*2,&2%)&!
则&!+&*),%&!&*)2%%
0分
……………………………………………………………………
所以81;1< )!
*";4""&!2&*")
!&!+&*"
*2%&!&
槡
*
*
)$
*!
!!分
……………………………
!,"显然%直线0. 的斜率不为&%
故设直线0. 方程为%),&+6%0!%!%&!"%.!%*%&*"%
联立方程组
%),&+6%
&
*)%%
$
%
&
%
得&
*2%,&2%6)&%
$)!.,
*+!.6)!.!,
*+6".&%则&!+&*)%,%&!&*)2%6%
!*分
…………………………
故%!+%*),!&!+&*"+*6)%,
*+*6%
%!%*)!,&!+6"!,&*+6"),
*&!&*+,6!&!+&*"+6
*)6
*%
不妨设/!)&!2%
%!2%%/*)&*2%
%*2%%
所以/!/*)&!2%
%!2%.&*2%
%*2%)&!&*2%!&!+&*"+!.
%!%*2%!%!+%*"+!.
)
2%62!.,+!.
6
*2%!%,
*+*6"+!.)
2%!6+%,2%"
6
*2!.,
*2#6+!.)%
,!
!%分
………………………………………
所以6
*2!.,
*2$6+!*,+%)&%
则!62%,"!6+%,"2!6+%,"2%!62%,2!")&%即!62%,2!"!6+%,2%")&%
所以62%,2!)&或6+%,2%)&9
!$分
……………………………………………………
若6)2%,+%%则直线0. 的方程为%),&2%,+%),!&2%"+%%它恒过定点!%%%"%不合
题意%
若6)%,+!%则直线0. 的方程为%),&+%,+!),!&+%"+!%它恒过定点!!%2%"%
综上所述%直线0. 过定点!!%2%"!
!"分
………………………………………………………
#命题意图$通过抛物线与直线的交点问题%考查学生的数学运算'逻辑推理和直观想象素养%
培养探究意识和解决问题的能力&
