专题18圆锥曲线综合（10大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 18 圆锥曲线综合 命题解读 考向 考查统计 椭圆的标准方程 2024·新高考Ⅰ卷，16（1） 双曲线中的双斜率 2022·新高考Ⅰ卷，21（1） 抛物线的轨迹方程 2023·新高考Ⅰ卷，22（1） 2022·新高考Ⅱ卷，21（1） 1.高考对圆锥曲线综合的考查，重点是 双曲线的标准方程 2023·新高考Ⅱ卷，21（1） 直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积 椭圆中的弦长公式、三角形面积 2024·新高考Ⅰ卷，16（2） 及弦中点、定点、定值、参数取值范围 双曲线与数列的综合知识 2024·新高考Ⅱ卷，19 和最值等问题。 双曲线中的弦长公式、三角形面积 2022·新高考Ⅰ卷，21（2） 抛物线中的弦长公式 2023·新高考Ⅰ卷，22（2） 双曲线中的斜率问题 2022·新高考Ⅱ卷，21（2） 双曲线中的定直线问题 2023·新高考Ⅱ卷，21（2） 命题分析 2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:12)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:20)(cid:21)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) Ⅱ(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:39)(cid:17)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:12)(cid:47)(cid:48)(cid:22)(cid:49)(cid:50)(cid:31)(cid:32)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:4)(cid:22)(cid:33)(cid:34)(cid:53)(cid:33)(cid:37)(cid:54)(cid:25)(cid:55)(cid:56)(cid:12)(cid:57)(cid:29)(cid:25)(cid:58)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:12)(cid:22) (cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:56)(cid:12)(cid:57)(cid:56)(cid:36)(cid:66)(cid:67)(cid:64)(cid:68)(cid:56)(cid:12)(cid:52)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:37)(cid:11)(cid:72)(cid:42)(cid:39)(cid:49)(cid:50)(cid:25)(cid:4)(cid:5)(cid:43)(cid:73)(cid:12)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:22)(cid:25)(cid:5)(cid:8)(cid:5)(cid:78)(cid:73)(cid:79)(cid:80) (cid:81)(cid:12)(cid:24)(cid:51)(cid:82)(cid:83)(cid:37)(cid:55)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:12)(cid:84)(cid:5)(cid:85)(cid:22)(cid:65)(cid:86)(cid:25)(cid:87)(cid:88)(cid:65)(cid:89)(cid:22)(cid:25)(cid:62)(cid:90)(cid:16)(cid:73)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:40)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:6)(cid:92)(cid:93)(cid:97)(cid:98)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:43) (cid:73)(cid:45)(cid:46)(cid:12)(cid:26)(cid:27)(cid:99)(cid:17)(cid:49)(cid:50)(cid:99)(cid:28)(cid:100)(cid:101)(cid:99)(cid:12)(cid:5)(cid:8)(cid:22)(cid:102)(cid:24)(cid:5)(cid:8)(cid:5)(cid:78)(cid:12)(cid:103)(cid:30)(cid:52)(cid:69)(cid:31)(cid:32)(cid:28)(cid:104)(cid:105)(cid:70)(cid:106)(cid:31)(cid:32)(cid:37)(cid:107)(cid:29)2025(cid:3)(cid:4) (cid:5)(cid:108)(cid:25)(cid:98)(cid:51)(cid:5)(cid:8)(cid:11)(cid:72)(cid:42)(cid:39)(cid:36)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:111)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:17)(cid:118)(cid:119)(cid:118)(cid:120)(cid:56)(cid:85)(cid:37) 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21) æ 3ö x2 y2 1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·16(cid:32)(cid:33)(cid:34)A(0,3)(cid:35)Pç3, ÷(cid:36)(cid:37)(cid:38)C: + =1(a>b>0)(cid:39)(cid:40)(cid:41). è 2ø a2 b2 (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46); (2)(cid:47)(cid:48)P(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:51)C(cid:52)(cid:53)(cid:22)(cid:41)B(cid:54)(cid:55)VABP(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:36)9(cid:54)(cid:42)l(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:26)2(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·19(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C:x2-y2 =mm>0(cid:54)(cid:41)P5,4(cid:62)C(cid:39)(cid:54)k(cid:36)(cid:63)(cid:13)(cid:54)01)(cid:39)(cid:54)(cid:49)(cid:50)l(cid:51)C(cid:52)P(cid:54)Q(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:49)(cid:50) a2 a2-1 AP,AQ(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:97)(cid:35)(cid:36)0(cid:26) (1)(cid:42)l(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:85) (2)(cid:47)tanÐPAQ=2 2(cid:54)(cid:42)(cid:98)PAQ(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:26) æ 1ö 2(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·22(cid:32)(cid:62)(cid:49)(cid:99)(cid:83)(cid:84)(cid:100)xOy(cid:101)(cid:54)(cid:41)P(cid:102)x(cid:79)(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:91)(cid:52)(cid:41)P(cid:102)(cid:41)ç0, ÷(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:54)(cid:82)(cid:104)(cid:41)P(cid:43) è 2ø (cid:105)(cid:106)(cid:36)W(cid:26) (1)(cid:42)W(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:33)(cid:34)(cid:107)(cid:108)ABCD(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:41)(cid:62)W(cid:39)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:10)(cid:107)(cid:108)ABCD(cid:43)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:52)3 3(cid:26) x2 y2 3(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·21(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C: - =1(a>0,b>0)(cid:43)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:36)F(2,0)(cid:54)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:36) a2 b2 y=± 3x(cid:26) (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:48)F(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:75)C(cid:43)(cid:40)(cid:120)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:121)(cid:122)(cid:51)(cid:52)A(cid:54)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:41)Px,y ,Qx ,y (cid:62)C(cid:39)(cid:54)(cid:55) 1 1 2 2 x > x >0,y >0(cid:26)(cid:48)P(cid:55)(cid:74)(cid:46)(cid:36)- 3(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:75)(cid:48)Q(cid:55)(cid:74)(cid:46)(cid:36) 3 (cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:41)M.(cid:123)(cid:67)(cid:56) (cid:101)(cid:20)(cid:124)(cid:40)(cid:111) 1 2 1 (cid:73)(cid:36)(cid:120)(cid:125)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:53)(cid:126)(cid:22)(cid:111)(cid:127)(cid:128)(cid:10) ①②③ M(cid:62)AB(cid:39)(cid:85) PQ(cid:129)AB(cid:85) |MA|=|MB|(cid:26) (cid:4) ① (cid:10)(cid:47)(cid:20)(cid:130)(cid:131)(cid:132) ② (cid:43)(cid:133)(cid:134)(cid:121)(cid:122)(cid:24)(cid:25) ③ (cid:54)(cid:135)(cid:64)(cid:136)(cid:22)(cid:111)(cid:24)(cid:25)(cid:137)(cid:121).  4(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·21(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:43)(cid:101)(cid:45)(cid:36)(cid:83)(cid:84)(cid:138)(cid:41)(cid:54)(cid:76)(cid:117)(cid:41)(cid:36) -2 5,0 (cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36) 5(cid:26) (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:82)C(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:112)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)A(cid:54)A (cid:54)(cid:48)(cid:41)-4,0(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:75)C(cid:43)(cid:76)(cid:77)(cid:51)(cid:52)M(cid:54)N(cid:40)(cid:41)(cid:54)M(cid:62)(cid:136)(cid:139)(cid:140)(cid:141)(cid:54)(cid:49)(cid:50) 1 2 MA (cid:75)NA (cid:51)(cid:52)(cid:41)P(cid:26)(cid:86)(cid:87):(cid:41)P(cid:62)(cid:142)(cid:49)(cid:50)(cid:39). 1 2 (cid:22)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:35)(cid:61)(cid:50)(cid:143)(cid:128) x2 y2 1(cid:23)(cid:37)(cid:38) + =1(a>b>0)(cid:75)(cid:49)(cid:50)l:y=kx+m(cid:144)(cid:51)(cid:52)AB(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:92)A(x (cid:54)y )(cid:54)B(x (cid:54)y ) a2 b2 1 1 2 2 ìx2 y2 ï + =1 ía2 b2 (cid:54)(b2 +k2a2)x2 +2a2kmx+a2m2 -a2b2 =0 ï îy=kx+m x2 y2 (cid:37)(cid:38) + =1(a>0(cid:54)b>0)(cid:75)(cid:48)(cid:142)(cid:41)(m(cid:54)0)(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:144)(cid:51)(cid:52)AB(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:92)(cid:36)x=ty+m(cid:54)(cid:66)(cid:145)(cid:146)(cid:147)x(cid:54)(cid:148)(cid:149) a2 b2 ìx2 y2 ï + =1 y(cid:54)(cid:71)(cid:72)(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:66)(cid:67)(cid:10)ía2 b2 (cid:54)(a2 +t2b2)y2 +2b2tmy+b2m2 -a2b2 =0 ï îx=ty+m (cid:4)(cid:94)(cid:10) (cid:66)(cid:150)(cid:49)(cid:50)(cid:151)(cid:109)(cid:48)(cid:37)(cid:38)(cid:152)(cid:153)(cid:22)(cid:142)(cid:41)(cid:54)(cid:89)(cid:131)(cid:154)(cid:49)(cid:155)(cid:156)(cid:87)(cid:49)(cid:50)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:109)(cid:40)(cid:111)(cid:51)(cid:41)(cid:43)(cid:54)(cid:22)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)D>0(cid:54)(cid:163) (cid:164)(cid:145)(cid:120)(cid:125)(cid:54)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:102)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:15)(cid:43)(cid:3)(cid:100)(cid:26) ① (cid:117)(cid:41)(cid:62)y(cid:79)(cid:39)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:75)(cid:49)(cid:50)(cid:43)(cid:3)(cid:100)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:75)(cid:49)(cid:50)(cid:43)(cid:3)(cid:100)(cid:35)(cid:39)(cid:171)(cid:108)(cid:68)(cid:172)(cid:173)(cid:54)(cid:131)(cid:62)(cid:174)(cid:171)(cid:26) 2②(cid:23)(cid:175)(cid:14)(cid:50)y2 =2px(p>0)(cid:75)(cid:49)(cid:50)x=ty+m(cid:144)(cid:51)(cid:52)A(cid:23)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:92)A(x (cid:54)y )(cid:54)B(x (cid:54)y ) 1 1 2 2 ìy + y =2pt (cid:143)(cid:128)(cid:166)(cid:168)y2 =2p(ty+m)(cid:54)D>0(cid:176)(cid:54)í 1 2 îy y =-2pm 1 2 p y2 y 2 1 (cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:54)(cid:180)(cid:49)(cid:50) AB (cid:48)(cid:117)(cid:41)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:54)(cid:182)m= (cid:54)y y =-2pm=-p2(cid:54)xx = 1 × 2 = p2(cid:54)(cid:183)(cid:36) AB (cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:43) 2 1 2 1 2 2p 2p 4 (cid:176)(cid:181)(cid:186)(cid:163)(cid:164)(cid:187)(cid:68)(cid:54)(cid:188)(cid:189)(cid:145)(cid:176)A(cid:23)B(cid:83)(cid:84)(cid:190)(cid:82)(cid:191)(cid:26) (cid:175)(cid:14)(cid:50) x2 =2py(p>0) (cid:75)(cid:49)(cid:50)y=kx+m(cid:144)(cid:51)(cid:52) C(cid:23)D (cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:92)C(x (cid:54)y )(cid:54)D(x (cid:54)y ) 1 1 2 2 ìx +x =2pk (cid:143)(cid:128)(cid:166)(cid:168) x2 =2p(kx+m) (cid:54)D>0 (cid:176)(cid:54) í 1 2 îxx =-2pm 1 2 (cid:4)(cid:94)(cid:10)(cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:75)(cid:175)(cid:14)(cid:50)(cid:43)(cid:192)(cid:21)(cid:101)(cid:54)(cid:92)(cid:49)(cid:50)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:20)(cid:130)(cid:108)(cid:68)(cid:193)(cid:194)(cid:30)(cid:121)(cid:195)(cid:54)(cid:196)(cid:196)(cid:166)(cid:167)(cid:197)(cid:198)(cid:137)(cid:199)(cid:200)(cid:26)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:39)(cid:20) (cid:130)(cid:95)(cid:92)(cid:85)(cid:201)(cid:202)(cid:203)(cid:116)(cid:54)(cid:20)(cid:130)(cid:204)(cid:92)(cid:85)(cid:4)(cid:94)(cid:131)(cid:166)(cid:205)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)(cid:54)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:211)(cid:212)(cid:121)(cid:195)(cid:26)(cid:215)(cid:216)(cid:10)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:15)(cid:217)(cid:155)(cid:218)(cid:21)(cid:219)(cid:120)(cid:125)(cid:75)(cid:58)(cid:59)(cid:101)(cid:43)(cid:220)(cid:13)(cid:54)(cid:221)(cid:167)(cid:222)(cid:223)(cid:62)(cid:224)(cid:15)(cid:225)(cid:66)(cid:203)(cid:200)(cid:192)(cid:21)(cid:54)(cid:56)(cid:57)(cid:192)(cid:21)(cid:54)(cid:110)(cid:41)(cid:226)(cid:50)(cid:192) (cid:21)(cid:54)(cid:99)(cid:227)(cid:192)(cid:21)(cid:91)(cid:63)(cid:30)(cid:152)(cid:228)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:54)(cid:160)(cid:229)(cid:21)(cid:230)(cid:101)(cid:43)(cid:231)(cid:45)(cid:6)(cid:232)(cid:54)(cid:233)(cid:16)(cid:36)(cid:83)(cid:84)(cid:234)(cid:170)(cid:54)(cid:233)(cid:16)(cid:36)(cid:166)(cid:167)(cid:235)(cid:236)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:15)(cid:43) (cid:108)(cid:68)(cid:54)(cid:237)(cid:186)(cid:89)(cid:230)(cid:238)(cid:30)(cid:239)(cid:240)(cid:63)(cid:30)(cid:43)(cid:58)(cid:68)(cid:26) (cid:139)(cid:23)(cid:188)(cid:43)(cid:241)(cid:122)(cid:68)(cid:35)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:15) x2 y2 + =1(a>b>0)(cid:75)y=kx+m(cid:143)(cid:128)(cid:54)(cid:40)(cid:242)(cid:132)(cid:176)(cid:243)(cid:39)a2b2(cid:182)(cid:166)(cid:168)(cid:102)(a2k2 +b2)x2 +2kma2x+a2(m2 -b2)=0(cid:54) a2 b2 (cid:36)(cid:218)(cid:58)(cid:244)(cid:245)(cid:171)(cid:54)(cid:246)(cid:39)(cid:68)(cid:247)(cid:82)(cid:36)Ax2 +Bx+C =0(cid:26)(cid:187)(cid:68)(cid:166)(cid:167)(cid:248)(cid:127)(cid:22)(cid:111)(cid:3)(cid:52)x(cid:43)(cid:22)(cid:249)(cid:139)(cid:70)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:241)(cid:122)(cid:68)(cid:36) D=4a2b2(a2k2 +b2 -m2)(cid:166)(cid:247)(cid:250)(cid:82)4a2b2(A-m2)(cid:26) x2 y2 (cid:132)(cid:15) + =1(a>b>0)(cid:35)x=ty+m(cid:143)(cid:128)(a2 +t2b2)y2 +2b2tmy+b2m2 -a2b2 =0(cid:54)(cid:36)(cid:218)(cid:58)(cid:244)(cid:245)(cid:171)(cid:54)(cid:246)(cid:39)(cid:68) a2 b2 (cid:247)(cid:82)(cid:36)Ay2 +By+C =0(cid:54)D=4a2b2(a2 +t2b2 -m2)(cid:54)(cid:166)(cid:247)(cid:82)4a2b2(A-m2)(cid:26) l(cid:75)C(cid:144)(cid:44)ÛD<0(cid:85)l(cid:75)C(cid:144)(cid:251)ÛD=0(cid:85)l(cid:75)C(cid:144)(cid:51)ÛD>0(cid:26) B C (cid:4)(cid:94)(cid:10)(cid:27)1(cid:32)(cid:252)(cid:169)(cid:170)(cid:142)(cid:15)(cid:253)(cid:162)x +x =- (cid:54)xx = (cid:54)(cid:4)(cid:94)(cid:254)(cid:255)(cid:120)(cid:125)D>0(cid:26) 1 2 A 1 2 A (cid:27)2(cid:32)(cid:42)(cid:24)(cid:176)(cid:160)(cid:4)(cid:94)(cid:21)(cid:219)(cid:221)(cid:109)(cid:43)(cid:254)(cid:255)(cid:120)(cid:125)(cid:54)(cid:160)(cid:256)(cid:134)(cid:221)(cid:109)(cid:43)(cid:21)(cid:94)(cid:26) (cid:27)3(cid:32)(cid:66)(cid:150)(cid:89)(cid:117)(cid:41)(cid:62)y(cid:79)(cid:39)(cid:43)(cid:37)(cid:38)(cid:54)(cid:257)(cid:159)(cid:160)(cid:229)a2(cid:54)b2(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:182)(cid:166)(cid:26) (cid:27)4(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:35)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:143)(cid:128)(cid:216)(cid:150)(cid:172)(cid:173)(cid:54)(cid:117)(cid:41)(cid:62)x(cid:79)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:54)(cid:257)(cid:160)(cid:229)b2(cid:259)(cid:127)-b2(cid:182)(cid:166)(cid:85) (cid:117)(cid:41)(cid:62)y(cid:79)(cid:43)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:54)(cid:229)a2(cid:259)(cid:127)-b2(cid:182)(cid:166)(cid:54)b2(cid:259)(cid:127)a2(cid:182)(cid:166)(cid:26) (cid:27)5(cid:32)(cid:4)(cid:94)(cid:139)(cid:70)(cid:61)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:35)(cid:139)(cid:70)(cid:61)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:196)(cid:196)(cid:131)(cid:154)(cid:184)(cid:48)(cid:143)(cid:128)(cid:146)(cid:249)(cid:54)(cid:262)(cid:236)D(cid:241)(cid:263)(cid:188)(cid:43)(cid:3)(cid:100)(cid:54)(cid:183)(cid:36)(cid:145)(cid:213)(cid:214)(cid:67)(cid:196)(cid:196) (cid:264)(cid:109)(cid:265)(cid:188)(cid:54)(cid:188)(cid:189)(cid:21)(cid:219)(cid:43)(cid:254)(cid:255)(cid:120)(cid:125)(cid:166)(cid:167)(cid:266)(cid:147)(cid:265)(cid:188)(cid:27)(cid:22)(cid:157)(cid:36)(cid:51)(cid:41)(cid:267)(cid:268)(cid:83)(cid:84)(cid:43)(cid:269)(cid:270)(cid:141)(cid:271)(cid:32)(cid:54)(cid:221)(cid:167)(cid:62)(cid:272)(cid:102)(cid:40)(cid:120)(cid:139)(cid:70) (cid:61)(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:192)(cid:21)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:54)(cid:235)(cid:236)(cid:273)(cid:274)(cid:43)(cid:58)(cid:68)(cid:121)(cid:195)(cid:54)(cid:275)(cid:276)(cid:24)(cid:58)(cid:59)(cid:133)(cid:54)(cid:277)(cid:95)(cid:199)(cid:162)(cid:211)(cid:212)(cid:83)(cid:84)(cid:26) (cid:110)(cid:23)(cid:278)(cid:114)(cid:7)(cid:68) (cid:92)M(x (cid:54)y )(cid:54)N(x (cid:54)y )(cid:188)(cid:189)(cid:40)(cid:41)(cid:103)(cid:44)(cid:7)(cid:68)|MN|= (x -x )2 +(y - y )2 (cid:26) 1 1 2 2 1 2 1 2 1(cid:23)(cid:47)M(cid:23)N (cid:62)(cid:49)(cid:50)y=kx+m(cid:39)(cid:54)(cid:279)(cid:280)(cid:16)(cid:247)(cid:54)(cid:168)|MN|= 1+k2 x 1 -x 2 (cid:85) 2(cid:23)(cid:47)M(cid:23)N (cid:221)(cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:36)x=ty+m(cid:54)(cid:279)(cid:280)(cid:16)(cid:247)(cid:54)(cid:168)|MN|= 1+t2 y - y 1 2 |x -x | | y - y | 3(cid:23)(cid:71)(cid:72)(cid:49)(cid:99)(cid:110)(cid:99)(cid:108)(cid:42)(cid:24)(cid:278)(cid:114)(cid:54)|MN| = 2 1 = 2 1 (cid:26)(cid:281)(cid:101)k(cid:36)(cid:49)(cid:50)MN (cid:74)(cid:46)(cid:54)a(cid:36)(cid:49)(cid:50)(cid:282)(cid:74)(cid:99)(cid:26) |cosa| |sina| (cid:4)(cid:94)(cid:10)(cid:27)1(cid:32)(cid:39)(cid:171)(cid:234)(cid:170)(cid:68)(cid:101)(cid:54)(cid:180)(cid:36)k ¹0(cid:54)m¹0(cid:176)(cid:54)mk =1(cid:85) (cid:27)2(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:93)(cid:283)(cid:40)(cid:41)(cid:103)(cid:44)(cid:158)(cid:166)(cid:66)(cid:39)(cid:137)(cid:199)(cid:54)(cid:131)(cid:89)(cid:284)(cid:168)(cid:49)(cid:50)(cid:35)(cid:61)(cid:50)(cid:143)(cid:128)(cid:285)(cid:165)(cid:154)(cid:236)(cid:26) (cid:27)3(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:35)(cid:61)(cid:50)(cid:143)(cid:128)(cid:285)(cid:16)(cid:247)(cid:168)(cid:102)(cid:43)(cid:68)(cid:286)(cid:82)(cid:36)Ax2 +Bx+C =0(A¹0)(cid:54)(cid:241)(cid:122)(cid:68)(cid:36)D=B2 -4AC(cid:54)D>0(cid:176)(cid:54) B C B2 -4AC D x -x = (x +x )2 -4xx = (- )2 -4× = = (cid:54)(cid:262)(cid:236)(cid:42)(cid:188)(cid:7)(cid:68)(cid:287)(cid:288)(cid:186)(cid:289)(cid:58)(cid:244)(cid:54)(cid:235)(cid:236)(cid:145)(cid:58)(cid:290) 1 2 1 2 1 2 A A A A (cid:62)(cid:24)(cid:21)(cid:16)(cid:247)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:166)(cid:167)(cid:115)(cid:115)(cid:291)(cid:29)(cid:292)(cid:46)(cid:26)(cid:27)4(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:35)(cid:38)(cid:144)(cid:51)(cid:43)(cid:176)(cid:181)(cid:54)(cid:48)(cid:38)(cid:45)(cid:293)(cid:49)(cid:50)(cid:43)(cid:294)(cid:50)(cid:54)(cid:262)(cid:236)(cid:49)(cid:99)(cid:110)(cid:99)(cid:108)(cid:43)(cid:3)(cid:100)(cid:42)(cid:24)(cid:278)(cid:114)(cid:264)(cid:295)(cid:296)(cid:247)(cid:250)(cid:26) (cid:27)5(cid:32)(cid:49)(cid:50)(cid:66)(cid:150)(cid:48)(cid:117)(cid:41)(cid:166)(cid:167)(cid:30)(cid:297)(cid:117)(cid:41)(cid:278)(cid:7)(cid:68)(cid:167)(cid:298)(cid:117)(cid:114)(cid:7)(cid:68)(cid:26) (cid:299)(cid:23)(cid:33)(cid:34)(cid:278)AB(cid:43)(cid:101)(cid:41)(cid:54)(cid:300)(cid:301)AB(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:35)(cid:58)(cid:59) x2 y2 b2x 1(cid:23)AB(cid:89)(cid:37)(cid:38) + =1a>b.0(cid:43)(cid:22)(cid:120)(cid:278)(cid:54)(cid:101)(cid:41)Mx ,y (cid:54)(cid:135)AB(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:36)- 0 (cid:54) a2 b2 0 0 a2y 0 (cid:302)(cid:236)(cid:41)(cid:303)(cid:290)(cid:42)AB(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:85)(cid:92)Ax,y (cid:54)Bx ,y x ¹ x (cid:54)A(cid:54)B(cid:158)(cid:62)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:54) 1 1 2 2 1 2 ìx2 y2 ï 1 + 1 =1 ïa2 b2 x2 -x 2 y2 - y 2 (cid:221)(cid:167)í (cid:54)(cid:40)(cid:68)(cid:144)(cid:304)(cid:168) 1 2 + 1 2 =0 ïx 2 y 2 a2 b2 2 + 2 =1 ïîa2 b2 x +x x -x  y + y y - y  (cid:221)(cid:167) 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0 a2 b2 y - y  b2x +x  b2x b2x (cid:182) 1 2 =- 1 2 =- 0 (cid:54)(cid:305)k =- 0 x -x  a2y + y  a2y AB a2y 1 2 1 2 0 0 x2 y2 b2x 2(cid:23)(cid:302)(cid:236)(cid:172)(cid:173)(cid:43)(cid:58)(cid:290)(cid:166)(cid:167)(cid:287)(cid:162)(cid:85)(cid:47)AB(cid:89)(cid:60)(cid:61)(cid:50) - =1a>b.0(cid:43)(cid:278)(cid:54)(cid:101)(cid:41)Mx ,y (cid:54)(cid:135)k = 0 (cid:85)(cid:47) a2 b2 0 0 AB a2y 0 p (cid:61)(cid:50)(cid:89)(cid:175)(cid:14)(cid:50)y2 =2pxp>0(cid:54)(cid:135)k = (cid:26) AB y 0 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21) x2 y2 2 1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:306)(cid:307)(cid:308)(cid:309)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)E: + =1(a>b>0)(cid:43)(cid:76)(cid:117)(cid:41)(cid:36)F (cid:54)(cid:39)(cid:112)(cid:41)(cid:36)B(cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:46)e= (cid:54) a2 b2 2 (cid:49)(cid:50)FB(cid:48)(cid:41)P(1,2). (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)E(cid:43)(cid:84)(cid:311)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:48)(cid:41)F (cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:75)(cid:37)(cid:38)E(cid:144)(cid:51)(cid:52)M(cid:54)N(cid:40)(cid:41)(cid:27)M(cid:23)N(cid:158)(cid:131)(cid:62)(cid:83)(cid:84)(cid:79)(cid:39)(cid:32)(cid:54)(cid:47)ÐMPF =ÐNPF (cid:54)(cid:42)(cid:49)(cid:50)l(cid:43) (cid:58)(cid:59). y2 2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:315)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:10)x2- =1(cid:75)(cid:49)(cid:50)l(cid:10)y=x+1(cid:51)(cid:52)A(cid:23)B(cid:40)(cid:41)(cid:27)A(cid:62)B(cid:76)(cid:316)(cid:32)(cid:54) 4 (cid:48)(cid:41)A(cid:43)(cid:40)(cid:120)(cid:3)(cid:52)l(cid:80)(cid:81)(cid:43)(cid:49)(cid:50)l (cid:23)l (cid:121)(cid:122)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:52)C(cid:23)D(cid:40)(cid:41)(cid:27)C(cid:62)(cid:116)(cid:77)(cid:54)D(cid:62)(cid:76)(cid:77)(cid:32)(cid:26) 1 2 (1)(cid:92)(cid:49)(cid:50)l (cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:36)k (cid:54)(cid:49)(cid:50)l (cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:36)k (cid:54)(cid:42)k ×k (cid:43)(cid:317)(cid:85) 1 1 2 2 1 2 (2)(cid:47)(cid:49)(cid:50)CD(cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:62)(cid:41)B(cid:224)(cid:43)(cid:251)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:41)P(cid:54)(cid:42)VABP(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:26)x2 y2 1 3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:318)(cid:319)(cid:320)(cid:321)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)C(cid:10) + =1(a>b>0)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36) (cid:54)(cid:76)､(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)F(cid:54)F (cid:54) a2 b2 2 1 2 (cid:39)､(cid:67)(cid:112)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)A(cid:54)A (cid:54)(cid:55)(cid:299)(cid:242)(cid:108)AFAF (cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:36)2 3. 1 2 1 1 2 2 (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)C(cid:43)(cid:84)(cid:311)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:49)(cid:50)l(cid:10)y=kx+m(m>0)(cid:75)(cid:37)(cid:38)C(cid:51)(cid:52)P(cid:54)Q(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:55)P(cid:54)Q(cid:3)(cid:52)(cid:138)(cid:41)(cid:43)(cid:80)(cid:81)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)M(cid:54)N(cid:54)(cid:47)OP 2+ OQ 2 (cid:89)(cid:22)(cid:111)(cid:75)m(cid:322)(cid:3)(cid:43)(cid:63)(cid:13)(cid:54)(cid:135)(cid:180)(cid:299)(cid:242)(cid:108)PQMN(cid:56)(cid:57)(cid:240)(cid:115)(cid:176)(cid:54)(cid:42)(cid:49)(cid:50)l(cid:43)(cid:58)(cid:59). c 4(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:323)(cid:324)(cid:325)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:10)x2-3y2 =3(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)F(cid:54)F (cid:54)A(cid:89)(cid:49)(cid:50)l(cid:10)y=- x 1 2 a2 (cid:27)(cid:281)(cid:101)a(cid:89)(cid:326)(cid:327)(cid:79)(cid:114)(cid:54)c(cid:89)(cid:327)(cid:117)(cid:103)(cid:32)(cid:39)(cid:131)(cid:132)(cid:52)(cid:138)(cid:41)O(cid:43)(cid:22)(cid:111)(cid:104)(cid:41)(cid:54)(cid:74)(cid:46)(cid:36)k (cid:43)(cid:49)(cid:50)AF (cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:51)(cid:52)M (cid:54) 1 1 N (cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:74)(cid:46)(cid:36)k (cid:43)(cid:49)(cid:50)AF (cid:75)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:51)(cid:52)P(cid:54)Q(cid:40)(cid:41)(cid:26) 2 2 1 1 (1)(cid:42) + (cid:43)(cid:317)(cid:85) k k 1 2 (2)(cid:47)(cid:49)(cid:50)OM (cid:54)ON(cid:54)OP(cid:54)OQ(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:121)(cid:122)(cid:36)k (cid:54)k (cid:54)k (cid:54)k (cid:54)(cid:192)(cid:89)(cid:328)(cid:329)(cid:62)(cid:41)A(cid:54)(cid:163)(cid:164) OM ON OP OQ k OM +k ON +k OP +k OQ =0(cid:54)(cid:47)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:42)(cid:162)A(cid:41)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:47)(cid:131)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:156)(cid:87)(cid:15)(cid:252)(cid:26) 5(cid:26)(cid:27)2024·(cid:313)(cid:330)(cid:331)(cid:313)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:62)(cid:332)(cid:56)(cid:49)(cid:99)(cid:83)(cid:84)(cid:100)xOy(cid:101)(cid:54)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:14)(cid:50)E:y2 =2px(p>0)(cid:43)(cid:117)(cid:41)(cid:36)F,A(cid:89)E(cid:39) π (cid:136)(cid:22)(cid:140)(cid:141)(cid:152)(cid:43)(cid:104)(cid:41).(cid:180)(cid:49)(cid:50)AF(cid:43)(cid:282)(cid:74)(cid:99)(cid:36) (cid:176)(cid:54) AF =4. 3 (1)(cid:42)E(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:33)(cid:34)(cid:41)D2,2,B,C(cid:89)E(cid:39)(cid:131)(cid:132)(cid:40)(cid:41).(cid:47)(cid:299)(cid:242)(cid:108)ABCD(cid:89)(cid:332)(cid:333)(cid:299)(cid:242)(cid:108)(cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:10)(cid:49)(cid:50)AC(cid:48)(cid:142)(cid:41). x2 y2 6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:39)(cid:334)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)C(cid:10) + = 1(cid:54)F(cid:23)F (cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:54)(cid:49)(cid:50)l(cid:48)F (cid:51)(cid:37)(cid:38)(cid:52)A(cid:23)B 1 2 2 8 4 (cid:40)(cid:41). (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:85) (2)(cid:180)ÐFAB=90°(cid:54)(cid:55)(cid:41)A(cid:62)x(cid:79)(cid:39)(cid:58)(cid:176)(cid:54)(cid:42)A(cid:23)B(cid:40)(cid:41)(cid:43)(cid:83)(cid:84)(cid:85) 1 (3)(cid:47)(cid:49)(cid:50)AF (cid:51)y(cid:79)(cid:52)M (cid:54)(cid:49)(cid:50)BF(cid:51)y(cid:79)(cid:52)N (cid:54)(cid:89)(cid:328)(cid:329)(cid:62)(cid:49)(cid:50)l(cid:54)(cid:235)(cid:168)S =S (cid:335)(cid:47)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:42)(cid:162)(cid:49)(cid:50)l 1 1 VF1AB VF1MN (cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85)(cid:47)(cid:131)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:336)(cid:156)(cid:87)(cid:15)(cid:252). 7(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:338)(cid:114)(cid:339)·(cid:139)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)E(cid:101)(cid:45)(cid:62)(cid:138)(cid:41)(cid:54)(cid:76)(cid:117)(cid:41)(cid:36)F(-1,0)(cid:54)(cid:281)(cid:299)(cid:111)(cid:112)(cid:41)(cid:43)(cid:217)(cid:50)(cid:270)(cid:127)(cid:43)(cid:299)(cid:242)(cid:108)(cid:56) (cid:57)(cid:36)2 2. (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)E(cid:43)(cid:84)(cid:311)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:48)(cid:37)(cid:38)E(cid:43)(cid:76)(cid:117)(cid:41)F (cid:73)(cid:74)(cid:46)(cid:329)(cid:62)(cid:43)(cid:40)(cid:49)(cid:50)AB(cid:23)CD(cid:121)(cid:122)(cid:51)(cid:37)(cid:38)(cid:52)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:54)(cid:55)AB^CD(cid:54)(cid:50)(cid:340)AB(cid:23)CD(cid:43)(cid:101)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)M (cid:23)N .(cid:42)(cid:299)(cid:242)(cid:108)BCMN (cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:240)(cid:341)(cid:317). x2 y2 8(cid:26)(cid:27)2024·(cid:320)(cid:342)(cid:330)(cid:343)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38) + =1(a>b>0)(cid:43)(cid:76)(cid:112)(cid:41)(cid:36)A(cid:54)(cid:39)(cid:112)(cid:41)(cid:36)B(cid:54)(cid:67)(cid:112)(cid:41)(cid:36)C(cid:54)(cid:47)(cid:37)(cid:38) a2 b2 3 (cid:43)e= (cid:54)(cid:110)(cid:99)(cid:108)ABC(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:36)2. 2 (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)(cid:43)(cid:84)(cid:311)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:33)(cid:34)(cid:41)D(cid:27)0(cid:54)2(cid:32)(cid:54)(cid:49)(cid:50)AD(cid:51)(cid:37)(cid:38)(cid:52)(cid:41)E(cid:54)(cid:48)(cid:41)D(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:37)(cid:38)(cid:52)M(cid:54)N(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:47)(cid:49)(cid:50)CM(cid:75)x(cid:79)(cid:51) |DQ| (cid:52)P(cid:41)(cid:54)(cid:48)E(cid:55)(cid:332)(cid:333)(cid:52)x(cid:79)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:75)BN(cid:51)(cid:52)Q(cid:41)(cid:54)(cid:42) (cid:43)(cid:317). |PQ| 9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:338)(cid:114)(cid:339)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C:y2 =2px(p>0)(cid:54)(cid:48)(cid:41)D0,2(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:75)C(cid:51)(cid:52)(cid:131)(cid:132)(cid:43)(cid:40)(cid:41)A,B. (cid:180)(cid:49)(cid:50)l(cid:43)(cid:282)(cid:74)(cid:99)(cid:36)135°(cid:176)(cid:54) AB =4 30. (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) DA AE (2)(cid:62)(cid:50)(cid:340)AB(cid:39)(cid:124)(cid:344)(cid:52)(cid:41)A,B(cid:43)(cid:41)E(cid:54)(cid:55)(cid:163)(cid:164) = (cid:54)(cid:239)(cid:192)(cid:89)(cid:328)(cid:329)(cid:62)(cid:22)(cid:120)(cid:142)(cid:49)(cid:50)(cid:54)(cid:235)(cid:168)(cid:41)E(cid:345)(cid:62)(cid:237)(cid:120)(cid:142) DB EB (cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:335)(cid:47)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:42)(cid:162)(cid:187)(cid:49)(cid:50)(cid:85)(cid:47)(cid:131)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:336)(cid:156)(cid:87)(cid:15)(cid:252). x2 y2 10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:320)(cid:342)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)E: + =1a>b>0(cid:43)(cid:346)(cid:79)(cid:114)(cid:36)2 3(cid:54)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:112)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)C,D(cid:54)(cid:48)(cid:116) a2 b2 (cid:117)(cid:41)F1,0(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:51)(cid:37)(cid:38)E(cid:52)A,B(cid:40)(cid:41)(cid:27)(cid:131)(cid:75)C,D(cid:347)(cid:134)(cid:32)(cid:54)(cid:49)(cid:50)AC(cid:75)(cid:49)(cid:50)BD(cid:51)(cid:52)(cid:41)T(cid:26) (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)E(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:42)(cid:86)(cid:10)(cid:41)T(cid:62)(cid:142)(cid:49)(cid:50)(cid:39). y2 11(cid:26)(cid:27)2024·(cid:39)(cid:334)(cid:348)(cid:307)(cid:28)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C:x2- =1(cid:54)(cid:41)F(cid:23)F (cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:54) 1 2 3 Ax,y (cid:23)Bx ,y (cid:36)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:39)(cid:43)(cid:41). 1 1 2 2 (1)(cid:42)(cid:116)(cid:117)(cid:41)F (cid:102)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:43)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:85) 2 uuuur uuuur (2)(cid:47)AF =3FB(cid:54)(cid:42)(cid:49)(cid:50)AB(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) 2 2 (3)(cid:47)AF //BF (cid:54)(cid:281)(cid:101)A(cid:23)B(cid:40)(cid:41)(cid:349)(cid:62)x(cid:79)(cid:39)(cid:58)(cid:54)(cid:55)(cid:121)(cid:122)(cid:260)(cid:52)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:40)(cid:77)(cid:54)(cid:42)(cid:299)(cid:242)(cid:108)AFF B(cid:43)(cid:56)(cid:57) 1 2 1 2 (cid:43)(cid:124)(cid:317)(cid:269)(cid:270). x2 y2 3 12(cid:26)(cid:27)2024·(cid:318)(cid:319)(cid:338)(cid:201)·(cid:139)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)C(cid:10) + =1(cid:27)a> b> 0(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36) (cid:54)(cid:55)C(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:41) a2 b2 2 (cid:75)(cid:346)(cid:79)(cid:43)(cid:40)(cid:111)(cid:350)(cid:41)(cid:71)(cid:127)(cid:43)(cid:299)(cid:242)(cid:108)(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:36)8 3.(1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:48)(cid:41)P1,0(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:75)(cid:37)(cid:38)C(cid:51)(cid:52)A(cid:54)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:48)(cid:41)A(cid:75)x(cid:79)(cid:294)(cid:49)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:75)(cid:37)(cid:38)C(cid:43)(cid:53)(cid:22)(cid:111)(cid:51)(cid:41)(cid:36)Q.(cid:180) VBPQ(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:124)(cid:168)(cid:240)(cid:115)(cid:317)(cid:176)(cid:54)(cid:42)(cid:49)(cid:50)l(cid:43)(cid:58)(cid:59). 13(cid:26)(cid:27)2024·(cid:351)(cid:352)(cid:353)(cid:354)(cid:355)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:62)(cid:332)(cid:56)(cid:49)(cid:99)(cid:83)(cid:84)(cid:100)xOy(cid:101)(cid:54)(cid:41)A(cid:54)B(cid:121)(cid:122)(cid:89)x(cid:79)(cid:35)y(cid:79)(cid:39)(cid:43)(cid:104)(cid:41)(cid:54)(cid:55)|AB|= 3, uuur uuur uuur (cid:104)(cid:41)P(cid:163)(cid:164) 3OP=2OA+OB(cid:54)(cid:82)P(cid:43)(cid:105)(cid:106)(cid:36)C(cid:26) (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:92)(cid:61)(cid:50)C(cid:75)x(cid:79)(cid:43)(cid:51)(cid:41)(cid:36)A (cid:54)A (cid:27)A (cid:62)A (cid:43)(cid:76)(cid:242)(cid:32)(cid:54)(cid:48)(cid:41)Q(cid:27)1(cid:54)0(cid:32)(cid:55)(cid:131)(cid:75)x(cid:79)(cid:332)(cid:333)(cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:75)C(cid:144)(cid:51) 1 2 1 2 k (cid:52)M(cid:54)N(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:82)(cid:49)(cid:50)A M(cid:54)A N(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:121)(cid:122)(cid:36)k (cid:35)k (cid:54)(cid:42) 1 (cid:43)(cid:317)(cid:26) 1 2 1 2 k 2 14(cid:26)(cid:27)2024·(cid:356)(cid:307)(cid:357)(cid:358)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:10) x2 - y2 =1a>0,b>0(cid:43)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:58)(cid:59)(cid:36)y=± 3 x(cid:54)(cid:48)(cid:41)4,0 a2 b2 2 (cid:43)(cid:49)(cid:50)l(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:52)M (cid:54)N (cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:55)(cid:180)l^x(cid:79)(cid:176)(cid:54) MN =6. (1)(cid:42)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) k (2)(cid:82)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:43)(cid:76)(cid:116)(cid:112)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)A(cid:54)A (cid:54)(cid:49)(cid:50)AM (cid:54)A N(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:121)(cid:122)(cid:36)k (cid:54)k (cid:54)(cid:42) 1 (cid:43)(cid:317). 1 2 1 2 1 2 k 2 (3)(cid:359)(cid:301)(cid:38)E(cid:10)x2+y2-4x-4y-1=0(cid:39)(cid:89)(cid:328)(cid:329)(cid:62)(cid:41)S(cid:54)(cid:235)(cid:168)(cid:48)S(cid:73)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:43)(cid:40)(cid:120)(cid:251)(cid:50)l (cid:54)l (cid:258)(cid:144)(cid:294)(cid:49). 1 2 15(cid:26)(cid:27)2024·(cid:313)(cid:330)(cid:360)(cid:361)·(cid:139)(cid:310)(cid:32)(cid:92)(cid:37)(cid:38)E(cid:10) x2 + y2 =1 a>b>0(cid:362)(cid:48)(cid:41)P2,-1(cid:54)(cid:55)(cid:44)(cid:45)(cid:46)e= 2 (cid:54)(cid:49)(cid:50)m:x=3 a2 b2 2 (cid:294)(cid:49)x(cid:79)(cid:51)x(cid:79)(cid:52)T(cid:54)(cid:48)T(cid:43)(cid:49)(cid:50)l 1 (cid:51)(cid:37)(cid:38)E(cid:52)Ax 1 ,y 1 (cid:54)Bx 2 ,y 2 (cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:217)(cid:155)PA(cid:54)PB(cid:54)PT (cid:26) (1)(cid:42)(cid:37)(cid:38)E(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:92)(cid:49)(cid:50)PA(cid:54)PB(cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:121)(cid:122)(cid:36)k (cid:54)k (cid:26) 1 2 (cid:27)ⅰ(cid:32)(cid:42)k +k (cid:43)(cid:317)(cid:85) 1 2 |MN| (cid:27)ⅱ(cid:32)(cid:66)(cid:274)(cid:10)(cid:48)P(cid:73)x(cid:79)(cid:43)(cid:294)(cid:50)l(cid:54)(cid:48)A(cid:73)PT(cid:43)(cid:332)(cid:333)(cid:50)(cid:121)(cid:122)(cid:51)PB(cid:54)l(cid:52)M(cid:54)N(cid:54)(cid:42) (cid:43)(cid:317)(cid:26) |MA| 16(cid:26)(cid:27)2024·(cid:306)(cid:307)(cid:363)(cid:364)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C(cid:10)y2 =2px(cid:27)p>0(cid:32)(cid:48)(cid:41)1,2(cid:54)F(cid:36)C(cid:43)(cid:117)(cid:41)(cid:54)A(cid:54)B(cid:36)C(cid:39)(cid:131) (cid:132)(cid:52)(cid:138)(cid:41)O(cid:43)(cid:40)(cid:41).(1)(cid:47)OA^OB(cid:54)(cid:239)(cid:359)(cid:301)(cid:49)(cid:50)AB(cid:89)(cid:328)(cid:48)(cid:142)(cid:41)(cid:54)(cid:47)(cid:89)(cid:54)(cid:42)(cid:162)(cid:187)(cid:142)(cid:41)(cid:85)(cid:47)(cid:131)(cid:89)(cid:54)(cid:336)(cid:156)(cid:87)(cid:15)(cid:252)(cid:85) (2)(cid:47)AF ^BF(cid:54)(cid:42)(cid:98)AFB(cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:240)(cid:341)(cid:317). 17(cid:26)(cid:27)2024·(cid:306)(cid:330)(cid:365)(cid:366)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:38)O:x2+y2 =4,B(-1,0),C(1,0)(cid:26)(cid:41)M (cid:62)(cid:38)O(cid:39)(cid:54)(cid:367)(cid:114)CM (cid:102)A(cid:54)(cid:235) uuur uuur uuur |CM |=|MA|(cid:54)(cid:41)P(cid:62)(cid:50)(cid:340)AB(cid:39)(cid:54)(cid:163)(cid:164)(PA+PC)×AC =0(cid:26) (1)(cid:42)(cid:41)P(cid:43)(cid:105)(cid:106)E(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:92)Q(cid:41)(cid:62)(cid:49)(cid:50)x=1(cid:39)(cid:302)(cid:104)(cid:54)D(-2,0),D (2,0)(cid:26)(cid:49)(cid:50)QD (cid:75)QD (cid:105)(cid:106)E(cid:121)(cid:122)(cid:51)(cid:52)G,H (cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:42)(cid:86)(cid:10)GH(cid:221) 1 2 1 2 (cid:62)(cid:49)(cid:50)(cid:345)(cid:48)(cid:142)(cid:41)(cid:26) x2 18(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:338)(cid:368)(cid:365)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)C: +y2 =1. 2 (1)(cid:33)(cid:34)VMPQ(cid:43)(cid:112)(cid:41)(cid:349)(cid:62)(cid:37)(cid:38)C(cid:39)(cid:54)(cid:47)(cid:83)(cid:84)(cid:138)(cid:41)O(cid:36)VMPQ(cid:43)(cid:347)(cid:45)(cid:54)(cid:42)(cid:41)O(cid:102)(cid:49)(cid:50)PQ(cid:103)(cid:44)(cid:43)(cid:240)(cid:341)(cid:317)(cid:85) (2)(cid:33)(cid:34)(cid:142)Nx ,y (cid:62)(cid:37)(cid:38)C(cid:39)(cid:54)(cid:49)(cid:50)l(cid:27)(cid:75)x(cid:79)(cid:131)(cid:347)(cid:134)(cid:32)(cid:75)(cid:37)(cid:38)(cid:51)(cid:52)A(cid:23)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:47)(cid:49)(cid:50)AB(cid:54)AN(cid:54)BN(cid:43)(cid:74) 0 0 (cid:46)(cid:349)(cid:329)(cid:62)(cid:54)(cid:55)AN ^BN (cid:54)(cid:86)(cid:87)(cid:10)(cid:49)(cid:50)AB(cid:48)(cid:142)(cid:41)(cid:27)(cid:83)(cid:84)(cid:236)x (cid:54)y (cid:234)(cid:369)(cid:32). 0 0 19(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:370)(cid:371)(cid:372)(cid:373)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C:x2 =2pyp>0(cid:39)(cid:22)(cid:41)Q(cid:102)(cid:117)(cid:41)F(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:36)2(cid:54)(cid:41)Q(cid:102)y(cid:79)(cid:43) (cid:103)(cid:44)(cid:36) 3p(cid:26) (1)(cid:42)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:48)F(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C(cid:52)A(cid:54)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:48)(cid:41)B(cid:73)x(cid:79)(cid:43)(cid:294)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:50)AO(cid:27)O(cid:89)(cid:83)(cid:84)(cid:138)(cid:41)(cid:32)(cid:52)D(cid:54)(cid:48)A(cid:73)(cid:49) (cid:121)GD(cid:121) (cid:50)DF(cid:43)(cid:294)(cid:50)(cid:75)(cid:175)(cid:14)(cid:50)C(cid:43)(cid:53)(cid:22)(cid:51)(cid:41)(cid:36)E(cid:54)(cid:49)(cid:50)BD(cid:75)AE(cid:51)(cid:52)(cid:41)G(cid:26)(cid:42) |GB| 20(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:323)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:37)(cid:38)C (cid:10) x2 + y2 =1a>b>0(cid:43)(cid:76)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)F(cid:54)F (cid:54)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:36) 1 (cid:54)(cid:48)(cid:175) 1 a2 b2 1 2 2 (cid:14)(cid:50)C (cid:10)y2 =2ax(cid:117)(cid:41)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:175)(cid:14)(cid:50)(cid:52)M(cid:54)N(cid:40)(cid:41)(cid:54) MN (cid:43)(cid:240)(cid:341)(cid:317)(cid:36)4.(cid:217)(cid:155)MO(cid:54)NO(cid:374)(cid:367)(cid:114)(cid:121)(cid:122)(cid:51)C 2 1 (cid:52)A(cid:54)B(cid:40)(cid:41)(cid:54)(cid:55)(cid:41)A(cid:75)(cid:41)M(cid:54)(cid:41)B(cid:75)(cid:41)N(cid:349)(cid:131)(cid:62)(cid:132)(cid:22)(cid:140)(cid:141)(cid:54)VOMN (cid:75)VOAB(cid:43)(cid:56)(cid:57)(cid:121)(cid:122)(cid:82)(cid:36)S (cid:54) OMN △ S . VOAB (1)(cid:42)C (cid:35)C (cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) 1 2 S (2)(cid:82)l= (cid:98)OMN (cid:54)(cid:42)l(cid:43)(cid:240)(cid:341)(cid:317). S (cid:98)OAB x2 y2 21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:315)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:92)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:10) - =1(cid:27)a>0(cid:54)b>0(cid:32)(cid:43)(cid:22)(cid:120)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:36)x-3y=0(cid:54)(cid:117)(cid:41)(cid:102) a2 b2 (cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:36)1(cid:26)A(cid:54)A (cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:43)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:112)(cid:41)(cid:54)(cid:49)(cid:50)l(cid:48)(cid:41)T2,0(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:52)(cid:41)M (cid:54)N (cid:54)(cid:82)(cid:49) 1 2(cid:50)MA (cid:54)NA (cid:43)(cid:74)(cid:46)(cid:36)k (cid:54)k (cid:26) 1 2 1 2 (1)(cid:42)(cid:60)(cid:61)(cid:50)C(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) k (2)(cid:42)(cid:86) 1 (cid:36)(cid:142)(cid:317)(cid:26) k 2 x2 y2 22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:312)(cid:313)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G: - =1a>0,b>0(cid:43)(cid:326)(cid:79)(cid:114)(cid:36)4(cid:54)(cid:76)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:41)(cid:121)(cid:122)(cid:36)F(cid:23)F (cid:54)(cid:281) a2 b2 1 2 (cid:101)F (cid:102)(cid:281)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:43)(cid:103)(cid:44)(cid:36)1(cid:26) 2 (1)(cid:42)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:43)(cid:84)(cid:311)(cid:58)(cid:59)(cid:10) (2)(cid:47)(cid:41)P(cid:89)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:62)(cid:136)(cid:22)(cid:140)(cid:141)(cid:43)(cid:104)(cid:41)(cid:54)(cid:60)(cid:61)(cid:50)G(cid:62)(cid:41)P(cid:224)(cid:43)(cid:251)(cid:50)l (cid:75)x(cid:79)(cid:144)(cid:51)(cid:52)(cid:41)T(cid:26) 1 (cid:27)i(cid:32)(cid:86)(cid:87)(cid:10)(cid:375)(cid:50)PT (cid:89)ÐFPF (cid:43)(cid:99)(cid:332)(cid:121)(cid:50)(cid:85) 1 2 (cid:27)ii(cid:32)(cid:48)(cid:83)(cid:84)(cid:138)(cid:41)O(cid:43)(cid:49)(cid:50)l (cid:75)l (cid:294)(cid:49)(cid:54)(cid:75)(cid:49)(cid:50)PF(cid:144)(cid:51)(cid:52)(cid:41)Q(cid:54)(cid:42)△QFF (cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:124)(cid:317)(cid:269)(cid:270)(cid:26) 2 1 1 1 2 3   23(cid:26)(cid:27)2024·(cid:376)(cid:377)(cid:378)(cid:379)·(cid:110)(cid:310)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:43)(cid:118)(cid:119)(cid:50)(cid:36)y=± x(cid:54)(cid:76)(cid:112)(cid:41)(cid:36)A - 3,0 (cid:26) 3 (1)(cid:42)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:43)(cid:58)(cid:59)(cid:85) (2)(cid:49)(cid:50)l:x=t(cid:51)x(cid:79)(cid:52)(cid:41)D(cid:54)(cid:48)D(cid:41)(cid:43)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:60)(cid:61)(cid:50)E(cid:52)B(cid:54)C(cid:54)(cid:49)(cid:50)AB(cid:54)AC(cid:121)(cid:122)(cid:51)l(cid:52)G(cid:54)H(cid:54)(cid:47)O(cid:54) A(cid:54)G(cid:54)H(cid:349)(cid:62)(cid:38)P(cid:39)(cid:54) (cid:42)k ×k (cid:43)(cid:317)(cid:54)(cid:374)(cid:42)(cid:41)D(cid:43)(cid:267)(cid:83)(cid:84)(cid:85) AG OH ①(cid:42)(cid:38)P(cid:56)(cid:57)(cid:43)(cid:124)(cid:317)(cid:269)(cid:270)(cid:26) ②