文档内容
2025 高考数学大题特训：6 大考点汇总与跟踪训练
目录
考点一 数列1
考点二 函数与导数6
考点三 三角函数11
考点四 空间向量与立体几何 21
考点五 统计与概率29
考点六 圆锥曲线的方程36
跟踪训练
考点一 数列
1.“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万平方千米，其中
70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的
4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为a 万平方千米．
n
(1)求a n 与a n-1n≥2
1
的关系；
4
(2)判断a -
n 5
是不是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？lg2≈0.301
4 4
【答案】(1)a n = 5 a n-1 + 25 n≥2
(2)是等比数列，理由见解析
(3)至少经过6年
【分析】(1)根据题意可得出a n =1-0.04 a n-1 +1-a n-1 ×0.16，化简可得a n 与a n-1n≥2 的关系；
(2)利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论；
(3)求出数列a
n
3
的通项公式，然后解不等式a > ，即可得出结论.
n 5
【详解】(1)由题意n≥2时，
a n =1-0.04 a n-1 +1-a n-1
4 4
×0.16=0.8a +0.16= a + ， n-1 5 n-1 25
4 4
所以，a n = 5 a n-1 + 25 n≥2 .
4
(2)数列a -
n 5
是等比数列．理由如下：
4 4
由(1)得a n = 5 a n-1 + 25 n≥2 ，
4
设a n +x= 5 a n-1 +x
4 x x 4 4
，可得a = a - ，所以，- = ，可得x=- ， n 5 n-1 5 5 25 5
4 4 4
所以，a - = a - n 5 5 n-1 5 n≥2
4 3 4 1
，且a - = - =- ， 1 5 10 5 24
因此，数列a -
n 5
2
1 4
是首项为- ，公比为 的等比数列．
2 5
4
(3)由(2)可知，数列a -
n 5
1 4
是首项为- ，公比为 的等比数列，
2 5
4 1 4
所以，a - =- ×
n 5 2 5
n-1 1 4
，即a =- ×
n 2 5
n-1 4
+ ．
5
1 4
令a =- ×
n 2 5
n-1 4 3 4
+ > ，得
5 5 5
n-1 2
< ，
5
两边取常用对数，得n-1
4 2
lg
lg2
5 = lg2-lg5 = lg2-1-lg2
lg4 2lg2-lg5
5
2lg2-1-lg2
2lg2-1 2×0.301-1 = ≈
3lg2-1 3×0.301-1
-0.398
= ≈4.1，所以，n>5.1，
-0.097
所以，至少经过6年，绿洲面积可超过60%．
2.已知数列a n
1
的通项公式为a = n
nn+2
n∈N* ．
(1)计算a +a 的值；
3 4
1
(2) 是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
120
13
【答案】2．(1)
120
1
(2) 是数列a
120 n
的第10项．
【分析】(1)利用给定的递推公式，代值计算即可.
(2)利用方程的正整数解即可得解.
【详解】(1)数列a
n
1
中，a =
n nn+2
1 1 1 1
，a = = ,a = = ，
3 3×5 15 4 4×6 24
1 1 13
所以a +a = + = .
3 4 15 24 120
1
(2)若 为数列a
120 n
1
中的项，则
nn+2
1
= ，
120
即nn+2 =120，整理得n2+2n-120=0，而n∈N*，解得n=10，
1
所以 是数列a
120 n
的第10项.
3.已知等差数列a
n
满足a >a ,a +a =10,a ,a -1,a 成等比数列．
3 1 1 3 1 2 3
(1)求数列a
n
的通项公式；
a
(2)若b = n ，求数列b
n 3n n
的前n项和T．
n
【答案】3．(1)a =3n-1
n
1 6n+7
(2)T = 7-
n 4 3n
【分析】(1)根据等差、等比中项可得a +a =10，aa =16，结合题意解方程可得a,a ，进而可得公差和通
1 3 1 3 1 3
项；1 6n+1 6n+1
(2)由(1)可得：b = -
n 4 3n-1
3
+1
3n
，利用裂项相消法运算求解即可.
【详解】(1)因为数列a
n
为等差数列，则a +a =2a =10，即a =5，
1 3 2 2
又因为a 1 ,a 2 -1,a 3 成等比数列，则a 1 a 3 =a 2 -1 2=16，
a +a =10 a =2 a =8
联立方程 1 3 ，解得 1 或 1 ，
aa =16 a =8 a =2
1 3 3 3
a =2
且a 3 >a 1 ，则 a 1 =8 ，可知公差d=a 2 -a 1 =3，
3
所以数列a n 的通项公式a n =2+3n-1 =3n-1.
a 3n-1 1 6n+1 6n+1 (2)由(1)可得：b = n = = -
n 3n 3n 4 3n-1
+1
3n
，
1 13 13 19 6n+1 6n+1
所以T = 7- + - +⋅⋅⋅+ -
n 4 3 3 9 3n-1
+1
3n
1 6n+7
= 7-
4 3n
.
4.若存在非零常数t，使得数列a n 满足a n+1 -a 1 a 2 a 3 ⋯a n =tn≥1,n∈N ，则称数列a n 为“Ht 数
列”.
(1)判断数列：1,3,5,11,152是否为“H2 数列”，并说明理由；
(2)若数列a n 是首项为1的“Ht 数列”，数列b n 是等比数列，且a n 与b n
n
满足a2=a a a i 1 2 3
i=1
⋯a +log b ，求t的值和数列b
n 2 n n
的通项公式；
(3)若数列a n 是“Ht 数列”，S 为数列a n n 的前n项和，a >1,t>0，证明：t>S -S -eSn-n 1 n+1 n
【答案】4．(1)不是，理由见解析
(2)t=-1，b =2n-1.
n
(3)证明见解析
【分析】(1)由“Ht 数列”定义验证即可；
n+1 n
(2)由题可得a2 i =a 1 a 2 a 3 ⋯a n a n+1 +log 2 b n+1 ，与a2 i =a 1 a 2 a 3 ⋯a n +log 2 b n 相减结合“Ht
i=1 i=1
数列”定义可
得关于t的方程，即可得答案；
(3)要证t>S -S -eSn-n等价于aa ⋯a 1时，fx <0，则fx =lnx-x+1在区间1,+∞ 单调递减，
且f1 =ln1-1+1=0，又由a n 是“Ht 数列”，
即a -aa a ⋯a =t，对于n≥1,n∈N恒成立，
n+1 1 2 3 n
因为a >1,t>0，则a =a +t>1，再结合a >1,t>0,a >1，
1 2 1 1 2
反复利用a =aa a ⋯a +t，可得对于任意的n≥1,n∈N,a >1，
n+1 1 2 3 n n
则fa n S -S -eSn-n.
n+1 n n+1 n
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键为理解“Ht 数列”的定义，通过构造函数fx =lnx-x+1利
用单调性来证明lna n -a n +1<0，进而得到lna 1 a 2 ⋯a n 0，当n=5时，fn <0
∵f4 =70=f5
∴fn 的最大值为70，即当n=4或n=5时，λ取得最大值70，
∴λ取得最大值时，n取4或5.
6.已知函数φx 的定义域为D，对于任意的n∈N*，数列a n ，b n 满足a n ,b n ∈D，a n ≠b n ，且φa n =
φb n ，则称a n ，b n 为“φx 下的一对孪生数列”．
(1)若函数fx =x ，请写出“fx 下的一对孪生数列”，并说明理由；
(2)设函数gx
k
=x+ x0,k x 0 ，若a n ，b n 为“gx 下的一对孪生数列”，证明：a +b < n n
-2 k；
(3)设函数hx
x-1
=
2ex
，若c x n ，d n 为“hx 下的一对孪生数列”，证明：数列c +d n n 的前
2025项和大于4050．
【答案】6．(1)n ，-n 为“fx 下的一对孪生数列”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)用列举特殊数列法来理解新定义的数列，即可得解；
(2)利用对钩函数的性质，结合均值不等式，即可得证；
(3)通过求导来掌握函数的单调性和取值规律，再把新定义的数列问题转化为一个特殊不等式来进行证明
即可.
【详解】(1)因为函数fx =x 的定义域为R，且为偶函数，
对任意的n∈N*，-n≠n，都有f-n =-n =n =fn ，
故数列n ，-n 为“fx 下的一对孪生数列”．
(2)由题意得ga n =gb n
k k
，所以a + =b + ， n a n b
n n
因式分解得a n -b n
k
1- a b
n n
=0，
k
因为a ≠b ，则a -b ≠0，所以1- =0，即a b =k．
n n n n a b n n
n n
因为a <0，b <0，所以-a >0，-b >0，
n n n n
-a -b
所以 n 2 n ≥ -a n -b n = a b = k，当且仅当a =b 时取等号， n n n n
-a -b
而a ≠b ，故 n n > k，即a +b <-2 k．
n n 2 n n
(3)由hx
x-1
=
2ex
，得hx
x
的定义域为xx≠0 ，
求导得hx
2x-1
=
ex+exx-1 2 x-x-1 2ex x-1
=
x2
exx2+1
，
x2
当x>1时，hx >0，当00时，hx ≥0．由于hc n
6
=hd n ，
故要证数列c +d
n n
的前2025项和大于4050，可证c +d >2，
n n
不妨令hx 1 =hx 2 ，x 1， 1 2 1 2
即证x +x >2，即证x >2-x．
1 2 2 1
又hx 在1,+∞ 上单调递增，
所以只需证hx 2 >h2-x 1 ，(提示：因为01) 1 1
又hx 1 =hx 2 ，
所以只需证hx 1 >h2-x 1 ．
令Fx =hx -h2-x 00．
令mx =2-x ex-xe2-x00，x-1 2>0，所以只需证mx >0．
易知mx =1-x ex-e2-x ，因为02-1 ×e1-1×e2-1=0，
故Fx >0，即hx 1 >h2-x 1 ，故x +x >2， 1 2
故c +d >2，
n n
则c 1 +d 1 +c 2 +d 2 +⋯+c 2025 +d 2025 >2×2025=4050
所以数列c +d
n n
的前2025项和大于4050．
【点睛】方法点睛：1.用枚举法理解新定义，即通过举例子的方式，将抽象的新定义转化为具体的、简单的应
用，从而加深对信息的理解；
1.会转化，即会用自己的语言转化新定义所表达的内容，如果能清唽描述，那么说明对此定义理解得较为透
彻；
2.找关系，即发现新定义与所学知识的联系，并从描述中体会新定义的本质特征与规律.
考点二 函数与导数
7.已知幂函数fx =m2+3m+3 x3m-1为偶函数.
(1)求fx 的解析式；
(2)若fa-1 ≥f1+2a ，求实数a的取值范围.
【答案】7．(1)fx =x-4
(2) -∞,-2 ∪ 0,1 ∪1,+∞
【分析】(1)根据幂函数的定义可解得参数m的值，再根据函数fx 为偶函数即可求解；
(2)结合幂函数的单调性及奇偶性、定义域求解.
【详解】(1)∵函数fx =m2+3m+3 x3m-1为幂函数，∴m2+3m+3=1，即m2+3m+2=0，解得m=
-1或m=-2.
当m=-1时，fx =x-4，满足f-x =fx ，此时fx 为偶函数，符合题意；
当m=-2时，fx =x-7，不满足f-x =fx ，此时fx 不是偶函数，不符合题意.
综上可得，fx =x-4.(2)由(1)得fx
7
1
=x-4= ，所以fx
x4
在0,+∞ 上单调递减，在-∞,0 上单调递增且fx 为偶函数，
因为fa-1 ≥f1+2a ，
a-1≠0,
所以 1+2a≠0,
a-1 ≤1+2a
，
解得a≤-2或0≤a<1或a>1.
故实数a的取值范围为 -∞,-2 ∪ 0,1 ∪1,+∞ .
8.已知定义在R上的函数fx
2x+a
= 满足5f2
2x+b
=9f1 ，且f0 =0．
(1)求fx 的解析式，并判断fx 的奇偶性；
(2)证明：fx 在R上为增函数．
【答案】8．(1)fx
2x-1
= ，奇函数．
2x+1
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意求出解析式，利用奇偶性定义即可得结论；
(2)利用单调性的定义结合指数函数的性质证明即可.
【详解】(1)由f0
1+a
=0得， =0，所以1+a=0，即a=-1，
1+b
又5f2 =9f1
22-1 2-1
，所以5× =9× ，解得b=1，所以fx
22+b 2+b
2x-1
= ．
2x+1
又函数fx 的定义域为R，f-x
2-x-1 1-2x
= = =-fx
2-x+1 1+2x
，故函数fx 为奇函数．
(2)证明：设任意实数x,x ∈R，且x 0,2x2>0,2x2-2x1>0,fx 2 -fx 1 >0，
即fx 2 >fx 1 ，故fx 在R上为增函数．
9.已知定义在R上的函数fx 满足fx -2f-x =3x2-5x+2．
(1)求fx 的解析式；
(2)若gx =-fx
1
-2x2+ x在区间 a,a+1
3
内有最小值2，求实数a的值．
【答案】9．(1)fx
5
=-3x2- x-2
3
(2)a=-3或a=0
【分析】(1)将fx -2f-x =3x2-5x+2式中x换成-x，联立两式即可求解；
(2)将fx 代入gx =-fx
1
-2x2+ x，可知gx
3
的图象的对称轴，分类讨论区间a,a+1 和对称轴之
间的位置关系，即可求解.
【详解】(1)因为fx -2f-x =3x2-5x+2①，用-x替换x得，f-x -2fx =3x2+5x+2②，联立①②，解得fx
8
5
=-3x2- x-2；
3
(2)由题可得，gx =-fx
1
-2x2+ x=x2+2x+2，
3
对称轴为x=-1，则gx 在区间-∞,-1 上单调递减，在区间-1,+∞ 上单调递增．
当a+1≤-1，即a≤-2时，gx =ga+1
min
=a2+4a+5=2，
解得a=-3或a=-1(舍)；
当a<-1 .
a-1(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别)，有放回的随机抽取20个小球，记抽取的
1
20个小球编号各不相同的概率为p，求证：p< .
e2
【答案】11．(1)增区间为0,2- 3
9
、2+ 3,+∞ ，减区间为2- 3,2+ 3
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)当a=3时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数fx 的增区间和减区间；
lnx -lnx 2 x
(2)借助斜率公式表示出k后化简，可转化为证明 1 2 > ，借助换元法令t= 1 ，构造函数
x -x x +x x
1 2 1 2 2
ht
2t-1
=lnt-
，结合(1)问中所的即可得解；
t+1
9
(3)借助概率公式可得p，借助放缩法可得p<
10
19 10
，结合(2)中所得可得ln
9
19
>2，即可得证.
【详解】(1)当a=3时，fx
3x-1
=lnx-
，该函数的定义域为0,+∞
x+1
，
fx
1 6
= -
x x+1
x+1
=
2
2-6x
xx+1
x2-4x+1
=
2 xx+1
，
2
由fx <0可得2- 30可得02+ 3，
所以，函数fx 的增区间为0,2- 3 、2+ 3,+∞ ，减区间为2- 3,2+ 3 .
(2)因为fx 定义域为0,+∞ ，fx
1 ax+1
= -
x
-ax-1
x+1
x2+2-2a
=
2
x+1
xx+1
，
2
对于方程x2+2-2a x+1=0，Δ=2-2a 2-4=4a2-2a ，
因为函数fx 有两个极值点x 1 、x 2 ，则方程x2+2-2a x+1=0在0,+∞ 上有两个不等的实根，
Δ=2-2a
所以，
2-4=4a2-8a>0
xx =1>0 ，解得a>2,
1 2
x +x =2a-2>0
1 2
则k= fx 1 -fx 2
lnx - ax 1 -1
1 =
x -x
1 2
x-1 1
- lnx - ax 2 -1
2
x +1 2
x -x
1 2
ln x 1 - 2ax 1 -x 2
x = 2
x 1 +1 x 2 +1
ln x 1 - 2ax 1 -x 2
x = 2
x -x
1 2
xx +x+x +1 1 2 1 2
x -x
1 2
x
ln 1
= x 2 - 2a = lnx 1 -lnx 2 -1，
x -x 1+2a-2+1 x -x
1 2 1 2
2-a lnx -lnx 1 lnx -lnx 2
所以要证k> ，即证 1 2 -1> -1，即证 1 2 > ，
a-1 x -x a-1 x -x x +x
1 2 1 2 1 2
也即证ln x 1 - 2x 1 -x 2
x
2
x
2 1 -1 =ln x 1 - x 2
x +x x
1 2 2
<0(*)成立．
x
1 +1
x
2
x
设t= 1 ∈0,1
x 2
，函数ht
2t-1
=lnt-
，则ht
t+1
1 4
= -
t t+1
t-1
=
2
2
tt+1
≥0，
2
所以，函数ht 在0,+∞ 上单增，且h1 =0，
所以t∈0,1 时，ht <0，所以(*)成立，原不等式得证.
A20 100×99×⋅⋅⋅×82×81
(3)由题可得p= 100 = ，
10020 10020
因为99×81=902-92<902，98×82=902-82<902，⋯，91×89=902-12<902，9
所以p<
10
10
19
，
又由(2)知t∈1,+∞ ，ht
2t-1
=lnt-
>0，
t+1
2 10 -1
取t= 10 ，有ln 10 - 9
9 9
10 2 =ln - >0，
10 +1 9 19
9
10
即ln
9
19 10
>2，即
9
19
>e2，
9
所以p<
10
19 1
< ．
e2
9
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出p<
10
19 10
后，借助(2)问中所得，取t= ，代入可得
9
10
9
19
>e2，即可得解.
12.若将对于任意x、y∈R总有fx+y +fx-y =2fx fy 的函数称为“类余弦型”函数.
(1)已知fx 为“类余弦型”函数，且fx >0，f2
17
= ，求f1
8
的值；
(2)在(1)的条件下，若数列：a n =2fn+1 -fn n∈N*
a a a
，求log 1 +log 2 +⋯+log 100 的值； 2 3 2 3 2 3
(3)若gx 为“类余弦型”函数，且g0 >0，对任意非零实数t，总有gt >1.设有理数x 、x 满足x 1 2 2
>x 1 ，判断gx 2 与gx 1 的大小关系，并给出证明.
【答案】12．(1)f1
5
=
4
(2)4950
(3)gx 2 >gx 1 ，证明见解析
【分析】(1)令x=y=0，可得出f0 的值，然后令x=y=1，可得出f1 的值；
(2)令x=n，y=1，n∈N∗，推导出数列a
n
是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列a
n
的通
项公式，然后利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值；
(3)先证gx 为偶函数，再证若a、b、N都是自然数且a0，故f0 =1.
令x=y=1，则f2 +f0 =2f1 f1 ，
则f21
25
= ，f1
16
>0，故f1
5
= .
4
(2)令x=n，y=1，n∈N∗，则fn+1 +fn-1 =2fn f1
5
= fn
2
，
2fn+1 -fn =2 2fn -fn-1 ，即a =2a ， n n-1
又a =3，所以数列a
1 n
为以2为公比，3为首项的等比数列，即a =3.2n-1，
n
a a a 0+99
则log 1 +log 2 +⋯+log 100 =0+1+2+⋯+99= ×100=4950.
2 3 2 3 2 3 2
(3)由题意得：函数gx 定义域为R，定义域关于原点对称，
令x=y=0，有g0 +g0 =2g20 ，又g0 >0，故g0 =1.
令x=0，y为任意实数则gy +g-y =2g0 gy ，即gy
11
=g-y ，故gx 是偶函数.
因为gx+y +gx-y =2gx gy ，
又因为当x≠0时，gx >1，
所以当x≠0时，有2gx gy >2gy ，
所以gx+y +gx-y >2gy ，
因为x 1 、x 2 为有理数，不妨设x 1
p
= q 1 ，x 2
1
p
= 2 ， q
2
令N为x 1 、x 1 的分母的最小公倍数且x 1
a
= N ，x 2
b
= ，a、b均为自然数，且a2g
N
，
即C n+1 +C n-1 >2C n ，C n+1 >2C n -C n-1 =C n +C n -C n-1 >C ， n
故数列C n 单调递增，则g x 2 >g x 1 ，
又gx 是偶函数，所以有gx 2 >gx 1 .
【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，而第三问：根据有理数
的性质：令x 1
a
= N ，x 2
b n
= ，将问题转化为判断C =g N n N 在0,+∞ 上为增函数.
考点三 三角函数
13.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知λa+c= 2b，λ为常数．
(1)若λ=0，a=2，求△ABC面积的最大值；
2
(2)若λ=1，cosA+cosC= ，求sinB的值．
3
【答案】13．(1)2 2
5
(2)
3
4
【分析】(1)解法一：当λ=0时，c= 2b，由余弦定理可得出b2= ，利用三角形的面积公式结
3-2 2cosA
4 2tanA
合三角恒等变换化简得出S = 2
△ABC 3-2 2 +3+2 2
A ，设tan =tt>0
tan2A 2
2
，利用基本不等式可
求得S 的最大值；
△ABC
解法二：λ=0时，即AB = 2AC ，以BC所在的直线为x轴，BC的中点O为原点建立平面直角坐标系
xOy，设点Ax,y ，利用平面内两点间的距离公式化简可得出点A的轨迹方程，数形结合可得出△ABC面
积的最大值；
(2)解法一：利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简得出关于cosB的方程，解出cosB的值，结合同角三
角函数的基本关系可求得sinB的值；
2
解法二：不妨设b= 2，则a+c=2，由余弦定理结合cosA+cosC= 可求得ac的值，利用余弦定理可
3
求得cosB的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sinB的值；
解法三：不妨设b=2 2，则a+c=4，即AC =2 2，AB +BC =4>AC =2 2，以AC所在的直线
x2 y2
为x轴，AC的中点O为原点建立平面直角坐标系xOy，分析可知点B在椭圆 + =1，设点
4 2Bx 0 ,y 0
12
，其中-20)，则S =
2 △ABC 3-2 2+3+2 2 t2
4 2
=
3-2 2 +3+2 2 t
4 2
≤
t 2 3-2 2 ⋅3+2 2 t
=2 2，
t
3-2 2
当且仅当 =3+2 2
t
t，即t=17-12 2时取等号，
所以△ABC面积的最大值为2 2.
解法二：λ=0时，c= 2b，即AB = 2AC
以BC所在的直线为x轴，BC的中点O为原点建立平面直角坐标系xOy，
则B-1,0 、C1,0 ，设Ax,y ，
由AB = 2AC 得 x+1 2+y2= 2 x-1 2+y2，化简得x2+y2+6x+1=0，
即A的轨迹方程为x-3 2+y2=8y≠0 ，
1
所以△ABC面积的最大值为S = ⋅2⋅2 2=2 2.
△ABC 2
(2)解法一：由a+c= 2b及正弦定理可知sinA+sinC= 2sinB，
2
由cosA+cosC= 及A+B+C=π，
3
2
得 =-cosB+C
3
-cosB+A =sinBsinC-cosBcosC+sinAsinB-cosAcosB
=sinBsinA+sinC -cosBcosA+cosC
2
= 2sin2B- cosB
3= 21-cos2B
13
2
- cosB，
3
2
整理可得3cos2B+cosB-2=0，解得cosB= 或cosB=-1(舍)，
3
2
故sinB= 1-cos2B= 1-
3
2 5
= .
3
解法二：不妨设b= 2，则a+c=2.
2 b2+c2-a2 a2+b2-c2 c2+2-a2 a2-c2+2 2
由cosA+cosC= 可得 + = + = ，
3 2bc 2ab 2 2c 2 2a 3
4
所以 ac=ac2-a2+2
3
+ca2-c2+2 =c2-a2 a-c +2a+c
=-a+c a-c 2+2a+c =-2a-c 2+4=-2a+c 2+8ac+4=8ac-4，
3 a2+c2-b2 a+c
解得ac= ，所以cosB= =
5 2ac
2-2ac-b2 2
= ，
2ac 3
5
因此sinB= 1-cos2B= .
3
解法三：不妨设b=2 2，则a+c=4，即AC =2 2，AB +BC =4>AC =2 2.
以AC所在的直线为x轴，AC的中点O为原点建立平面直角坐标系xOy，
显然有A- 2,0 、C 2,0 ，
所以点B的轨迹是以点A、C为焦点，且长轴长为4的椭圆(除去长轴端点)，
x2 y2
设椭圆方程为 a2 + b2 =1a 1 >b 1 >0
1 1
，则2a =4，a =2，b = a2-2= 2， 1 1 1 1
x2 y2 x2 y2
故椭圆方程为 + =1，即点B在椭圆 + =1上.
4 2 4 2
设Bx 0 ,y 0 ，其中-20，fx 单调递增.
1 2π 2π
当cosx=- ，即x= 时，f
2 3 3
3 3
= ；当cosx=1，即x=0时，f0
4
=0，
则00,φ
π
<
2
的图象与直线y=b01，利用导函数求证不等式任意x>1，1- ，解得n>6，
n 5 4(n-1) 5
由n为偶数，则n≥8,n∈N∗；
②当nn≥3
n+1 n-1
为奇数时，前n项中 个奇数， 个偶数，
2 2
要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数，n+1
即从 个奇数中任取2个不同的奇数，共有C2 种方法；
2 n+1
2
C2 n+1 n+1 n+1 -1 则1-P = 2 = 2 2
n C2
n
19
n+1 = ，
n(n-1) 4n
n+1 4 n+1 1
所以此时P =1- .由P < ，即 > ，
n 4n n 5 4n 5
n+1 1 1 1
由 = + > ，可知不等式对任意奇数恒成立.
4n 4 4n 5
4
综上所述，存在正整数N≥7，当n≥N时，恒有P < .
n 5
6-2 4 4
又当N=6时，n≥6时，其中P =1- = 不满足P < .
6 4×(6-1) 5 n 5
故N的最小值为7.
-1
(3)由c =
n
n+1 -1
=
b
n
n+1
，
n
1 1 1 1 1
则S =1- + - +⋯+ - .
2n 2 3 4 2n-1 2n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
由S =1+ + + +⋯+ + -2 + + ⋯+
2n 2 3 4 2n-1 2n 2 4 6 2n
1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + +⋯+ + -1+ + +⋯+
2 3 4 2n-1 2n 2 3 n
1 1 1 1
= + +⋯+ + .
n+1 n+2 2n-1 2n
1
构造函数f(x)=l- -lnx,x>1，
x
1 1 1-x
f(x)= - = <0，则f(x)在1,+∞
x2 x x2
上单调递减，
由x>1，则f(x)1，1- -lnx<0，即1- 1，则1- 1，利用导数的单调性证明1- 1，赋值可得 ；
2
所以体积为π2；
x2 y2
(2)设该椭圆为 + =1a>b>0
a2 b2
，
因此2a= 2×2b，即a= 2b，
c b2 2
所以e= = 1- = ；
a a2 2
(3)以椭圆的短轴所在直线在底面的投影为x轴建立平面直角坐标系，
设对于底面圆上一点Pcosα,sinα ，则1,0 与P所连接的弧长为α，
假设短轴对应的高度为0，则点P对应到椭圆上的点的高度为sinαtan45°=sinα，
所以，截口展开形成的图形的函数解析式为y=sinx，
最小正周期为2π，振幅为1.考点四 空间向量与立体几何
19.如图，四面体P-ABC中，PA=AB=BC=1,PC= 3，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
【答案】19．(1)证明见解析
π
(2)
3
【分析】(1)先由线面垂直的性质证得PA⊥AC，PA⊥BC，再利用勾股定理证得BC⊥AB，从而利用线面
垂直的判定定理即可得证；
(2)结合(1)中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角
余弦的坐标表示即可得解.
【详解】(1)证明：因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥AC，PA⊥BC．
因为PA=1，PC= 3，所以AC= PC2-PA2= 2，
又AB=BC=1，所以AC2=AB2+BC2，即BC⊥AB，
又PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
(2)以点B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A0,1,0
21
,B0,0,0 ,C1,0,0 ,P0,1,1 ，
所以AP=0,0,1
,AC=1,-1,0
,BP=0,1,1
,BC=1,0,0 ，
设平面APC的一个法向量为n=x,y,z ，
n⋅AP=z=0
则 ，取x=1，得n=1,1,0
n⋅AC=x-y=0
，
设平面BPC的一个法向量为m=a,b,c ，
m⋅BP=b+c=0
则 ，取b=1，得m=0,1,-1
m⋅BC=a=0
，
所以cosm,n
m⋅n
=
m ⋅n
1 1
= = ，
2⋅ 2 2
由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ，
则cosθ= cosm,n
1 π
= ，即θ= ，
2 3
π
即二面角A-PC-B的大小为 .
320.如图所示，在三棱柱ABC-A B C 中，H是正方形AA B B的中心，AA =2 2，C H⊥平面
1 1 1 1 1 1 1
AA B B，且C H= 5.
1 1 1
(1)求异面直线AC与A B 夹角的余弦值；
1 1
(2)求平面AA C 与平面A C B 夹角的正弦值.
1 1 1 1 1
2
【答案】20．(1)
3
3 5
(2)
7
【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，代入空间异面直线夹角公式求解即可；
(2)分别求出平面AAC 和平面ABC 的法向量，代入空间二面角公式再结合同角的三角函数关系求解即
1 1 1 1 1
可；
【详解】(1)以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意，得B(0,0,0)，A(2 2,0,0)，C( 2,- 2, 5)，A(2 2,2 2,0)，B(0,2 2,0)，
1 1
所以AC=(- 2,- 2, 5)，AB =(-2 2,0,0)，
1 1
AC⋅AB
所以cosAC,AB = 1 1
1 1 AC
22
AB
1 1
4 2
= = .
3×2 2 3
2
所以异面直线AC与AB 夹角的余弦值为 .
1 1 3
(2)由(1)知C( 2, 2, 5)，易得AA =(0,2 2,0)，AC =(- 2,- 2, 5).
1 1 1 1
设平面AAC 的法向量为m=(x,y,z)，
1 1 1 1 1
则 m ⋅A 1 C 1 =0, 即 - 2x 1 - 2y 1 + 5z 1 =0,
m⋅AA 1 =0, 2 2y 1 =0,不妨令x = 5，则m=( 5,0, 2)为平面AAC 的一个法向量..
1 1 1
设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z )，
1 1 1 2 2 2
则 n ⋅A 1 C 1 =0, 即 - 2x 2 - 2y 2 + 5z 2 =0,
n⋅A 1 B 1 =0, -2 2x 2 =0,
不妨令y = 5，则n=(0, 5, 2)为平面ABC 的一个法向量.
2 1 1 1
所以cos‹m,n›
23
m⋅n
=
m n
2 2 3 5
= = ，所以sin‹m,n›= .
7× 7 7 7
3 5
所以平面AAC 与平面ACB 夹角的正弦值为 .
1 1 1 1 1 7
21.如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的
点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：平面BDF⊥平面ABCD．
【答案】21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)建立空间直角坐标系得出E,F的坐标，要证AE⊥平面BCE，只需证明AE⋅BE=0和BC⊥
AE即可；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面BDF法向量和平面ABCD的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余
弦值.
【详解】(1)∵ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴BC⊥平面AEB，
以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，
过O点平行于AD的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz，则A(0,-1,0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，
设E(x ,0,0)(x >0)，
0 0
∵F为CE上的点，EC=(-x ,1,2)，
0
∴设EF=λEC=(-λx ,λ,2λ)，∴F((1-λ)x ,λ,2λ)，
0 0
∴BF=((1-λ)x ,λ-1,2λ)，AC=(0,2,2)，AE=(x ,1,0)，
0 0
∵BF⊥平面ACE，AE、AC⊂平面ACE，∴BF⋅AC=2(λ-1)+4λ=0，
1 2 1 2
且BF⋅AE=(1-λ)x2+λ-1=0，解得x =1，λ= ，∴E(1,0,0)，F , ,
0 0 3 3 3 3
24
，
所以AE=(1,1,0)，BE=(-1,1,0)，∴AE⋅BE=0，∴AE⊥BE，
∵BC⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴BC⊥AE，
又BC∩BE=B，BC、BE⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE；
(2)由题意可知，平面ABCD的法向量为OE=(1,0,0)，
2 2 2
设面BDF的法向量为m=(x,y,z)，BF= ,- ,
3 3 3
，BD=0,-2,2 ，
2 2 2
∴m⋅BF= x- y+ z=0且m⋅BD=-2y+2z=0，取z=1，则y=1，x=0，
3 3 3
∴m=(0,1,1)，∴m⋅OE=0，∴平面BDF⊥平面ABCD.
2π π
22.如图，在三棱柱ABC-A B C 中，CA=CB=CC ，∠ACB=∠ACC = ，∠BCC = ，设CA=
1 1 1 1 1 3 1 2
a，CB=b，CC =c，N是AB的中点.
1
(1)用a、b、c表示向量A N；
1
(2)在线段C B 上是否存在点M，使得AM⊥A N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.
1 1 1
1 1
【答案】22．(1)AN =- a+ b-c
1 2 2
2
(2)存在，当CM= CB 时，AM⊥AN
1 3 1 1 1
【分析】(1)利用空间向量的加法可得出AN 关于a、b、c的表达式；
1
(2)假设存在点M，使得AM⊥A 1 N，设C 1 M =λC 1 B 1 =λb λ∈0,1
，将AM、AN 用基底a,b,c 1 表示出
来，根据题意可得出AM ⋅AN =0，利用空间向量数量积的运算性质求出λ的值，即可得出结论.
1
1 1
【详解】(1)AN =AA+AN =CC+ AB=-CC + CB-CA
1 1 1 2 1 2
1 1
=- a+ b-c
2 2
(2)假设存在点M，使得AM⊥A 1 N，设C 1 M =λC 1 B 1 =λb λ∈0,1 ，
则AM =AA +AC +CM =c-a+λb，
1 1 1 1
因为AM⊥AN，所以AM ⋅AN =0，
1 1
即c-a+λb
25
1 1
⋅- a+ b-c
2 2
=0，
1 1 1 1 1 1
所以，- c⋅a+ c⋅b-c2+ a2- a⋅b+c⋅a- λa⋅b+ λb2-λb⋅c=0，
2 2 2 2 2 2
设CA=CB=CC =1，又a,b
1
=a,c
2π
= ，b,c
3
π
= ，
2
1 1 1 1
所以， c⋅a-c2+ a2- + λ
2 2 2 2
1
a⋅b+ λb2=0，
2
1 1
即 ×1×1×-
2 2
1 1 1
-12+ ×12- + λ
2 2 2
1
×1×1×-
2
1 2
+ λ⋅12=0，解得λ= ，
2 3
2
所以当CM= CB 时，AM⊥AN.
1 3 1 1 1
23.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命
题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼
斯圆．如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，点M是BC的中点，点P是正方体表面
DCCD上一动点(包括边界)，且两直线AP，MP与平面DCCD所成的角相等．
(1)证明：点P的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度；
(2)求PA∙PC的取值范围；
(3)当线段D'P最短时，在线段AD上是否存在点N，使得DP⎳平面AMN，若有，请求出平面
AMN截正方体ABCD-ABCD的截面周长，若无，说明理由．
2π
【答案】23．(1)证明见解析，
3
(2)-2，3
5 5 5 7 13
(3)存在点N，截面周长为 + +
4 2 4
【分析】(1)先得到点P的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧，然后以DC所在直线为x轴，DD'所在直线为y
轴，
建立平面直角坐标系D-xy，设点Px，y .然后利用向量数量积的坐标运算；
(2)由1
得到PA⋅PC=x2-3x+y2，然后利用x2+y2-8x+12=0得到PA⋅PC=5x-12；
3 5 3 13 5
(3)先证明D'O⎳平面AMN，然后利用线面平行性质得到AM= ，MQ= ，QT= ，TN=
2 4 4
5，AN= 13.
【详解】(1)由于ABCD-ABCD是正方体，
两直线AP，MP与面DCCD所成的角相等，即∠APD=∠MPC，
由于∠ADP=∠MCP=90°，tan∠APD=tan∠MPC，AD MC
即 = =2，即PD=2PC，
PD PC
依题意平面内点P到两定点D，C距离之比为2，
故点P的轨迹是圆，而点 P是正方体表面DCCD上一动点(包括边界)，
即点P的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧(如图所示).
单独考查平面DCCD，以DC所在直线为x轴，DD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系D-xy，
设点Px,y
26
.∵DP=2CP，D0,0 、C3,0 ，
∴ x2+y2=2 (x-3)2+y2，化简得：x2+y2-8x+12=0，
即(x-4)2+y2=4，
所以点P所在圆的方程为(x-4)2+y2=4，圆心4,0 ，半径为2.
假设其圆心为O，且圆心O在DC所在的直线上，圆O与CD交于点E，
与CC交于F点，点P的轨迹为正方形DCCD内的一段弧，
则E2,0 ，F3, 3
π 2π
，易得：∠EOF= ，弧长：l= ，
3 3
2π
所以EF这段弧的长度为
3
(2)因为在正方体ABCD-ABCD中，DA⊥平面DCCD，
又CP⊂平面DCCD，所以DA⊥PC，所以DA⊥PC，
由1
得到PA⋅PC=PD+DA
⋅PC=PD⋅PC+DA⋅PC
=PD⋅PC=-x,-y ⋅3-x,-y =x2-3x+y2，
∵x2+y2-8x+12=0，∴x2+y2=8x-12，
∴PD⋅PC=5x-12，而x∈2,3 ，
∴PD⋅PC∈-2,3 ，
故PA⋅PC的取值范围-2,3 .
(3)由1 可知，当线段DP的长最短时，即点P在直线OD上，
故延长AM交DC于点R，过点 R做RS⎳OD，交DD于点S，交CD于点T，
交CC于点Q，连接 SA交AD于点N，所求的截面即为五边形AMQTN.以下证明此时D'P即DO⎳平面AMN，
由于DO⎳SR，DO⊄平面AMN，SR⊂平面AMN，
所以DO⎳平面AMN，
CQ CR 1 SD DT OR DN 1
故有 = = ， = = = = ，
DS DR 2 SD DR DR AD 3
3 3 5
在Rt△ABM中，AB=3，BM= ，AM= ，
2 2
3 9 3 13
在Rt△MCQ中，MC= ，CQ= ，MQ= ，
2 4 4
3 5
在Rt△QCT中，QC'= ，CT=1，QT= ，
4 4
在Rt△TDN中，TD=2，DN=1，TN= 5，
在Rt△NAA中，NA=2，AA=3，AN= 13，
所以所求的截面五边形AMQTN的周长
5 5 5 7 13
C =AM+MQ+QT+TN+NA= + + .
AMQTN 4 2 4
【点睛】关键点点睛：考查向量的数量积的运算，圆的相关轨迹问题，综合性强，需要较强的分析问题解决问
题的能力，难度大.
24.在平面直角坐标系xOy中有两个定点A-3,0
27
，B3,0 ，已知动点M在平面xOy中且M到A，B两
2
点的斜率乘积为- ，点D为定点-1,0
3
(1)求动点M的轨迹方程
(2)如图，在空间中有一点C在平面xOy上方，满足CA⊥平面xOy，且CD =4，探究直线CD与
CM的夹角是否为定值？若是定值，求出夹角角度，若不是定值，说明理由.
(3)在平面xOy上过点T0,2 6 做直线l，交点M的轨迹于P，Q两点，设Q点关于y轴对称的点为
H，连接HP，求当点C到直线HP距离最大时，直线HP与平面ABC夹角的正切值.
x2 y2
【答案】24．(1) + =1(y≠0)
9 6π
(2)是定值，
6
(3) 6
【分析】(1)设动点坐标，由题意列出等量关系，化简求得动点轨迹方程；
(2)建立空间直角坐标系，设C点的坐标，由CD
28
求得未知数的值.设M坐标由空间向量求得两直线夹角
的余弦值，结合M的轨迹方程，求得夹角余弦值，从而得出夹角；
(3)通过点T的坐标设直线l的方程，联立直线与椭圆方程，消元得到关于x的二次方程，设交点坐标
x 1 ,y 1 ，x 2 ,y 2 ，由韦达定理建立等量关系，从而求出直线PH的方程，以及定点坐标，从而得到点C到直
线PH的最大距离，以及此时CK⊥HP，由线面垂直的判断证明PH⊥平面CAK，由线线角得到线面角.
【详解】(1)设点M在平面直角坐标系xOy中坐标为x,y
y y 2
，则 ⋅ =- ，
x+3 x-3 3
x2 y2
解得点M的轨迹方程为 + =1(y≠0)；
9 6
(2)如图，过点O做与向量AC方向做z轴，与原坐标系中x轴，y轴组成空间直角坐标系，
点C在平面xOy上方，且CA⊥平面xoy，
设C -3,0,t ，则D -1,0,0 ，
因为CD =4，所以 -3+1 2+02+t-0 2=4，解得t=2 3.
设点M坐标为x,y,0 ，
CD=2,0,-2 3
，CM =x+3,y,-2 3 ，
CD⋅CM 设向量CD与向量CM 夹角θ，则cosθ=
CD
CM
2x+18 =
4 x+3
2+y2+12
，
x2 y2 2
由 + =1，得y2=6- x2，
9 6 3
2x+18
代入得cosθ=
4 x2 +6x+27
3
2x+18
=
4 x2 +6x+27
3
2x+18
=
4 x+9
3
3
= ，
2
π
所以角θ= ；
6
(3)在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为y=kx+2 6，
x2 y2
与点M的轨迹方程 + =1(y≠0)联立，得3k2+2
9 6
x2+12 6kx+54=0，
设点P，Q的坐标为x 1 ,y 1 ，x 2 ,y 2 ，则H点坐标为-x 2 ,y 2 ，
-12 6k 54 y -y
有x 1 +x 2 = 3k2+2 ，x 1 x 2 = 3k2+2 ，PH直线方程为y= x 1 +x 2 x-x 1
1 2
+y ， 1
xy +x y 2kxx 6
令x=0，得y= 1 2 2 1 =2 6+ 1 2 = ，
x +x x +x 2
1 2 1 2
6
所以直线PH过定点K0,
2
，
点C到直线HP距离d≤CK ，当且仅当CK⊥HP时成立，
此时因为CA⊥平面xOy，HP⊂平面xOy，所以CA⊥HP，AC⊂平面CAK，CK⊂平面CAB，AC∩CK=C，
所以PH⊥平面CAK，
又因为AK⊂平面CAK，所以PH⊥AK，
0- 6
此时k = 2 = 6 ，k = -1 =- 6，
AK -3-0 6 PH k
AK
又直线HP与平面ABC夹角为锐角，
所以直线HP与平面ABC夹角的正切值为 6
【点睛】方法点睛：在求点到动直线距离最大时，只需找到点的定点。所以本题通过已知直线与椭圆的交点
求得动直线方程，找到定点即可完成后面的线面角问题.
考点五 统计与概率
25.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概
1 1 1
率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概率为 ，如此重复进行.
2 3 2
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)记甲同学第i局赢的概率为P；
i
(ⅰ)求P
i
(ⅱ)若存在i，使eP i-lnP+1
i
29
+k≥0成立，求整数k的最小值．
7
【答案】25．(1)
12
1 1
(2)(ⅰ)P= ×-
i 14 6
i-1 3
+ ；(2)-1．
7
【分析】(1)根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算出甲同学第2局赢的概率，再由对立事件概率
公式计算；
(2)(ⅰ)根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算；
1 1
(ⅱ)根据独立事件概率公式和互斥事件概率公式确定P与P (i≥2)的关系，P=- P + ，构造等比
i i-1 i 6 i-1 2
数列得出P i ，不等式化为k≥lnP i +1 -ePi，利用导数求出函数f(x)=ln(x+1)-ex的单调性，求出P的 i
最小值为P 2 ，再由函数单调性对lnP 2 +1 -eP2进行估值，从而得出k的最小整数值．
1 1 1
【详解】(1)由题意甲第2局赢的概率为P = × +1-
2 2 3 2
1 5
× = ，
2 12
5 7
所以乙赢的概率为P=1- = ；
12 12
1 1 1 1
(2)(ⅰ)由已知i≥2时，P= P + (1-P )=- P + ，
i 3 i-1 2 i-1 6 i-1 2
3 1 3
所以P- =- P -
i 7 6 i-1 7
3 1 3
，又P- = ，所以数列P-
1 7 14 i 7
1
是等比数列，公比为- ，
6
3 1 1
所以P- = ×-
i 7 14 6
i-1 1 1
，所以P= ×-
i 14 6
i-1 3
+ ；
7
(ⅱ)ePi-lnP i +1 +k≥0即k≥lnP i +1 -ePi，
1
令f(x)=ln(x+1)-ex，则f(x)= -ex，易知f(x)是减函数，f(0)=0，
x+1
所以x>0时，f(x)<0，f(x)递减，
显然P i >0(i∈N*)，因此要求lnP i +1 -ePi的最大值，即求P的最小值， i1 1
又P= ×-
i 14 6
30
i-1 3 3 3
+ ，i为奇数时，P> ，i为偶数时，P< ，
7 i 7 i 7
1 1
且在i为偶数时，P=- ×
i 14 6
i-1 3
+ 是单调递增的，
7
1 1
所以P 是{P}中的最小值，P = ×-
2 i 2 14 6
3 5
+ = ，
7 12
5
所以k≥ln1+
12
5
-e12，
1
又f(x)=ln(x+1)-ex在(0,+∞)上是减函数，所以f
2
5
-2∵e2<2 ，
5
所以-20，∴P >P ，
59 60
所以这种游戏方案对意向客户有吸引力.
考点六 圆锥曲线的方程
3
31.已知动点P与两定点A(2,0)，B(-2,0)连线的斜率之积为- ，点F(-1,0)，点Q(1,1).
4
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求PQ +PF 的最大值．
x2 y2
【答案】31．(1) + =1x≠±2
4 3
(2)5
【分析】(1)设P(x,y)，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果.
(2)确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值.
y y
【详解】(1)设P(x,y)，则k = (x≠2)，k = (x≠-2)，
PA x-2 PB x+2
3 y y 3 x2 y3
由k ⋅k =- 得 ⋅ =- ，整理得 + =1(x≠±2).
PA PB 4 x-2 x+2 4 4 3
x2 y2
故点P的轨迹方程为 + =1(x≠±2).
4 3
(2)由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中a=2,b= 3,c= 4-3=1，
故点F(-1,0)为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F(1,0).
1 1
∵ + <1，∴点Q在椭圆内，
4 3由椭圆的定义得PQ
37
+PF =PQ +2a-PF ≤QF +2a=1+4=5，
当P，Q，F三点共线(F在线段PQ上)时取等号，所以PQ +PF 的最大值为5.
32.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F2,0 ，直线l:y=kx+mk≠0 与C交于A，B两点，且FA
+FB =8，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Dd 0 ,0 ．
(1)求d 的值；
0
(2)求△ABD面积的最大值．
【答案】32．(1)d =6
0
64 6
(2)
9
4
【分析】(1)联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线定义得到m= -2k，写出直线AB的垂
k
直平分线方程即可求解；
(2)利用弦长公式和点到直线的距离公式求出△ABD的面积的表达式，利用换元法构造函数ft =1+t
-t2-t3(00)的焦点为F2,0 ，则p=4，
可得y2=8x，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，
y=kx+m
联立 ，得k2x2+2km-8
y2=8x
x+m2=0，k≠0，
8-2km m2
所以x +x = ，xx = ，
1 2 k2 1 2 k2
又FA +FB
8-2km 4
=x +x +4= +4=8，可得m= -2k,mk=4-2k2， 1 2 k2 k
由Δ=(2km-8)2-4k2m2=322-km =64k2-1 >0，得k<-1或k>1，
设AB的中点坐标为x 0 ,y 0
x+x
x = 1 2 =2
，则 0 2 ，
y =kx +m=2k+m
0 0
1
所以AB的垂直平分线方程为：y-2k-m=- x-2
k
，4 1
将m= -2k代入整理得y=- x-6 k k
38
，令y=0，即得d =6； 0
(2)由(1)得AB = 1+k2 x 1 +x 2
8-2km
2-4xx = 1+k2⋅ 1 2 k2
2 4m2
- k2
8 k2-1
= 1+k2⋅ ，
k2
又点D6,0 6k+m 到直线AB的距离d=
4k+1
k =
1+k2
，
1+k2
1 则△ABD的面积为S= AB
2
16 k2-1k+1
k ⋅d=
，
k2
256k2-1
S2=
k2+ 1 +2
k2
1 1 1
=2561+ - -
k4 k2 k4 k6
，
1
令 =t00，解得0b>0
a2 b2
经过点A2,1
2
，离心率为 ，过点B3,0
2
的直线l与椭圆交于不
同的两点M、N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若MN
3 2
= ，求直线MN的方程.
2
x2 y2
【答案】33．(1) + =1
6 3
(2)x- 2y-3=0或x+ 2y-3=0
【分析】(1)根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
(2)分析可知，直线MN不与x轴重合，设直线MN的方程为x=my+3，设点Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2 ，将直线
MN的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出m的值，即可得出直线
MN的方程.
4 + 1 =1
a2 b2 a= 6
【详解】(1)由题意可得 c = 2 ，解得b= 3 ，
a 2 c= 3
a2=b2+c2
x2 y2
因此，椭圆的方程为 + =1.
6 3
(2)若直线MN与x轴重合，则MN =2a=2 6，不合乎题意，设直线MN的方程为x=my+3，设点Mx 1 ,y 1
39
、Nx 2 ,y 2 ，
x=my+3
联立 可得m2+2
x2+2y2=6
y2+6my+3=0，
则Δ=36m2-12m2+2 =24m2-1 >0，所以，m2>1，
6m 3
由韦达定理可得y +y =- ，yy = ，
1 2 m2+2 1 2 m2+2
所以，MN = 1+m2⋅ y 1 +y 2
6m
2-4yy = 1+m2 - 1 2 m2+2
2 12
- m2+2
2 6 m4-1 3 2
= = ，解得m=± 2，
m2+2 2
所以，直线MN的方程为x= 2y+3或x=- 2y+3，即x- 2y-3=0或x+ 2y-3=0.
x2 y2
34.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的实轴长为2，离心率为 5.过右焦点F的直线l与双曲线
a2 b2
C的左、右两支分别交于点A,B
(1)求双曲线C的标准方程;
2
(2)设直线OA,OB(O为坐标原点)的倾斜角分别为α,β，且α+β=π+arctan ，求直线l的方程;
5
(3)点M是线段AB的中点，过点F且与直线l垂直的直线m交直线OM于点P，求三角形PAB面积
的最小值.
y2
【答案】34．(1)C:x2- =1
4
2
(2)y= x- 5
3
2
或y= x- 5
7
(3)3 3
【分析】(1)由离心率和实轴长列方程组求得a,c，计算出b2后即得双曲线标准方程；
(2)设直线AB方程为y=k(x- 5)，(-20，f(t)递增， 3)的最小距离恰好在顶点A(3,0)处取到，
由PM = (x 0 -m)2+y2 0 = x 0 -m
x2 4
2+ 3 0 -3= 3 x2 0 -2mx 0 +m2-3x 0 ≥3 ，
若PM 的最小值在x =3时取到， 0
4 3
则二次函数y= x2-2mx +m2-3的对称轴x= m≤3，解得m≤4，
3 0 0 4
⊙M的半径r=m-3≤1.
当m=4时，⊙M的最大半径为1，
此时⊙M的方程为x-4 2+y2=1.
(2)设Px 0 ,y 0 ，则PQ = PM2-QM2= x 0 -3 2+y2-1， 0
x2
因为P(x ,y )以双曲线上，所以y2= 0 -3，
0 0 0 3
所以PQ = x 0 -4
x2 4 2 3
2+ 3 0 -3-1= 3 x2 0 -8x 0 +12= 3 x 0 -3 ，
由题意，PR =y -y R P
3
=± x -y 3 0 0 ，
①点P位于第一象限时，
PR
3
=± x -y 3 0 0
3
= 3 x 0 -y 0 ，PQ
2 3
= 3 x 0 -3 ，
故|PQ|+|PR|= 3x -y -2 3，设直线l: 3x-y-2 3=0，
0 0
故|PQ|+|PR|= 3x -y -2 3可看作是双曲线上的点到直线l距离的2倍.
0 0设平行于l的双曲线的切线为y= 3x+t，
y= 3x+t
联立x2
-
y2
=1
消y得，8x2+6 3tx+3t2+9=0，
9 3
△=108t2-96t2+3
45
=12t2-288=0，解得t=±2 6.
此时距l较近的切线为y= 3x-2 6，故两线距离为 6- 3，
9 2 6
当且仅当x = ,y = 时取到.
0 4 0 4
所以|PQ|+|PR| =2 6-2 3；
min
②当点P位于第四象限时，由对称性可知，|PQ|+|PR|= 3x +y -2 3，
0 0
且|PQ|+|PR|
9 2 6
=2 6-2 3，当且仅当x = ,y =- 时取到. min 0 4 0 4
|PQ|+|PR|的最小值为2 6-2 3.
(3)注意到左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点P(x ,y )绕(0,y )作圆周运动，
0 0 0
轨迹是以(0,y 0 )为圆心，x 0 为半径的圆，
故可在空间直角坐标系中设旋转后的P点坐标为P(x,y,z)，
x=x cosθ
0 x2 y2
则y=y ，因为 0 - 0 =1，
0 9 3
z=±x sinθ
0
x2 y2 z2
所以经过旋转后的点P坐标满足 - + =1，
9 3 9
由题意，N2 3,1,0
，设直线m的方向向量为m=(a,b,c)，
则直线上任意点的坐标E2 3+at,1+bt,ct ,t∈R，
若E总是在左支上，则2 3+at 2-31+bt 2+ct 2=9，
化简得a2+c2-3b2 t2+4 3a-6b t=0(∗)
同理，E2 3-at,1-bt,-ct ,t∈R也在左支上，代入化简得
a2+c2-3b2 t2-4 3a-6b t=0(•)
则由∗•两式分别相加减得，a2+c2-3b2 t2=0与2 3a-3b t=0，
由式子对任意t∈R成立，
则a2+c2-3b2=0，且2 3a-3b=0，
令a= 3，则b=2,c=±3.
故直线m的一个方向向量可以为m= 3,2,3 或 3,2,-3 .
(注意：其它与这两个向量共线的非零向量都可以)
【点睛】关键点点睛：解决此题有两个关键，一是将距离通过代数运算化简，再利用几何意义点线距及相切
最值状态求解；二是挖掘不受θ的影响动点满足的关系.
