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2025
内部
新高考数学
圆锥曲线黄金55题
精研好题，跳出题海
适合110分以上
公众号：邦达数学圆锥曲线黄金55题
【建议110分以上使用】
单选题(共10小题)
x2 y2
1 已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F，F，M，N为双曲线一条渐
a2 b2 1 2
2π
近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MFNF 为矩形，且∠MAN= ，则双曲线C的
1 2 3
离心率为 ( )
21
A. 3 B. 7 C. D. 13
3
解析：如图，因为四边形MFNF 为矩形，所以|MN|=|FF|=2c(矩形的对角线相等)，
1 2 1 2
所以以MN为直径的圆的方程为x2+y2=c2，
b
直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y= x，
a
b
由 y= a x ，解得 x=a ，或 x=-a ，
y=b y=-b
x2+y2=c2
所以N(a，b)，M(-a，-b)或N(-a，-b)，M(a，b)，
不妨设N(a，b)，M(-a，-b)，又A(a，0)
所以|AM|= (a+a)2+b2= 4a2+b2，|AN|= (a-a)2+b2=b，
2π
在△AMN中，∠MAN= ，
3
2π
由余弦定理得|MN|2=|AM|2+|AN|2-2|AM||AN|•cos ，
3
即4c2=4a2+b2+b2+ 4a2+b2×b，则2b= 4a2+b2，
4
所以4b2=4a2+b2，则b2= a2，
3
b2 21
所以e= 1+ = ．故选：C．
a2 3
圆锥曲线黄金55题 12 已知F为抛物线y2=2px的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，以AF、BF为直径
的圆分别与x轴交于异于F的M，N两点，且MF=2FN，则直线l的斜率为 ( )
1 1
A. B. 2 2 C. ± D. ±2 2
3 3
解析：如图所示，
p
设O 为AF的中点，O 为BF的中点，A(x，y)B(x ，y )，F ，0
2 1 1 1 2 2 2
2 公众号：邦达数学
，
p
+x
所以O 2 1 ， y 1
2 2 2
p
x +
，O 2 2 ， y 2
1 2 2
，作OP⊥x轴于P，O Q⊥x轴于Q，
1 2
p
x +
则P
2 2
，0
2
p
+x
，Q
2 1
，0
2
，因为ON=OF，
1 1
所以P为NF的中点，则FN =2FP，同理，MF=2QF，因为MF=2FN，
p
所以2Q
F
=2•2F
P
，即Q
F
=2F
P
，即
p
-
2 +x 1
，0
2 2
p
x +
=2
2 2
-
p
，0
2 2
，
p
+x
p 2 1 p 3p
所以 - =x + -p，整理得x +2x = ，(*)
2 2 2 2 1 2 2
p
设直线l的方程为y=kx-
2
，
p
y=kx-
联立 2
p2k2
，消y整理得k2x2-(pk2+2p)x+ =0，
4
y2=2px
pk2+2p p2
所以x +x = ，xx = ，
1 2 k2 1 2 4
p 2p p 4p p2
结合(*)式可得x = - ，x = + ，代入xx = 中，
2 2 k2 1 2 k2 1 2 4
p 2p
即 -
2 k2
p 4p
+
2 k2
p2 1 2
= ，因为p≠0，所以 -
4 2 k2
1 4
+
2 k2
1
= ，
4
即k2=8，所以k=±2 2，故选：D．3 已知直线l：2kx-2y-kp=0与抛物线C：y2=2px(p>0)相交于A，B两点，点M(-1，-1)
是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是 ( )
A. p=2 B. k=-2
C. △MAB的面积为5 5 D. |AB|=5
p p
解析：由点M(-1，-1)为准线x=- 上的一点，可得- =-1，解得p=2，
2 2
∴抛物线C：y2=4x，
∴直线l：2kx-2y-kp=0化为：y=k(x-1)，直线l经过抛物线C的焦点F(1，0)，
设A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 2 2
x +x +p x +x +p
则以AB为直径的圆的半径R= 1 2 ，因此线段AB的中点到准线的距离= 1 2 ，
2 2
∴以AB为直径的圆与准线相切点M，圆心为G(x ，-1)．
0
由y2=4x，y2=4x ，相减可得：k×(-2)=4，解得k=-2．
1 1 2 2
∴直线l的方程为：y=-2(x-1)，把G(x ，-1)代入可得：-1=-2(x -1)，
0 0
3
×2+2
3 2 5
解得x = ，∴R= = ，|AB|=5，
0 2 2 2
|-2-1-2|
点M到直线l的距离d= = 5，
22+12
1 1 5 5
S = |AB|•d= ×5× 5= ，
△MAB 2 2 2
综上可得：ABD正确，C错误．
故选：C．
圆锥曲线黄金55题 34 已知抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l，圆C经过点F并与抛物线相交于点M，若|MF|=
5
，且圆C与l相切，则这样的圆一共有( )个．
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1
解析：抛物线y2=2x的焦点为F ，0
2
4 公众号：邦达数学
1
，准线为l：x=- ，
2
5 1
因为|MF|= =x + ，x =2，所以点M的坐标为(2，2)或(2，-2)，
2 M 2 M
圆心C在FM的中垂线上，且|CF|等于点C到l的距离，
因此点C只能在抛物线上，问题转换为中垂线与抛物线的交点个数，共有4个．
故选：D．5 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|，
|AB|
，|FB|成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为 ( )
4
A. p B. 2p C. 3p D. 4p
p
解析：设直线l的倾斜角为θ(θ≠0)，因为p+|AF|cosθ=|AF|，所以|AF|= ，
1-cosθ
同理可得|BF|+|BF|cosθ=p，
p
所以|BF|= ，
1+cosθ
p p p2
所以|AF|⋅|BF|= ⋅ = ，
1-cosθ 1+cosθ sin2θ
又|AB|=|AF|+|BF|，
p p 2p
所以|AB|= + = ，
1-cosθ 1+cosθ sin2θ
|AB| |AB|2
因为|AF|， ，|BF|成等比数列，所以得 =|AF|⋅|BF|，
4 16
所以|AB|2=16|AF|•|BF|，
4p2 p2 1
所以 =16 ，即sin2θ= ，
sin2θ sin2θ 4
1 1
所以sinθ= 或sinθ=- (舍)，
2 2
因为线段AB在y轴上的射影长为|AB|sinθ，
2p 2p
即|AB|sinθ= sinθ= =4p，
sin2θ sinθ
故选：D．
圆锥曲线黄金55题 5x2 y2
6 已知F、F 分别是双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 向一条渐近线
1 2 a2 b2 1
作垂线，交双曲线右支于点P，直线FP与y轴交于点Q(P，Q在轴同侧)，连接QF，若△PQF 的
2 1 1
内切圆圆心恰好落在以FF 为直径的圆上，则双曲线的离心率为 ( )
1 2
A. 3 B. 2 C. 5 D. 2
b
解析：设由F 向渐近线y=- x所作垂线的垂足为M，△PQF 的内心为I，
1 a 1
由于|QF|=|QF|，所以内心I在y轴上．
1 2
又内心I在以线段F，F 为直径的圆上，
1 2
所以|OF|=|OF|=c，连接IF．IF，
1 2 1 2
则∠IFO=∠IFO=45°，设∠QFI=∠QFI=α，
1 2 1 2
则∠IFP=∠QFI=α，因此∠PFF =45°-α，
1 1 1 2
而∠PFF =∠QFI+∠IFO=45°+α，
2 1 2 2
因此∠PFF +∠PFF =45°-α+45°+α=90°，故∠FPF =90°．
1 2 2 1 1 2
又FM⊥OM，所以OM∥PF，所以M为PF的中点，易求得|OM|=a，
1 2
于是|PF|=2a．由双曲线定义可得|PF|=2a+2a=4a，
2 1
在Rt△PFF 中，由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2，
1 2
于是c2=5a2，故得双曲线的离心率e= 5．
故选：C．
6 公众号：邦达数学x2 y2
7 已知椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=9上
9 8
有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，k ，k 分别为直线BP，QF的斜
1 2
k
率则 1 的取值范围是 ( )
k
2
9
A. -∞，
8
圆锥曲线黄金55题 7
B. (-∞，-1)∪(-1，0)
3
C. -∞，
4
3
D. (-∞，0)∪0，
4
x2 y2
解析：椭圆C： + =1的焦点在x轴上，a=3，b=2 2，c=1，右焦点F(1，0)，
9 8
由P在圆x2+y2=9上，则PA⊥PB，
1
-
1 k k 1
则k •k =-1，则k =- ， 1 = AP =- ，
AP 1 1 k k k k k
AP 2 2 AP 2
2 2sinθ 2 2sinθ
设Q(3cosθ，2 2sinθ)，则k •k = •
AP 2 3cosθ+3 3cosθ-1
8sin2θ 8-8cos2θ
= =
9cos2θ+6cosθ-3 9cos2θ+6cosθ-3
设t=cosθ，t∈(-1，1)，
8-8t2
则k •k = ，
AP 2 9t2+6t-3
k 9t2+6t-3 9 3
∴ 1 = = + ，
k 8t2-8 8 4(t-1)
2
∵t∈(-1，1)，
∴t-1∈(-2，0)，
1 1
∈-∞，-
t-1 2
，
k 3
∴ 1 ∈-∞，
k 4
2
，且不等于0．
故选：D．1 1
8 关于曲线M：x2 +y2 =1，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是
2 1
；②曲线M与坐标轴围成的图形的面积不大于 ，则下列说法正确的是 ( )
2 2
A. ①、②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①、②都错误
解析：对于①设曲线上的点为(x，y)，
1 1
由x2 +y2 =1，可知x≥0，y≥0，x•y≠0，平方可得，x+y+2 xy=1．
1
∵x+y≥2 xy，∴x+y≥ ．
2
2 2 1
又∵ x2+y2≥ (x+y)≥ ，当且仅当x=y= 时等号成立，故错误；
2 4 4
1 1 1 1
对于②，由x2 +y2 =1知，x，y∈[0，1]，y2 =1-x2，两边平方可得y=1+x-2 x．
∵x≤ x，∴y=1+x-2 x≤1-x，即曲线C在直线y=1-x的下方，因此所围图形的面积不
1
大于 ，故正确．
2
故选：C．
8 公众号：邦达数学x2 y2
9 已知圆C ：x2+y2=b2和椭圆C ： + =1(a>b>0)．直线y=kx与圆C 交于A、A
1 2 a2 b2 1 1
|OB|
两点，与椭圆C 交于B、B 两点．若k∈R时， 的取值范围是(1，2]，则椭圆C 的离心率
2 1 |OA| 2
为 ( )
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 4
解析：因为直线直线y=kx过原点，且与圆C 交于A、A 两点，
1 1
故|OA|=b，
y=kx
联立 x2 y2 ，消去y得(a2k2+b2)x2-a2b2=0，
+ =1
a2 b2
-a2b2
则x +x =0，x x = ，
B B1 B B1 a2k2+b2
a2b2
所以x2= ，
B a2k2+b2
x2
所以|OB|= x2+y2 = x2+b21- B
B B B a2
圆锥曲线黄金55题 9
c2 c2b2 c2
= x2+b2= +b2=b +1=
a2 B a2k2+b2 a2k2+b2
c2+b2+a2k2 a2(k2+1) k2+1
b =b =ab ，
a2k2+b2 a2k2+b2 a2k2+b2
|OB| k2+1
故 =a ，
|OA| a2k2+b2
令t=k2+1，(t≥1)，
|OB| t 1
则 =a =a ，
|OA| a2t-c2 c2
a2-
t
c2
t≥1时，a2- ∈[b2，a2)，
t
|OB| a
则 ∈1，
|OA| b
=(1，2]，
a
所以 =2，即a=2b，所以c= 3b，
b
c 3
所以离心率e= = ，
a 2
故选：C．x2 y2
10 设椭圆C： + =1(a>b>0)的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，
a2 b2
a 2
设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当 3-
b 3mn
10 公众号：邦达数学
2
+ +3(ln|m|+ln|n|)取得最小值
mn
时，椭圆C的离心率为 ( )
1 2 4 3
A. B. C. D.
5 2 5 2
b2(a2-x2)
解析：A(-a，0)，B(a，0)，设P(x ，y )，则y2= 0 ，
0 0 0 a2
y y
则m= 0 ，n= 0 ，
x +a x -a
0 0
y2 b2
∴mn= 0 =- ，
x2-a2 a2
0
a 2
∴ 3-
b 3mn
2
+ +3(ln|m|+ln|n|)
mn
a 2
= 3-
b 3b2
-
a2
2 b 2 a
+ +6ln =
b2 a 3 b
-
a2
3 a
-2
b
2 a
+3
b
b
+6ln ，
a
a 2
令 =t>1，则f(t)= t3-2t2+3t-6lnt．
b 3
2t3-4t2+3t-6 (t-2)(2t2+3)
f′(t)= = ，
t t
∴当t=2时，函数f(t)取得最小值f(2)．
a
∴ =2．
b
b
∴e= 1-
a
2 3
= ，
2
故选：D．多选题(共15小题)
11 已知抛物线C：y2=2px，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，连
接AK、BK，设AB的中点为P，过P作AB的垂线交x轴于Q，下列结论正确的是 ( )
A. |AF|•|BK|=|AK|•|BF| B. tan∠AKF=cos∠PQF
p2
C. △AKB的面积最小值为 D. |AB|=2|FQ|
2
解析：设直线AB的倾斜角为α，即∠AFx=α，设A(x，y)，B(x ，y )，P(x ，y )，
1 1 2 2 0 0
p
p x=my+
对于A选项：设直线AB为x=my+ ，联立直线AB与抛物线方程 2 ，
2
y2=2px
p
化简整理可得，y2-2pmy-p2=0，由韦达定理可得，y +y =2pm，yy =-p2，∵K- ，0
1 2 1 2 2
圆锥曲线黄金55题 11
，
y y y y 2myy +p(y +y )
∴ k + k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 1 2 =
AK BK p p my +p my +p (my +p)(my +p)
x + x + 1 2 1 2
1 2 2 2
-2mp2+2p2m
=0，∴x轴为∠AKB的角平分线，
(my +p)(my +p)
1 2
|AF| |AK|
∴根据角平分线的性质可得， = ，即|AF|•|BK|=|AK|•|BF|，故A正确，
|BF| |BK|
对于B选项：过A作AD⊥x轴，垂足为D，
y π
则tan∠AKF= 1 ，cos∠PQF=cos -α
p 2
x +
1 2
y y
=sinα= 1 = 1 ，
|AF| p
x +
1 2
所以tan∠AKF=cos∠PQF，故B正确；
1 p p
对于C选项：S =S +S = |KF||y -y |= |y -y |≥ ⋅2p=p2，
△AKB △AKF △BKF 2 1 2 2 1 2 2
当|y -y |=|AB|=2p，即AB⊥x时，取等号，故△AKB的面积最小值p2，故C错误；
1 2
y2=2px
1 1
对于D选项：
y2=2px
，两式相减(y
1
+y
2
)(y
1
-y
2
)=2p(x
1
-x
2
)，
2 2
y -y 2p p y
tan= 1 2 = = ，所以PQ方程为y-y =- 0 (x-x )，
x -x y +y y 0 p 0
1 2 1 2 0
y p p
令y=0，-y =- 0 (x-x )，则x=p+x ，所以Q(p+x ，0)，所以|FQ|=p+x - = +x ，
0 p 0 0 0 0 2 2 0
所以|AB|=x +x +p=2x +p=2|FQ|，故D正确；故选：ABD．
1 2 012 设F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A(x ，y )B(x ，
1 1 2
y )两点，过B作与x轴平行的直线，和过点F且与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点
2
M，则 ( )
A. xx +yy 为定值
1 2 1 2
B. 当直线l的斜率为1时，△OAB的面积为 2P(其中O为坐标原点)
C. 若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列
p
D. 点M到直线FN的距离为
2
p
解析：A．F ，0
2
12 公众号：邦达数学
y2=2px
p
，设直线l的方程为ty=x- ，联立 p ，化为y2-2pty-p2=0，
2 ty=x-
2
p2
∴yy =-p2，y +y =2pt，∵4p2xx =(yy )2=p4，∴xx = ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4
3
∴xx +yy =- p2为定值，因此A正确．
1 2 1 2 4
p
B．当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x- ，
2
p2
代入椭圆方程可得：x2-3px+ =0，∴x +x =3p，∴|AB|=x +x +p=4p，
4 1 2 1 2
p
2 2p
点O到直线l的距离d= = ，
2 4
1 2p 2
∴△OAB的面积为 ×4p× = p2，因此B不正确．
2 4 2
p
C．设 Q- ，m
2
m m y -m
，则 k = =- ，k = 1
QF p p p QA p
- - x --
2 2 1 2
2py -2pm
= 1 ，k =
y2+p2 QB
1
2py -2pm 2m 2py -2pm 2py -2pm
2 ，∴2k -k -k =- - 1 - 2 ，
y2+p2 QF QA QB p y2+p2 y2+p2
2 1 2
通分后分子=-2[m(y2+p2)(y2+p2)+p(py -pm)(y2+p2)+p(py -pm)(y2+p2)]
1 2 1 2 2 1
=-2[mp4+mp2(y2+y2)+mp4+p2(yy2+y p2-my2-mp2)+p2(y2y +y p2-my2-mp2)]
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
=0，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列，因此C正确．
|AM| y |AN| y -y
D．如图所示，过点M作MH⊥FN，垂足为H，∵ = 1 ，∴ = 1 2 ，
|MN| -y |MN| -y
2 2
p
y x +
|AN| |AF| |AF| y -y 2 1 2
又 = ，∴ = 1 2 ，∴|MH|=
|MN| |MH| |MH| -y
2
y2 p
y 1 +
2 2p 2
=
y -y
2 1
py -p2y
2 + 1
2 2p
=
y -y y -y
2 1 2 1
p
= ，因此D正确．
2
故选：ACD．x2 y2
13 已知曲线C： - =1(m≠0) ( )
4 m
A. 若曲线C表示椭圆，则m<0且m≠-4
B. 若m=5时，以P(1，1)为中点的弦AB所在的直线方程为5x-4y-1=0
C. 当m<-4时，F，F 为曲线C的焦点，P为曲线C上一点，且PF ⊥PF，则△PFF 的面积等
1 2 1 2 1 2
于4
1 1 4
D. 若m>0时，直线l过曲线C的焦点F且与曲线相交于A，B两点，则 + =
|AF| |BF| m
解析：对于A，若曲线C表示椭圆，则m<0且m≠-4，故A正确；
x2 y2
对于B，若m=5时，联立直线5x-4y-1=0与椭圆 - =1方程可得4y2-8y+99=0，可
4 5
得Δ<0，可得直线AB与椭圆无交点，故错；
对于C，当m<-4时，曲线C表示焦点在y上的椭圆，
当PF ⊥PF 时∠FPF =90°，则△PFF 的面积等于S=b2tan45°=4，故正确；
1 2 1 2 1 2
对于D，若m>0时，直线l过曲线C的焦点F且与曲线相交于A，B两点，只有AB为焦点弦时
1 1 4
+ = ，故错．
|AF| |BF| m
故选：AC．
圆锥曲线黄金55题 13x2 y2
14 已知曲线C： + =1，F，F 分别为C的左、右焦点，点P在C上，且△PFF 是直角
m m-6 1 2 1 2
三角形，下列判断正确的是 ( )
A. 曲线C的焦距为2 6
B. 若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是m>6且m≠12
C. 若满足条件的点P有且只有6个，则m=12
D. 若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是0m-6>0，所以C的焦点在x轴上，且m>6，
所以c2=m-(m-6)=6，即c= 6，所以焦距为2 6；
当C表示双曲线时，因为m(m-6)<0，即0c，即 m-6> 6，所以m的取值范围是m>12，故B错误；
C．若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以FF 为直径的圆O与C有2个公
1 2
共点，所以b=c，即 m-6= 6，所以m的取值范围是m=12，故C正确；
D．若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以FF 为直径的圆O与C有4
1 2
个公共点，所以bb>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2+y2=a2+
a2 b2
b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家G•Monge(1746-1818)最先发现．若椭圆
x2 y2
C： + =1，则下列说法正确的有 ( )
16 9
A. 椭圆C外切矩形面积的最小值为48
B. 椭圆C外切矩形面积的最大值为48
C. 点P(x，y)为蒙日圆Γ上任意一点，点M(-10，0)，N(0，10)，当∠PMN取最大值时，
tan∠PMN=2+ 3
D. 若椭圆C的左、右焦点分别为F，F，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于点
1 2
M，N，则PF•PF =PM•PN
1 2
解析：对于A．B．由题意可得：椭圆C外切矩形面积∈[4ab，2(a2+b2)]，即为[48，50]．因此A
正确，B不正确．
对于 C．当点 P 在第三象限，且 PM 与圆 Γ：x2+ y2= 25 相切时，∠PMN 取最大值，此时
r 5 3
tan∠OMP= = = ，锐角∠OMP=30°，∴∠PMN=45°+30°=75°，
102-r2 100-25 3
3
1+
tan45°+tan30° 3
∴tan∠PMN=tan(45°+30°)= = =2+ 3，因此C正确．
1-tan45°tan30° 3
1-
3
对于D．设|PF|=m，|PF|=n，设∠POF =α，则∠POF =π-α．在△POF 与△POF 中，分别
1 2 1 2 1 2
利用余弦定理可得：m2=c2+|OP|2-2c|OP|cosα，n2=c2+|OP|2-2c|OP|cos(π-α)，
相加可得：m2+n2=2c2+2|OP|2，又m+n=2a，∴m2+n2+2mn=4a2，可得|PF|•|PF|=mn
1 2
=2a2-c2-|OP|2=a2+b2-|OP|2，又|PM|•|PN|=(|OM|-|OP|)(|OM|+|OP|)=|OM|2-|OP|2
=a2+b2-|OP|2，
∴|PF|•|PF|=|PM|•|PN|．因此D正确．
1 2
故选：ACD．
圆锥曲线黄金55题 153
16 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点M- ，0
2
16 公众号：邦达数学
，过点F作不
垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点．设P为x轴上一动点，Q为AB的中点，且AB⊥PQ，
则 ( )
27
A. 抛物线C的方程为y2=3x B. |AB|+3|BF|的最小值为
2
C. |AB|>2|PF| D. |BF|(|MA|+|MB|)=2|MB||PF|
3
解析：由抛物线C的准线与x轴交于点M- ，0
2
p 3
，得- =- ，所以p=3，所以抛物线C的方
2 2
程为y2=6x，A错误；
3
设直线l的方程为x=my+ ，A(x，y)，B(x ，y )，
2 1 1 2 2
3
x=my+ ，
由 2 ，整理得y2-6my-9=0，则y
1
+y
2
=6m，y
1
y
2
=-9，
y2=6x
3 3
由抛物线的定义，知|AF|=x + =my +3，|BF|=x + =my +3，
1 2 1 2 2 2
1 1 1 1 my +3+my +3 m(y +y )+6
所以 + = + = 1 2 = 1 2 =
|AF| |BF| my +3 my +3 (my +3)(my +3) m2yy +3m(y +y )+9
1 2 1 2 1 2 1 2
6m2+6 2
= ，
-9m2+18m2+9 3
3 1 1
所以|AB|+3|BF|=|AF|+4|BF|= +
2 |AF| |BF|
3 4|BF| |AF|
(|AF|+4|BF|)= 5+ +
2 |AF| |BF|
3 4|BF| |AF|
≥ 5+2 ⋅
2 |AF| |BF|
27
= ，
2
当且仅当|AF|=2|BF|时取得等号，B正确；
3
由上可知，F ，0
2
，设点Q的坐标为(x ，y )，则2x =x +x ，2y =y +y ．
0 0 0 1 2 0 1 2
由 y y 2 1 2 2 = = 6 6 x x 1 2 ， ， 得y2 1 -y2 2 =6(x 1 -x 2 )，所以 x y 1 1 - - y x 2 2 = y 1 + 6 y 2 = y 3 0 ，则直线l的斜率为 y 3 0 ，
y y
因为AB⊥PQ，所以直线PQ的斜率为- 0 ，则直线PQ的方程为y-y =- 0 (x-x )．
3 0 3 0
3 3
令y=0，则x=x +3，所以点P的坐标为(x +3，0)，则|PF|=x +3- =x + ．
0 0 0 2 0 2
由抛物线的定义可知，|AB|=|AF|+|BF|=x +x +3=2x +3，所以|AB|=2|PF|，C错误；
1 2 0
y y
因为k +k = 1 + 2
AM BM 3 3
x + x +
1 2 2 2
y y y(my +3)+y (my +3) 2myy +3(y +y )
= 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 =
my +3 my +3 (my +3)(my +3) m2yy +3m(y +y )+9
1 2 1 2 1 2 1 2
2m×(-9)+3×6m
=0，
m2yy +3m(y +y )+9
1 2 1 2
所以直线AM与直线BM关于x轴对称，即MF平分∠AMB，
|AM| |AF| |AM|+|BM| |AF|+|BF| |AB| 2|PF|
所以 = ，则 = = = ，
|BM| |BF| |BM| |BF| |BF| |BF|
整理得|BF|(|MA|+|MB|)=2|MB||PF|，D正确．
故选：BD．17 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，坐标原点为O，直线l与抛物线C交于A，
B两点(与O均不重合)，以线段AB为直径的圆过原点O，则△AOB与△AOF的面积之和能为
( )
A. 17 B. 8 5 C. 18 D. 9 3
解析：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，
p
所以 =1，所以p=2，
2
所以抛物线C的方程为y2=4x，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为x=my+t，
y2=4x
联立 可得y2-4my-4t=0，
x=my+t
由已知方程y2-4my-4t=0的判别式Δ=16m2+16t>0，
设A(x，y)，B(x ，y )，则y +y =4m，yy =-4t，
1 1 2 2 1 2 1 2
因为以线段AB为直径的圆过原点O，所以OA⋅OB=0，
所以xx +yy =0，所以t2-4t=0，
1 2 1 2
所以t=4或t=0，
所以t=4，所以y +y =4m，yy =-16，
1 2 1 2
设直线与x轴的交点为D，则D(4，0)，
1 1
△AOB的面积S =S +S = ×4×|y|+ ×4×|y |=2|y -y |，
△AOB △AOD △BOD 2 1 2 2 1 2
所以△AOB的面积S =2 (y +y )2-4yy =8 m2+4，
△AOB 1 2 1 2
1
△AOF的面积S = ×1×|y|．
△AOF 2 1
当y =2m+2 m2+4，则△AOB与△AOF的面积之和S=9 m2+4+m，
1
9m 5
又S′= +1，由S'=0可得m=- ，
m2+4 10
5 5
当m<- 时，S'<0，函数S=9 m2+4+m在-∞，-
10 10
圆锥曲线黄金55题 17
上单调递减，
5 5
当m>- 时，S'>0，函数S=9 m2+4+m在- ，+∞
10 10
上单调递增，
5
所以S≥8 5，当且仅当m=- 时等号成立；
10
当y =2m-2 m2+4，则△AOB与△AOF的面积之和S=9 m2+4-m，
1
9m 5
又S′= -1，由S′=0可得m= ，
m2+4 10
5 5
当m< 时，S'<0，函数S=9 m2+4-m在-∞，
10 10
上单调递减，
5 5
当m> 时，S'>0，函数S=9 m2+4-m在 ，+∞
10 10
上单调递增，
5
所以S≥8 5，当且仅当m= 时等号成立；
10
又8 5= 320> 289=17，8 5= 320> 243=9 3，8 5= 320< 324=18，
所以△AOB与△AOF的面积之和可能为18或8 5，
故选：BC．18 过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的
射影分别为A，B，O为坐标原点，则 ( )
1 1
A. 以AB为直径的圆与准线l相切
B. △OAF可能为正三角形
1 1 2
C. + =
|AF| |BF| p
D. 记△AAF，△AFB，△FBB的面积分别为S，S ，S ，则S2=4SS
1 1 1 1 1 2 3 2 1 3
解析：对于A，如图，假设点A位于第四象限，根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=|AA |
1
+|BB|，
1
设AB中点为G，点G在准线l上的射影为G，
1
|AA|+|BB| |AB|
所以|GG|= 1 1 = ，
1 2 2
所以以AB为直径的圆与准线相切，故A正确；
对于B，设AA 与y轴交于点M，若△OAF为正三角形，
1
p
则|AM|=|MA|，即x = ，
1 A 2
p
此时A ，-p
2
18 公众号：邦达数学
p
，|OA|=
2
2 5
+(-p)2= p≠|AA|=p，
2 1
所以此时△OAF不是正三角形，故B错误；
p
p x=my+
对于C，设直线AB：x=my+ ，联立 2 ，得y2-2pmx-p2=0，
2
y2=2px
则y +y =2pm，y y =-p2，
A B A B
pm p2 p2
x +x =m(y +y )+p=2pm2+p，x x =m2y y + (y +y )+ = ，
A B A B A B A B 2 A B 4 4
1 1 |AF|+|BF| x +x +p
所以 + = = A B
|AF| |BF| |AF||BF| p
x +
A 2
p
x +
B 2
x +x +p
= A B
p p2
x x + (x +x )+
A B 2 A B 4
2pm2+p+p 2(pm2+p) 2
= = = ，故C正确；
p2 p2 p2 p(pm2+p) p
+p2m2+ +
4 2 4
1 p
对于D，S =- x +
1 2 A 2
1 1 p
y ，S = ⋅p⋅(y -y )，S = x +
A 2 2 B A 3 2 B 2
y ，
B
4SS =-(my +p)(my +p)y y =-[m2y y +mp(y +y )+p2]y y =p2(m2p2+p2)，
1 3 A B A B A B A B A B
1 1
S2= p2(y -y )2= p2[(y +y )2-4y y ]=p2(m2p2+p2)，所以S2=4SS ，故D正确．
2 4 B A 4 B A A B 2 1 3
故选：ACD．y2
19 如图，过双曲线C：x2- =1(b>0)右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于
b2
A、B两点，交x轴于点D，F，F 分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的
1 2
是 ( )
A. |AB| =2b
min
B. S =S
△OAP △OBP
C. S =2b
△AOB
1
D. 若存在点P，使cos∠FPF = ，且FD=2DF，则双曲线C的离心率e=2
1 2 4 1 2
解析：对于A，不妨设P在第一象限，且P(x ，y )．
0 0
y2 b2x
由x2- =1，得y= b2x2-b2，∴y′= ，
b2 b2x2-b2
b2x b2x
则在点P(x ，y )的切线斜率为k= 0 = 0 ，
0 0 b2x2 0 -b2 y 0
b2x
∴在点P(x ，y )的切线方程为：y-y = 0 (x-x )，
0 0 0 y 0
0
y2 y y
又∵x2- 0 =1，∴在点P(x ，y )的切线方程为：x x- 0 =1，
0 b2 0 0 0 b2
不失一般性，设点P(x ，y )是双曲线在第一象限的一点，A(x ，y )是切线与渐近线在第一象限的
0 0 1 1
交点，B(x ，y )是切线与渐近线在第四象限的交点，
2 2
双曲线的渐近线方程为y=±bx，
y y
联立 x 0 x- b 0 2 =1 ，解得点A b ， b2
bx -y bx -y
y=bx 0 0 0 0
圆锥曲线黄金55题 19
，
b -b2
同理可得：B ，
bx +y bx +y
0 0 0 0
，
b b
则|AB|= -
bx -y bx +y
0 0 0 0
2 b2 b2
+ +
bx -y bx +y
0 0 0 0
2
=2 (b2+1)x2-1，
0
又∵x ≥1，∴|AB|≥2 (b2+1)-1=2b，即|AB| =2b，故A正确；
0 min
b b b2 -b2
+ +
bx -y bx +y bx -y bx +y
对于B，由A知， 0 0 0 0 =x ， 0 0 0 0 =y ，
2 0 2 0
∴点P(x ，y )是A、B的中点，∴S =S ，故B正确；
0 0 △OAP △OBP
b2x
对于C，∵在点P(x ，y )的切线方程为：y-y = 0 (x-x )，
0 0 0 y 0
0
1 1
令y=0，得x= ，∴点D ，0
x x
0 0
，1 1 1 b2 b2
则S =S +S = ×|OD|×|y -y |= × × +
△AOB △AOD △BOD 2 1 2 2 x bx -y bx +y
0 0 0 0 0
20 公众号：邦达数学
=b，
当点P(x ，y )在顶点(1，0)时，仍然满足S =b，故C错误；
0 0 △AOB
1
对于D，∵F(-c，0)，F(c，0)，D ，0
1 2 x
0
，
1
∴FD= +c，0
1 x
0
1
，DF =c- ，0
2 x
0
，
1 1
又∵FD=2DF，∴ +c=2c-
1 2 x x
0 0
3 3
，解得c= ，即x = ，
x 0 c
0
y2 9b2
代入x2- 0 =1，得y2= -b2，
0 b2 0 c2
3
∴|PF|2=(x +c)2+y2= +c
1 0 0 c
2 9b2 9 9b2
+ -b2= +c2+6+ -b2
c2 c2 c2
9 9(c2-1) 3
= +c2+6+ -(c2-1)=16，|PF|2=(x -c)2+y2= -c
c2 c2 2 0 0 c
2 9b2 9
+ -b2= +c2
c2 c2
9b2
-6+ -b2
c2
9 9(c2-1)
= +c2-6+ -(c2-1)=4，
c2 c2
|PF|2+|PF|2-|FF|2 16+4-4c2 5-c2 1
∴cos∠FPF = 1 2 1 2 = = = ，
1 2 2×|PF|×|PF| 2×4×2 4 4
1 2
解得：c2=4，∴c=2，
c
则离心率为e= =2，故D正确．
a
故选：ABD．x2 y2
20 已知椭圆E： + =1，过椭圆E的左焦点F 的直线l 交E于A，B两点(点A在x轴的
4 3 1 1
上方)，过椭圆E的右焦点F 的直线l 交E于C，D两点，则 ( )
2 2
6
A. 若AF =2FB，则l 的斜率k=
1 1 1 2
27
B. |AF|+4|BF|的最小值为
1 1 4
C. 以AF 为直径的圆与圆x2+y2=4相切
1
288
D. 若l ⊥l ，则四边形ADBC面积的最小值为
1 2 49
解析：易知：F(-1，0)，F(1，0)，
1 2
对于A，若AF =2FB，显然直线l 的斜率存在且大于0，
1 1 1
设直线l：y=k(x+1)(k>0)，A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 1 2 2
y=k(x+1)
联立椭圆方程 x2 y2 ，化简整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，
+ =1
4 3
-8k2 4k2-12
显然Δ>0，x +x = ，xx = ，
1 2 4k2+3 1 2 4k2+3
又AF =(-1-x，-y)，FB=(x +1，y )，
1 1 1 1 2 2
故-1-x =2(x +1)，整理得x +2x =-3，
1 2 1 2
x +x =
-8k2
1 2 4k2+3
5
由 x +2x =-3 ，解得k2= ，
1 2 4
4k2-12
xx =
1 2 4k2+3
5
又k>0，故k= ，A错误；
2
对于B，易知直线l 的斜率不为0，
1
设直线l：x=my-1，A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 1 2 2
x=my-1
联立椭圆方程 x2 y2 ，化简整理得(3m2+4)y2-6my-9=0，
+ =1
4 3
6m -9
显然Δ>0，y +y = ，yy = ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
由点A在x轴的上方，显然y >0，y <0，
1 2
又|AF|= (x +1)2+y2= 1+m2⋅y，|BF|= (x +1)2+y2=- 1+m2⋅y ，
1 1 1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 y -y - [(y +y)2-4y ⋅y ]
+ = - = 2 1 = 2 1 1 2 =
|AF| |BF| 1+m2⋅y 1+m2⋅y 1+m2⋅y ⋅y 1+m2⋅y ⋅y
1 1 1 2 1 2 1 2
圆锥曲线黄金55题 2112(1+m2)
3m2+4 4
= ，
9(1+m2) 3
3m2+4
3 1 1
| AF | + 4 | BF | = +
1 1 4 |AF| |BF|
1 1
22 公众号：邦达数学
3 4|BF| |AF|
( | AF | + 4 | BF | ) = 5+ 1 + 1
1 1 4 |AF| |BF|
1 1
≥
3 4|BF| |AF|
5+2 1 ⋅ 1
4 |AF| |BF|
1 1
27
= ，
4
4|BF| |AF|
故当且仅当 1 = 1 ，即|AF|=2|BF|时取等，B正确；
AF| |BF| 1 1
1 1
对于C，设A(x，y)，AF 的中点为P，
1 1 1
x -1 y
则P 1 ， 1
2 2
，
(x -1)2 y2 |AF|
又|OP|= 1 + 1 = 2 ，
4 4 2
|AF| |AF| |AF|
由椭圆定义知： 2 + 1 =2，即|OP|=2- 1 ，
2 2 2
又x2+y2=4的圆心为O(0，0)，半径为2，
故以AF 为直径的圆与圆x2+y2=4内切，C正确；
1
对于D，当直线l 的斜率存在时，
1
由 上 知 ：| AB | = (x -x )2+(y -y )2 = 1+k2 ⋅ (x +x )2-4xx = 1+k2 ⋅
1 2 1 2 1 2 1 2
-8k2
4k2+3
2 4k2-12 12(k2+1)
-4⋅ = ，
4k2+3 4k2+3
1 12 - k
同理|CD|=
2 +1
1
4-
k
12(1+k2)
= ，
2 4+3k2
+3
1 1 12(k2+1) 12(1+k2) 72(1+k2)2
故四边形ADBC面积为S= |AB|⋅|CD|= ⋅ ⋅ = ，
2 2 4k2+3 4+3k2 (4k2+3)(4+3k2)
72t2 72 72
令t=k2+1(t>1)，则S= = =
(4t-1)(1+3t) 1 1 1 1
- + +12 - -
t2 t t 2
，
2 49
+
4
1 1 1
又0< <1，故12<- -
t t 2
2 49 49
+ ≤ ，
4 4
288
故 ≤S<6；
49
又当直线l 的斜率不存在时，直线l 的斜率为0，
1 2
1
易得|AB|=4，|CD|=3，此时S= ×4×3=6，
2
288
故S∈ ，6
49
，D正确；
故选：BCD．21 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与圆E：x2+y2-2x=0的圆心重合，直线l与C交
于A(x ，y )、B(x ，y )两点，且满足OA⋅OB=0(其中O为坐标原点且A，B均不与O重合)，则
1 1 2 2
( )
A. xx =16，yy =-16 B. 直线l恒过定点(4，0)
1 2 1 2
C. A，B中点轨迹方程：y2=2x-4 D. △AOB面积的最小值为16
解析：圆E：x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1，
所以E(1，0)，半径r=1．
所以抛物线C的焦点为E(1，0)，
所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的方程为x=ty+n，
联立直线l与抛物线C的方程可得：
y2-4ty-4n=0，
所以Δ=16t2+16n>0，即t2+n>0，
所以y +y =4t，yy =-4n，
1 2 1 2
y2y2
所以OA⋅OB=xx +yy = 1 2 +yy =n2-4n=0，
1 2 1 2 16 1 2
解得n=4或n=0(舍，否则直线l过原点)，
y2y2
所以yy =-16，xx = 1 2 =16，故A正确；
1 2 1 2 16
直线l的方程为x=ty+4，恒过定点(4，0)，故B正确；
设AB的中点为M(x，y)，
y +y
则y= 1 2 =2t，x=ty+4=2t2+4，
2
消去参数t得：y2=2x-8，故C错误；
因为|AB|= 1+t2|y -y |= 1+t2 (y +y )2-4yy = (1+t2)(16t2+64)=4 (1+t2)(t2+4)，
1 2 1 2 1 2
|0-0-4| 4
原点O到直线AB的距离为d= = ，
1+t2 1+t2
1
所以S = ×|AB|×d=8 t2+4，
△OAB 2
所以当t=0时，S =16为最小值，故D正确．
△OAB
故选：ABD．
圆锥曲线黄金55题 23x2 y2
22 已知双曲线Γ： - =1(a>0，b>0)，左焦点为F，左右顶点分别为A 、A ，B(0，b)，P
a2 b2 1 2
是Γ右支上一动点，且|PF|+|PB|的最小值为( 3+2)a，P关于x轴的对称点为Q，则下列结论
正确的是 ( )
A. Γ的离心率为2 B. PA ⊥AQ
2 1
C. sin∠QPA =sin∠QA A D. 4|PB|≥ 6|PQ|
1 2 1
解析：由题意，F(-c，0)，B(0，b)，设右焦点为F(c，0)，
1
由双曲线定义知，|PF|-|PF|=2a，则|PF|=2a+|PF|，
1 1
∵|BP|+|PF|≥|AF|，∴|BP|+|PF|=|BP|+|PF|+2a≥|BF|+2a= b2+c2+2a，
1 1 1 1
∴ b2+c2+2a=( 3+2)a，
即b2+c2=3a2，∴c2-a2+c2=3a2，
c
∴c2=2a2，即e= = 2(e>1)，故A不正确．
a
设P(x，y)，Q(-x，-y)，A(-a，0)，A (a，0)，
1 2
y -y -y y y2
∴k = ，k = ，∴k •k = × =- ，
PA2 x-a A1Q x+a A1Q PA2 x+a x-a x2-a2
由A可得双曲线方程为x2-y2=a2，∴k •k =-1，∴PA ⊥AQ，故B正确；
A1Q PA2 2 1
|AN| a+x a+x a+x
记PQ交x轴于点N，sin∠QPA = 1 = = = ，
1 |PA| (a+x)2+y2 2x2+2ax 2x
1
|y| (x-a)(x+a) a+x
sin∠QA A =sin∠QA N= = = ，
2 1 2 (x-a)2+y2 2x(x-a) 2x
∴sin∠QPA =sin∠QA A，故C正确；
1 2 1
假设4|PB|≥ 6|PQ|成立，则4 x2+(y-b)2≥ 6×2|y|，
两边平方得，16[x2+(y-b)2]≥24y2，
∴2x2+2y2-4by+2b2≥3y2，∴y2-4by+2a2+2b2≥0，
∴(y-2b)2≥0，当y=2b时取等号，故D正确；
故选：BCD．
24 公众号：邦达数学x2 y2
23 已知椭圆C： + =1的左右焦点为F，F，若P为椭圆C上一动点，记△PFF 的内心
4 3 1 2 1 2
为I，外心为M，重心为G，且△PFF 内切圆I的半径为r，△PFF 外接圆M的半径为R，则
1 2 1 2
( )
π
A. ∠FPF 的最大值为 B. r的最大值为 3
1 2 3
R
C. PI⋅PG为定值 D. 的最小值为2
r
解析：对于A：在椭圆C中，a=2，b= 3，则c= a2-b2=1，
即点F(-1，0)、F(1，0)，由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=4，|FF|=2c=2，
1 2 1 2 1 2
(|PF|+|PF|)2
由基本不等式可得|PF|•|PF|≤ 1 2 =4，当且仅当|PF|=|PF|=2时，等号成立，
1 2 4 1 2
|PF|2+|PF|2-|FF|2 (|PF|+|PF|)2-2|PF|⋅|PF|-22 6
所以cos∠FPF = 1 2 1 2 = 1 2 1 2 = -1
1 2 2|PF|⋅|PF| 2|PF|⋅|PF| |PF|⋅|PF|
1 2 1 2 1 2
1 π π
≥ ，又0<∠FPF <π，所以0<∠FPF ≤ ，即∠FPF 的最大值为 ，故A正确；
2 1 2 1 2 3 1 2 3
1
对于B：∵S = r(|PF|+|PF|+|FF|)=(a+c)•r=3r，当点A为椭圆C的短轴的顶点时，
△PF1F2 2 1 2 1 2
S 取最大值
1
×2c×b=bc= 3，∴r=
S △PF1F2
≤
3
，即r的最大值为
3
，故B错误；
△PF1F2 2 3 3 3
对于C：如图，设△PFF 的内切圆与三边分别相切与A，B，C，如图，
1 2
设△PFF 的内切圆与三边分别相切与A，B，C，又G，I分别为△PFF 的重心和内心．
1 2 1 2
|PF|+|PF|-|FF|
则|PB|=|PC|，|FA|=|FC|，|FA|=|FB|，所以|PB|=PC = 1 2 1 2 =a-c，
1 1 2 2 1 2
2 1 1 1 1
所以 PI ⋅ PG = PO•PI = (PF + PF )•PI = PF•PI + PF •PI = |PF|•|PC|
3 3 1 2 3 1 3 2 3 1
1 1 1 4
+ |PF|•|PB|= (PF +PF)•|PB|= (a-c)×2a= ，即PI⋅PG为定值，故C正确；
3 2 3 1 2 3 3
1 1
对于D：S =3r= (|PF|•|PF|sin∠FPF)，所以r= (|PF|•|PF|sin∠FPF)，
△PF1F2 2 1 2 1 2 6 1 2 1 2
|FF| 1
又 1 2 =2R，所以R= ，
sin∠FPF sin∠FPF
1 2 1 2
1
R sin∠FPF 6
则 = 1 2 =
r 1 |PF|⋅|PF|sin∠FPF
|PF|⋅|PF|sin∠FPF 1 2 1 2
6 1 2 1 2
6
=
6 |PF|⋅|PF| 1- -1
1 2 |PF|⋅|PF| 1 2
圆锥曲线黄金55题 25
2
1 R
= ≥2，所以 的最小值为2，故D正确．
6 r 2-
|PF|⋅|PF| 1 2
故选：ACD．x2 y2 15 1
24 已知F，F 是双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点，A ，
1 2 a2 b2 2 2
26 公众号：邦达数学
是C上一
2 3
点，若C的离心率为 ，连结AF 交C于点B，则 ( )
3 2
x2
A. C的方程为 -y2=1 B. ∠FAF =90°
3 1 2
C. △FAF 的周长为2 5+2 D. △ABF 的内切圆半径为 5- 3
1 2 1
15 1
解析 A ，
2 2
2 3
是C上一点，C的离心率为 ，
3
15 1
4 4
- =1 a= 3
a2 b2
则 ，解得 b=1 ，
c 2 3
=
a 3 c=2
c2=a2+b2
x2
∴双曲线 -y2=1，故A正确；
3
15 1
∵F(-2，0)，F(2，0)，A ，
1 2 2 2
，
15 1
∴FA= +2，
1 2 2
15 1
，FA= -2，
2 2 2
15 1
，FA⋅FA= -4+ =0，
1 2 4 4
∴FA⊥FA，故B正确；
1 2
15
| AF | = +2
1 2
2 1
+ -0
2
2
= 8+2 15 = ( 5+ 3)2 = 5 + 3 ，| AF | =
2
15
-2
2
2 1
+ -0
2
2
= 8-2 15 = 5- 3，|FF|=2c=4，周长=2 5+4，故C错误；
1 2
令|BF|=m，
2
则|BF|=2 3+m，|AB|=|AF|+|BF|= 5- 3+m，
1 2 2
在Rt△ABF 中，|BF|2=|AF|2+|AB|2，
1 1 1
3 3+ 5
∴m= ，
11
设△ABF 的周长为l，内切圆半径为r，
1
则l=|AF|+|AB|+|BF|，
1 1
1 1
S = |AF|⋅|AB|= lr，
△ABF1 2 1 2
2S ( 5+ 3)( 5- 3+m)
∴r= △ABF1 = = 5- 3，故D正确；
|AF|+|AB|+|BF| 5+ 3+ 5- 3+m+2 3+m
1 1
故选：ABD．25 抛物线C：y2=6x，AB是C的焦点弦 ( )
A. 点P在C的准线上，则PA⋅PB的最小值为0
B. 以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C. 若AB的斜率k= 3，则△ABO的面积S=12
9
D. 存在一个半径为 的定圆与以AB为直径的圆都内切
4
3
解析：抛物线C：y2=6x的焦点F ，0
2
圆锥曲线黄金55题 27
3
，准线x=- ，
2
根据抛物线的性质可知：以AB为直径的圆与准线相切，
若点P不是以AB为直径的圆与准线的切点，则∠PAB为锐角，所以PA⋅PB>0；
若点P是以AB为直径的圆与准线的切点，则PA⊥PB，所以PA⋅PB=0；
综上所述：PA⋅PB的最小值为0，故A正确；
3
设直线AB：x=my+ ，A(x，y)，B(x ，y )，
2 1 1 2 2
3
x=my+
联立方程 2 ，消去y得y2-6my-9=0，
y2=6x
则Δ=36m2+36>0，y +y =6m，yy =-9，
1 2 1 2
3
可得|AB|=x +x +3=my +
1 2 1 2
3
+my +
2 2
+3=m(y +y )+6=6(m2+1)，
1 2
当m=0时，|AB|取到最小值6，
6
此时以AB为直径的圆的面积最小，最小值为π×
2
2
=9π，故B正确；
3
由选项B可知：以AB为直径的圆的圆心为M3m2+ ，3m
2
，半径R=3m2+3，
9
设圆N的圆心为N(x ，y )，半径r= ，
0 0 4
3
若圆M与圆N内切，则|MN|=R-r，即 x -3m2-
0 2
2 3
+(y -3m)2=3m2+ ，
0 4
27
整理得6x -
0 2
9 3
m2+6y m+ -x -
0 16 0 2
2
-y2=0，
0
27
6x - =0 0 2
因为对任意的m恒成立，则 6y =0
0
9 3 -x -
16 0 2
9
x =
，解得 0 4 ，
y =0 2 -y2=0 0
09
即圆心为N ，0
4
28 公众号：邦达数学
9
，半径r= 的圆恒与以AB为直径的圆都内切，故D正确．
4
3
若AB的斜率k= 3，则m= ，
3
3 3 3 3
直线AB：x= y+ ，即x- y- =0，
3 2 3 2
3 由选项B可得：|AB|=6
3
2 +1
=8，
3
2
点O(0，0)到直线直线AB的距离d=
3
1+-
3
3 3
= ，
2 4
1 3 3
所以△ABO的面积S= ×8× =3 3，故C错误．
2 4
故选：ABD．填空题(共10小题)
x2 y2
26 已知椭圆C： + =1(a>b>0)，O(0，0)，P(3，1)斜率为-1的直线与C相交于A，B
a2 b2
两点，若直线OP平分线段AB，则C的离心率等于 ．
解析：设A，B两点的坐标分别为A(x，y)，B(x ，y )，A，B两点中点为M(x ，y )，
1 1 2 2 0 0
x +x y +y
∴x = 1 2 ，y = 1 2 ，
0 2 0 2
1
∵P(3，1)，∴直线OP方程为y= x，
3
1
∵M(x ，y )在直线OP上，∴y = x ，
0 0 0 3 0
x2 y2 x2 y2
将A，B两点代入椭圆方程得， 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，
a2 b2 a2 b2
x2-x2 y2-y2 (x -x )(x +x ) (y -y )(y +y )
相减得 1 2 + 1 2 =0，∴ 1 2 1 2 =- 1 2 1 2 ，
a2 b2 a2 b2
3
∴化解为3b2=a2，由a2=b2+c2得，a2= c2，
2
c 6
∴e= = ．
a 3
6
故答案为： ．
3
圆锥曲线黄金55题 29x2 y2
27 设F，F 是椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦点，过点F 且斜率为 3的直线交椭
1 2 a2 b2 1
圆于点P，若∠PFF =2∠PFF，则椭圆E的离心率为 ．
1 2 2 1
解析：因过点F 斜率为 3的直线交椭圆于点P，则有∠PFF =60°，
1 1 2
因为∠PFF =2∠PFF，则∠PFF =30°，
1 2 2 1 2 1
在△PFF 中，可得∠FPF =90°，令椭圆半焦距为c，
1 2 1 2
在Rt△PFF 中可得：|PF|=|FF|cos60°=c，|PF|=|FF|sin60°= 3c，
1 2 1 1 2 2 1 2
由椭圆定义得：2a=|PF|+|PF|=( 3+1)c，
1 2
c 2
可得e= = = 3-1，
a 3+1
所以椭圆E的离心率是e= 3-1．
故答案为： 3-1．
30 公众号：邦达数学28 已知动抛物线y=x2+ax+b(其中a∈R，b≤0)与动直线y=t(t≥1)交于A、B两点且与
动直线y=t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，
1
则 S2+16AD2的最小值为 ．
4
解析：可设A(x，y)，B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，且x 0恒成立，
1 1
x +x =-a，xx =b-t，则|AB|=|x -x |= (x +x )2-4xx = a2-4(b-t)，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
由y=t=1与y=x2+ax+b联立，可得x2+ax+b-t-1=0，
则△ =a2-4(b-t-1)，由于b≤0，t≥1，可得△ >0恒成立，
2 2
即有x +x =-a，x x =b-t-1，则|CD|=|x -x |= (x +x )2-4x x = a2-4(b-t-1)，
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
1 1
可得S= (|AB|+|CD|)×1= ( a2-4(b-t)+ a2-4(b-t-1))，
2 2
-a- a2-4(b-t) -a- a2-4(b-t-1)
又 AD2 = 1 + (x - x )2 = 1 + -
1 4 2 2
圆锥曲线黄金55题 31
2 1
= 1 + (
4
( a2-4(b-t)- a2-4(b-t-1))2，
4
设u= a2-4(b-t)，v= a2-4(b-t-1)，则v2-u2=4，即v-u= ，
u+v
1 1 1 64
则 S2 + 16AD2 = (u + v)2 + 16 + 4(u - v)2 = (u + v)2 + + 16 ≥
4 16 16 (u+v)2
(u+v)2
64
2 ⋅ +16=4+16=20．
16 (u+v)2
1 64
当且仅当 (u+v)2= 即u+v=4 2时，上式取得等号．
16 (u+v)2
1
则 S2+16AD2的最小值为20．
4
故答案为：20．x2 y2
29 椭圆E： + =1，其左焦点是F，过F的直线与椭圆交于A，B两点(不同于长轴的端
4 3
点)，已知点P(-4，0)，则：
①直线PA与直线PB的斜率的和为0；
|PA|
②△PAF与△PBF的面积之比为 ；
|PB|
1
③点A到直线x=-4的距离等于 |AF|；
2
9
④S ≤ ．
△ABP 2
以上说法中正确的是 ．(写出所有正确命题的序号)
解析：由题意知，F(-1，0)，设直线AB的方程为x=my-1，A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 2 2
x=my-1
联立 x2 y2 ，得(3m2+4)y2-6my-9=0，
+ =1
4 3
6m -9
∴y +y = ，y•y = ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
y y y(x +4)+y (x +4) y(my +3)+y (my +3)
①k +k = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 1
PA PB x +4 x +4 (x +4)(x +4) (x +4)(x +4)
1 2 1 2 1 2
-9 6m
2m⋅ +3⋅
2myy +3(y +y ) 3m2+4 3m2+4
= 1 2 1 2 = =0，即①正确；
(x +4)(x +4) (x +4)(x +4)
1 2 1 2
②∵k +k =0，
PA PB
∴直线PA和直线PB的倾斜角互补，即∠BPF=∠APF，
1 1
∴S = |PA|•|PF|•sin∠APF，S = |PB|•|PF|•sin∠BPF，
△PAF 2 △PBF 2
S |PA|
∴ △PAF = ，即②正确；
S |PB|
△PBF
a2
③椭圆的左准线方程为x=- =-4，
c
设点A到直线x=-4的距离为d，
|AF| c 1
由椭圆的第二定义知， =e= = ，∴d=2|AF|，即③错误；
d a 2
1 1 3 6m
④S = |PF|•|y -y |= •3• (y +y )2-4yy = •
△ABP 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3m2+4
32 公众号：邦达数学
2 -9
-4⋅
3m2+4
3 m2+1 m2+1 1 1
= •12• =18• =18• ≤18•
2 (3m2+4)2 [3(m2+1)+1]2
9(m2+1)+6+
1 9+6+1
m2+1
9
= ，当且仅当m=0时，等号成立，即④正确，
2
故答案为：①②④．30 已知P为抛物线y2=4x上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线l：12x-5y+13=
0的距离之和的最小值为 ．
解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线为l'，x=-1，
抛物线y2=4x上的点P到y轴的距离等于它到准线l'的距离d减去1的差，
由抛物线的定义可知，d=|PF|，令点P到直线l：12x-5y+13=0的距离为d'，
则点P到y轴的距离与点P到直线l：12-5y+13=0的距离之和为d-1+d'=|PF|+d'-1，
过P作PM⊥l于M，连接PF，MF，过点F作FQ⊥l于点Q，交抛物线y2=4x于点P'，如图所
示，
显然|PM|=d'，
当点P与点P'不重合时，
有|PF|+d'-1=|PF|+|PM|-1>|MF|-1>|FQ|-1=|P'F|+|P'Q|-1，
则点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线l：12x-5y
|12×1-5×0+13| 12
+13=0的距离之和取得最小值，最小值为|FQ|-1= -1= ．
122+(-5)2 13
12
故答案为： ．
13
圆锥曲线黄金55题 3331 某同学在篮球场打球时，无意间发现当球放在地面上时，球的斜上方的一颗灯泡照过来的光
线使得球在地面上留下了影子，这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但自己还是不太确定这
个想法，于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考，当他读到教材中的
阅读材料后瞬间明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和球的接触点(切
点)就是椭圆影子的焦点，如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上
方有一个灯泡(当成质点)，灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，
椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率 ．
解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ|=a+c，|QR|=a-c，
由题意可得P(0，3)，R(-1，0)，则PR：3x-y+3=0，k =3，
PR
|3n-1+3| - 10-2
设M(n，1)，Q(n，0)，则M到PR的距离d= =1，解得n= ．
10 3
- 10-2 10-1
则|QR|= -1= =a-c，
3 3
|nk-1+3|
又设PN、PR：kx-y+3=0，由d= =1，得(n2-1)k2+4nk+3=0．
k2+1
3 1 -3
∴k ⋅k = ，则k = ，得x = =3-3n2，
PR PN n2-1 PN n2-1 N k
PN
∴a+c=|NQ|=3n2+n-3= 10+1，
a+c= 10+1
2 10+1 10+2
联立 a-c= 10-1 ，解得a= 3 ，c= 3 ．
3
c 6+ 10
∴椭圆的离心率e= = ．
a 13
6+ 10
故答案为： ．
13
34 公众号：邦达数学x2
32 已知椭圆 +y2=1的左右焦点分别为F，F，过F 的直线AB与椭圆交于AB两点，则
2 1 2 2
△FAB的周长是 ，△FAB内切圆面积的最大值是 ．
1 1
x2
解析：由椭圆 +y2=1，得a= 2，b=1，则c= 2-1=1．
2
利用椭圆定义可得△FAB的周长是4a=4 2；
1
1
在△FAB中，设△FAB内切圆的半径为r，则△FAB的面积S= ×4 2r=2 2r，
1 1 1 2
设AB：x=my+1，A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 2 2
联立直线方程与椭圆方程，可得(m2+2)y2+2my-1=0，
2m 1
∴y +y =- ，yy =- ．
1 2 m2+2 1 2 m2+2
1 2m
于是S= |FF|⋅|y -y |=
2 1 2 1 2 m2+2
圆锥曲线黄金55题 35
2 4 2 2 m2+1 2 2
+ = = ≤ 2．
m2+2 m2+2 1
m2+1+
m2+1
当且仅当m=0时上式等号成立．
1
∴2 2r≤ 2，即r≤ ．
2
π
∴△FAB内切圆面积的最大值是πr2= ．
1 4
π
故答案为：4 2； ．
433 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：x=5，点A，B分别是抛物线C、直线l上的动点，
若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|=|AB|，则满足条件的所有|AB|的值为
．
解析：设A(x，y)，易知抛物线C：x2=4y焦点为F(0，1)，B为直线l：x=5上的动点，
设B(5，a)，
∴|AF|= x2+(y-1)2，|PQ|= (x-5)2+(y-a)2，
∵|AF|=|AB|，∴(y-1)2+x2=(y-a)2+(x-5)2，
∴y2-2y+1+x2=y2-2ay+a2+x2-10x+25，
x2
∴-2y+1=-2ay+a2-10x+25，a2-2ay+2y-10x+24=0，x2=4y，即y= 代入，
4
x2 x2
可得a2-2a× +2× -10y+24=0，
4 4
a 1
∴a2- x2+ x2-10x+24=0⇒2a2-ax2+x2-20x+48=0，
2 2
∴(1-a)x2-20x+2a2+48=0，
5
①当a=1时，可得-20x+50=0，解得x= ，
2
x2 1 25 25
由x2=4y，得y= = × = ，
4 4 4 16
此时方程只有一个解，满足题意，
25
∴|AB|= (x-5)2+(y-a)2= -1
16
36 公众号：邦达数学
2 5
+ -5
2
2 41
= ，
16
②当a≠1时，Δ=0，Δ=(-20)2-4(1-a)(2a2+48)=400-4(1-a)(2a2+48)=0，
解得a=-1，代入(1-a)x2-20x+2a2+48=0，可得2x2-20x+50=0，
25 25
求得x=5⇒y= ，可得|AB|= (y-a)2+(x-5)2= +1
4 4
2 29
+(5-5)2= ，
4
29 41
综上所述，|AB|的值为 或 ．
4 16
29 41
故答案为： 或 ．
4 16x2
34 已知过椭圆E： +y2=1的左焦点F的直线l交E于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值
2
为 ．
x2
解析：如图，由椭圆E： +y2=1，得a= 2，b=1，则c=1．
2
所以左焦点F的坐标为(-1，0)，
设直线l的方程为x=my-1，A(x，y)，B(x ，y )，
1 1 2 2
x=my-1
由 x2 得(m2+2)y2-2my-1=0，
+y2=1
2
Δ=(-2m)2+4(m2+2)=8(m2+1)，
2m -1
由根与系数的关系得y +y = ，yy = ，
1 2 m2+2 1 2 m2+2
1 1 1 1 |y|+|y | |y -y |
+ = + = 1 2 = 1 2 =
|AF| |BF| 1+m2|y| 1+m2|y | 1+m2|yy | 1+m2|yy |
1 2 1 2 1 2
2m
(y +y )2-4yy m2+2
1 2 1 2 =
1+m2|yy |
1 2
圆锥曲线黄金55题 37
2 4 8(1+m2)
+
m2+2 m2+2
= 2 2，
1+m2 1+m2
m2+2 m2+2
1 1
所以 2 2(|AF| +2|BF|) = +
|AF| |BF|
2|BF| |AF|
(|AF| +2|BF|) = 3 + + ≥ 3 +
|AF| |BF|
2|BF| |AF|
2 ⋅ =3+2 2，
|AF| |BF|
当且仅当|AF|= 2|BF|时等号成立，
3+2 2 3 2
所以|AF|+2|BF|≥ =1+ ，
2 2 4
3 2
所以|AF|+2|BF|的最小值为1+ ．
4
3 2
故答案为：1+ ．
4n
35 已知一族双曲线E ：x2-y2= (n∈N*，且n≤2020)，设直线x=2与E 在第一象限内
n 2020 n
的交点为A ，点A 在E ，的两条渐近线上的射影分别为B ，∁ ，记△A B ∁ 的面积为a ，则a +
n n n n n n n n n 1
a +a +⋯⋯+a = ． ．
2 3 2020
n
解析：双曲线E ：x2-y2= (n∈N*，且n≤2020)的两条渐近线为y=x，y=-x，互相垂直，
n 2020
n
直线x=2与E 在第一象限内的交点为A ，A 2， 4-
n n n 2020
38 公众号：邦达数学
，
n
2- 4-
2020
点A 在E 的两条渐近线上的射影分别为 B ，∁ ，则|A B |= ，|A C |=
n n n n n n 2 n n
n
2+ 4-
2020
，
2
n
1 2020 n
∴a = |A B ||A C |= = ，
n 2 n n n n 4 8080
1+2020
×2020
1 2 2020 2 2021
∴a +a +a +⋯⋯+a = + +⋯⋯+ = = ．
1 2 3 2020 8080 8080 8080 8080 8
2021
故答案为： ．
8解答题(共20小题)
x2 y2
36 已知双曲线 - =1(a>b>0)左、右焦点为F，F，其中焦距为2 7，双曲线经过点D
a2 b2 1 2
(4，3)．
(1)求双曲线的方程；
(2)过右焦点F 作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线OP，
2
其中OP⊥MN，垂足为E，P为射线OP与双曲线右支的交点，求4|MN|-|OP|2的最大值．
16 9
解析：(1)由题意得 - =1，c= 7，a2+b2=7，解得a=2，b= 3，
a2 b2
x2 y2
双曲线的方程为： - =1．
4 3
(2)当直线MN斜率不存在时，|MN|=3，|OP|=2，则4|MN|-|OP|2=8，
当直线MN斜率存在时，假设直线方程为y=k(x- 7)，
联立双曲线方程得(3-4k2)x2+8 7k2x-28k2-12=0，
-8 7k2 -28k2-12
则x +x = ，x ⋅x = ，Δ>0，
1 2 3-4k2 1 2 3-4k2
3
∵直线与双曲线交于右支，∴k2> ，
4
12(1+k2)
则|MN|= 1+k2|x -x |= 1+k2⋅ (x +x )2-4xx = ，
1 2 1 2 1 2 4k2-3
1
设射线OP方程为：y=- x，与双曲线的方程联立，
k
12k2 3 12(k2+1)
∴x2= ，k2> ，|OP|2= ，
3k2-4 4 3k2-4
1 1 1
∴ - = ，
|MN| |OP|2 12
1 1
∴4|MN|-|OP|2=12 -
|MN| |OP|2
圆锥曲线黄金55题 39
|OP|2 4|MN|
(4|MN|-|OP|2)=12 5- +
|MN| |OP|2
|OP|2 4|MN|
≤125-2 ⋅
|MN| |OP|2
=12，
当且仅当|OP|2=4|MN|=36时等号成立，最大值为12．
综上，4|MN|-|OP|2的最大值为12．x2 y2 3
37 已知A，B分别是椭圆C： + =1(a>b>0)的左，右顶点，P1，
a2 b2 2
40 公众号：邦达数学
为椭圆C上的
1
点，直线PA，PB的斜率之积为- ．
4
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，且直线AM与BN相交于点D，若点D在直线x=4上，证明：
直线l过定点．
解析：(1)由题可知A(-a，0)，B(a，0)，
3 3 3
2 2 4 1
所以k ⋅k = ⋅ = =- ，解得a=2．
PA PB 1-a 1+a 1-a2 4
3
因为P1，
2
为椭圆C上的点，
1 3
所以 + =1，解得b2=1，
4 4b2
x2
所以椭圆C的方程为 +y2=1．
4
(2)证明：设D(4，y )，由(1)有A(-2，0)，B(2，0)，点D在直线AM上，
0
y y
则k = 0 ，则直线AM的方程为y= 0 (x+2)．
AM 4+2 6
x
4
2 +y2=1
联立直线与椭圆方程得 ，消去y整理得(y2+9)x2+4y2x+4y2-36=0，
y 0 0 0
y= 0 (x+2)
6
-2y2+18
解得x=-2或x= 0 ．
y2+9
0
-2y2+18 y 6y
将x= 0 代入y= 0 (x+2)，可得y= 0 ，
y2+9 6 y2+9
0 0
-2y2+18 6y
所以点M的坐标为 0 ， 0
y2+9 y2+9
0 0
．
2y2-2 -2y
同理可得点N的坐标为 0 ， 0
y2+1 y2+1
0 0
．
当y2=3时，直线l的方程为x=1，直线l过定点(1，0)．
0
6y -2y
0 - 0
-2y y2+9 y2+1 2y2-2
当y2≠3时，所以直线l的方程为y- 0 = 0 0 x- 0
0 y2+1 -2y2+18 2y2-2 y2+1
0 0 - 0 0
y2+9 y2+1
0 0
，
2y 8y (y2+3) 2y2-2
整理可得y+ 0 = 0 0 x- 0
y2+1 4(9-y4) y2+1
0 0 0
2y 2y2-2
= 0 x- 0
3-y2 y2+1
0 0
．
2y 3-y2 2y2-2 3-y2+2y2-2 y2+1
令y=0，则x= 0 ⋅ 0 + 0 = 0 0 = 0 =1，
y2+1 2y y2+1 y2+1 y2+1
0 0 0 0 0
所以直线l过定点(1，0)．
综上，直线l过定点(1，0)．x2 y2 3
38 已知椭圆 + =1(a>b>0)的焦距为2 3，离心率为 ，椭圆的左右焦点分别为F、
a2 b2 2 1
F，直角坐标原点记为O．设点P(0，t)，过点P作倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于不同的两点
2
B、C．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点T，求PT⋅(TF -TF)的取值范围；
1 2
(3)设线段BC的中点为M，当t≥ 2时，判别椭圆上是否存在点Q，使得非零向量OM 与向量
PQ平行，请说明理由．
x2 y2 3
解析：(1)∵椭圆 + =1(a>b>0)的焦距为2 3，离心率为 ，
a2 b2 2
c 3 x2
∴c= 3，e= = ，可得a=2，∴b= a2-c2=1，∴椭圆的标准方程为 +y2=1；
a 2 4
(2)设动点T(x，y)，FF =(2 3，0)，PT=(x，y-t)，PT⋅(TF -TF)=-PT⋅FF =-2 3x，
1 2 1 2 1 2
∵x∈[-2，2]，∴PT⋅(TF -TF)的取值范围为[-4 3，4 3]；
1 2
(3)显然直线的斜率存在，故可设直线l：y=kx+t，
y=kx+t
联立 x2 ，消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0，
+y2=1
4
t2-1
Δ=-16t2+64k2+16>0，即k2> ①，设B(x，y)、C(x ，y )，
4 1 1 2 2
8kt 4t2-4
由根与系数的关系可得x +x =- ，xx = ，
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
x +x 4kt y +y k(x +x )+2t 4k2t t
则 1 2 =- ， 1 2 = 1 2 =- +t= ，
2 1+4k2 2 2 1+4k2 1+4k2
4kt t
则x =- ，
M 1+4k2 1+4k2
圆锥曲线黄金55题 41
1
，故k =- ，
OM 4k
1 1
若OM ∥PQ，则有k =k =- ，设直线PQ为y=- x+t，
PQ OM 4k 4k
1
y=-
4k
x+t
1
联立 ，消去y有1+
x2 4k2
+y2=1
4
2t
x2- x+4t2-4=0，
k
4t2 1
要使得存在点Q，则Δ = -41+
2 k2 4k2
(4t2-4)≥0，
4 1 t2-1 1
整理得16+ -16t2≥0，故k2≤ ②，由①②式得， b>0)的焦距为2 6，且过点A(2，1)．
a2 b2
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和
为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
解析：(Ⅰ) 因为椭圆C的焦距为2 6，且过点A(2，1)，
4 1
所以 + =1，2c=2 6．⋯(2分)
a2 b2
因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，⋯(3分)
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1．⋯(4分)
8 2
证明：(Ⅱ)设点P(x，y)，Q(x ，y )，则y =kx +m，y =kx +m，
1 1 2 2 1 1 2 2
y=kx+m
由 x2 y2 ，消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0，(*)．⋯(5分)
+ =1
8 2
8km 4m2-8
则x +x =- ，xx = ，⋯(6分)
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
y -1 y -1
因为k +k =0，即 1 =- 2 ，⋯(7分)
PA QA x -2 x -1
1 2
化简得xy +x y -(x +x )-2(y +y )+4=0．
1 2 2 1 1 2 1 2
即2kxx +(m-1-2k)(x +x )-4m+4=0．(**) ⋯(8分)
1 2 1 2
2k(4m2-8) 8km(m-1-2k)
代入得 - -4m+4=0，⋯(9分)
4k2+1 4k2+1
整理得(2k-1)(m+2k-1)=0，
1
所以k= 或m=1-2k．⋯(10分)
2
若m=1-2k，可得方程(*)的一个根为2，不合题意．⋯(11分)
1
所以直线PQ的斜率为定值，该值为 ．⋯(12分)
2
42x2 y2
40 已知双曲线Γ： - =1，A(2，2)是双曲线Γ上一点．
3 12
(1)若椭圆C以双曲线Γ的顶点为焦点，长轴长为4 3，求椭圆C的标准方程；
(2)设P是第一象限中双曲线Γ渐近线上一点，Q是双曲线Γ上一点，且PA=AQ，求△POQ的面
积S(O为坐标原点)；
(3)当直线l：y=-4x+m(常数m∈R)与双曲线Γ的左支交于M、N两点时，分别记直线AM、
AN的斜率为k、k ，求证：k +k 为定值．
1 2 1 2
x2 y2
解析：(1)因为双曲线的方程为 - =1，所以双曲线的左右顶点为(± 3，0)，
3 12
x2 y2
设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，所以2a=4 3，c= 3，
a2 b2
a2=12 x2 y2
所以 ，所以椭圆C的标准方程为 + =1
b2=a2-c2=9 12 9
(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x，
不妨设P(t，2t)(t>0)，
x -2=2-t
Q
又PA=AQ，所以 ，
y -2=2-2t
Q
所以Q(4-t，4-2t)，又因为Q是双曲线上一点，
(4-t)2 (4-2t)2
9
所以 - =1，解得t= ，
3 12 4
9 9
所以P ，
4 2
圆锥曲线黄金55题 43
7 1
，Q ，-
4 2
，
9
所以|OP|= -0
4
2 9
+ -0
2
2 9 5
= ，
4
7 1
2× --
4 2
又Q到直线OP：2x-y=0的距离d=
4 5
= ，
1+4 5
1 1 4 5 9 5 9
所以S= ×d×|OP|= × × = ；
2 2 5 4 2
(3)设M(x，y)，N(x ，y )，
1 1 2 2
y=-4x+m
联立直线与双曲线方程得 x2 y2 ，消去y得12x2-8mx+m2+12=0，
- =1
3 12
Δ=64m2-48(m2+12)>0，即m2-36>0，
8m 2m m2+12
所以x +x = = ，xx = ，
1 2 12 3 1 2 12
2m
又因为M，N为左支上两点，所以x +x = <0，所以m<-6，
1 2 3
y -2 y -2 -4x +m-2 -4x +m-2
所k +k = 1 + 2 = 1 + 2
1 2 x -2 x -2 x -2 x -2
1 2 1 2
-4x +8+m-10 -4x +8+m-10
= 1 + 2 ，
x -2 x -2
1 2
m-10 m-10 x +x -4
所以k +k =-8+ + =-8+(m-10)× 1 2 ，
1 2 x -2 x -2 xx -2(x +x )+4
1 2 1 2 1 2
2m 2
-4 (m-6)
3 3
所以k +k =-8+(m-10)× =-8+(m-10)× ，
1 2 m2+12 2m (m-6)(m-10)
-2× +4
12 3 12
所以k +k =-8+8=0，所以k +k 为定值0．
1 2 1 24 12
41 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C，其离心率e= ，点P3，
5 5
在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左顶点A作两条直线，分别与椭圆C交于M、N两点，满足AM⊥AN，求点Q(4，0)
到直线MN距离d的最大值．
x2 y2
解析：(1)由题意设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)，
a2 b2
c 4 9 144
则 = ，a2=b2+c2， + =1，
a 5 a2 25b2
联立解得a2=25，b2=9，
x2 y2
∴椭圆的标准方程为 + =1．
25 9
(2)A(-5，0)，设M(x，y)，N(x ，y )，
1 1 2 2
不妨设直线MN的方程为my=x-t，-50，化为t2<25(m2+1)．
18mt 9t2-225
∴y +y =- ，yy = ．
1 2 9m2+25 1 2 9m2+25
∵AM⊥AN，
∴AM•AN =(x +5，y)•(x +5，y )=0，
1 1 2 2
化为(my +t+5)•(my +t+5)+yy =0，
1 2 1 2
化为(mt+5m)(y +y )+(m2+1)yy +(t+5)2=0，
1 2 1 2
18mt
代入可得(mt+5m)-
9m2+25
9t2-225
+ (m2+1)+(t+5)2=0，
9m2+25
化为：17t2+125t+200=0，
40
解得t=-5或t=- ，
17
t=-5舍去，
40
t=- 满足Δ>0．
17
|4-t| 108 108
点Q(4，0)到直线MN距离d= = ≤ ，m=0时取等号．
m2+1 17 m2+1 17
108
即点Q(4，0)到直线MN距离d的最大值为 ．
17
4442 已知A(0，2)，B(0，-2)，P为平面上的一个动点．设直线AP，BP的斜率分别为k ，k ，且
1 2
1
满足k ⋅k =- ．记动点P的轨迹为曲线C．
1 2 3
(1)求曲线C的方程；
3 1
(2)过点M ，-
2 2
圆锥曲线黄金55题 45
的动直线l与曲线C交于E，F两点．曲线C上是否存在定点N，使得NE
1 1
⊥NF恒成立(直线l不经过点N)？若存在，求出点N的坐标，并求 + 的最小值；若不存
|NE|2 |NF|2
在，请说明理由．
解析：(1)设点P(x，y)，则x≠0，
1 y-2 y+2 1
因为k ⋅k =- ，所以 ⋅ =- ，
1 2 3 x x 3
x2 y2
整理，得 + =1，
12 4
x2 y2
所以曲线C的方程为 + =1(x≠0)．
12 4
3
(2)当直线l的斜率不存在时方程为x= ，
2
3 y2 13
代入曲线C的方程中，得 + =1，解得y=± ，
16 4 2
3 13
所以此时E ，
2 2
3 13
，F ，-
2 2
，
x2 y2
设N(x ，y )，则 0 + 0 =1①，
0 0 12 4
3 13
NE= -x ， -y
2 0 2 0
3 13
，NF= -x ，- -y
2 0 2 0
，
3
因为NE⊥NF，所以NE⋅NF= -x
2 0
2 13
+y2- =0②，
0 4
3
联立①②，解得x =3或 (舍去)，y =±1，所以N(3，1)或(3，-1)，
0 2 0
当N(3，1)时，且当直线l的斜率存在时，
设直线l方程为y=kx+b，E(x，y)，F(x ，y )，
1 1 2 2
3 1
因为直线l经过 ，-
2 2
3 1
时，所以 k+b=- ，
2 2
y=kx+b
联立 x2 y2 ，得(1+3k2)x2+6kbx+3b2-12=0，
+ =1
12 4
-6kb 3b2-12
所以x +x = ，xx = ，
1 2 1+3k2 1 2 1+3k2
所以NE=(x -3，y -1)，NF=(x -3，y -1)，
1 1 2 2
所以NE⋅NF=(x -3)(x -3)+(kx +b-1)(kx +b-1)
1 2 1 2
=(1+k2)xx +(kb-k-3)(x +x )+b2-2b+10
1 2 1 2
(1+k2)(3b2-12)+(kb-k-3)(-6kb)+(b2-2b+10)(1+3k2)
=
1+3k2
4b2-2+18k2+18kb-2b
=
1+3k2
1 3
4- - k
2 2
=
2 1 3
-2+18k2+18k- - k
2 2
1 3
-2- - k
2 2
1+3k2
9k2+6k+1-2+18k2-9k-27k2+1+3k
= =0，
1+3k2
所以NE⋅NF=0，即NE⊥NF，
-6k
当N(3，-1)时，同理可得NE⋅NF= ，所以此时NE⊥NF不恒成立，
1+3k2
1
1+
2
所以存在定点N(3，1)使NE⊥NF，k≠ =1，
3
3-
2
设点N到直线l的距离为d，因为三角形NEF为直角三角形，
所以|NE|2+|NF|2=|EF|2，|NE|•|NF|=|EF|•d，
1 1 |NE|2+|NF|2 |EF|2 1
所以 + = = = ，
|NE|2 |NF|2 |NE|2⋅|NF|2 (|EF|⋅d)2 d2
3 1 4
当直线l斜率不存在时，d= ， = ，
2 d2 9
1 3
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y+ =kx-
2 2
46
，
3 3
k-
2 2 1 4 1+k2 4 2k
则d= ， = ⋅ = 1+
1+k2 d2 9 k2-2k+1 9 k2-2k+1
，
1 4
当k=0时， = ；
d2 9
1 4 2k
当k>0时， = 1+
d2 9 (k-1)2
4
> ；
9
1 4 2
当k<0时， = 1+
d2 9 1 k-2+ k
4 2
= 1+
9 1 --k- k
-2
2
≥ ，
9
当且仅当k=-1时等号成立，
1 1 2
综上，存在定点N(3，1)使NE⊥NF， + 的最小值为 ．
|NE|2 |NF|2 9x2 y2
43 已知点(2，3)在双曲线C： - =1上．
a2 a2+2
(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB
的面积S是定值；
1
(2)已知点P ，1
2
圆锥曲线黄金55题 47
，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于
|PM| |MH|
点M、N的点H，满足 = ，证明：点H恒在一条定直线上．
|PN| |HN|
x2 y2
解析：(1)证明：因为点(2，3)在双曲线C： - =1上，
a2 a2+2
4 9 y2
所以 - =1，解得a2=1，则双曲线方程为x2- =1，
a2 a2+2 3
当切线方程的斜率存在时，不妨设过点(x ，y )的切线方程为y-y =k(x-x )，
0 0 0 0
y-y =k(x-x )
0 0 1 k2
联 立 x2 y2 ，消 去 y 并 整 理 得 -
- =1 a2 b2
a2 b2
2k2x 2k2y
x 2 + 0 - 0
b2 b2
x +
2kx y -k2x2-y2-b2 2k2x 2k2y
0 0 0 0 =0，因为Δ= 0 - 0
b2 b2 b2
2 1 k2
-4 -
a2 b2
2kx y -k2x2-y2-b2
⋅ 0 0 0 0 =0，
b2
y-y y-y
即(y -kx )2=a2k2-b2，又k= 0 ，可得y - 0 ⋅x
0 0 x-x 0 x-x 0
0 0
2 y-y
=a2 0
x-x
0
2
-b2，
所以(xy -x y)2=a2(y-y )2-b2(x-x )2，
0 0 0 0
(xy -x y)2 (y-y )2 (x-x )2
对等式两边同除以a2b2，得 0 0 = 0 - 0 ，
a2b2 b2 a2
x2y2-2xy x y+x2y2 y2-2y y+y2 x2-2x x+x2
即 0 0 0 0 = 0 0 - 0 0 ，
a2b2 b2 a2
x2 y2 x2 y2
因为 0 - 0 =1， - =1，
a2 b2 a2 b2
x2y2-2xy x y+x2y2 2y y 2x x
所以 0 0 0 0 =-2- 0 + 0 ，
a2b2 b2 a2
x2 0 - y2 0 =1
a2 b2 x2x2 x2y2 x2y2 y2y2
联立 ，两式相乘得 0 - 0 - 0 + 0 =1，
x2 y2 a4 a2b2 a2b2 b4
- =1
a2 b2
x2y2 x2y2 x2x2 y2y2
所以 0 + 0 =-1+ 0 + 0 ，
a2b2 a2b2 a4 b4
x2x2 y2y2 -2xy x y 2y y 2x x
可得-1+ 0 + 0 + 0 0 =-2- 0 + 0 ，
a4 b4 a2b2 b2 a2
x x y y
即-1+ 0 - 0
a2 b2
2 x x y y
=-2+2 0 - 0
a2 b2
，
x x y y
不妨令t= 0 - 0 ，此时-1+t2=-2+2t，
a2 b2
x x y y
即(t-1)2=0，解得t=1，所以 0 - 0 =1，
a2 b2
当切线斜率不存在时，
x x y y
此时切点为(±a，0)，切线方程为x=±a，满足 0 - 0 =1，
a2 b2
x2 y2 x x y y
综上， - =1(a>0，b>0)上一点(x ，y )的切线方程为 0 - 0 =1，
a2 b2 0 0 a2 b2不妨设Q(m，n)，
y2 ny
此时x2- =1过点Q(m，n)的切线方程为mx- =1，
3 3
ny y2
所以mx- =1为x2- =1过点Q(m，n)的切线方程，
3 3
易知双曲线的两条渐近线方程为y=± 3x，
3
mx- ny =1 x 1 = 3m- 3n
联立 3 ，解得
，
3 3
y= 3x y =
1 3m- 3n
3
mx- ny =1 x 2 = 3m+ 3n
联立 3 ，解得
，
-3 3
y=- 3x y =
2 3m+ 3n
y-y y -y
所以直线AB方程为 1 = 2 1 ，
x-x x -x
1 2 1
即(y-y)(x -x)-(y -y)(x-x)=0，
1 2 1 2 1 1
|(-y)(x -x)-(y -y)(-x)| |xy -x y|
此时点O到直线AB的距离为 1 2 1 2 1 1 = 1 2 2 1 ，
(x -x)2+(y -y) (x -x)2+(y -y)
2 1 2 1 2 1 2 1
又|AB|= (x -x)2+(y -y)，
2 1 2 1
1 |xy -x y| 1
则△AOB的面积S= 1 2 2 1 ⋅ (x -x)2+(y -y)= |xy -x y|
2 (x -x)2+(y -y) 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 1 2 1
1 3 -3 3 3 3 3
= ⋅ - ⋅
2 3m- 3n 3m+ 3n 3m+ 3n 3m- 3n
1 -18 3 1 -18 3
= = = 3，为定值；
2 9m2-3n2 2 9
(2)证明：若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
所以直线l斜率存在，
1
不妨设直线l方程y-1=kx-
2
48
，M(x，y)，N(x ，y )，
1 1 2 2
1
y-1=kx-
2
联立
1
y2 ，消去y并整理得(3-k2)x2+(k2-2k)x- 4 k2-k+4
x2- =1
3
=0，
Δ>0
3-k2≠0
k2-2k 1 1
易知 >0 ，因为 k2-k+4= (k-2)2+3>0恒成立，
k2-3 4 4
1
k2-k+4
4
>0
k2-3
-2-2 13
所以k2-3>0，即k2-2k>0，解得 0，b>0)，
a2 b2
b
不妨设右焦点为(c，0)，渐近线方程为y=± x．
a
bc
a
右焦点到渐近线的距离d= =b= 2．
b2
+1
a2
因为C为等轴双曲线，所以a=b= 2．
所以C的方程为x2-y2=2．
(2)证明：设P(x，y)，Q(x ，y )，
1 1 2 2
2
由OP⋅OQ=|OP|⋅|OQ|⋅cos45°，得xx +yy = |OP|⋅|OQ|，
1 2 1 2 2
且|OP|2=x2+y2=2x2-2=2y2+2，|OQ|2=x2+y2=2x2-2=2y2+2，
1 1 1 1 2 2 2 2
1
所以y2y2= |OP|2⋅|OQ|2+x2x2- 2xx ⋅|OP|⋅|OQ|，
1 2 2 1 2 1 2
|OP|2-2 |OQ|2-2 1 |OP|2+2 |OQ|2+2
则 ⋅ = |OP|2⋅|OQ|2+ ⋅ - 2xx ⋅|OP|⋅|OQ|，
2 2 2 2 2 1 2
即|OP|2．|OQ|2+2|OP|2+2|OQ|2=2 2xx ⋅|OP|⋅|OQ|，
1 2
|OP|2+2 |OQ|2+2
平方后得(|OP|2⋅|OQ|2+2|OP|2+2|OQ|2)2=8× ⋅ ⋅|OP|2⋅|OQ|2，
2 2
等式两边同时除以|OP|4•|OQ|4，
2 2
得1+ +
|OP|2 |OQ|2
50
2 2
=21+
|OP|2
2
1+
|OQ|2
，
4 4 1 1 1
即 + =1，即 + = ．
|OP|4 |OQ|4 |OP|4 |OQ|4 4
1 1 1
所以 + 是定值，且该定值为 ．
|OP|4 |OQ|4 46
45 已知离心率e= 的椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l交Γ于A、B两点，且
3
CA=2BC，其中，点C(-1，0)．
(1)求△OAB的面积S的最大值，并求此时椭圆Γ的方程；
(2)对于(1)的椭圆Γ上，若存在不同的两点关于直线y=3x+m对称，求m的取值范围．
x2 y2
解析：(1)设椭圆的方程为 + =1(a>b>0)，
a2 b2
c 6
由e= = 及a2=b2+c2，得a2=3b2，
a 3
故椭圆的方程为x2+3y2=3b2，①
设A(x，y)，B(x ，y )，由CA=2BC，
1 1 2 2
x +1=-2(x +1)
1 2
得(x
1
+1，y
1
)=2(-1-x
2
，-y
2
)，即 ，②
y =-2y
1 2
由题意，直线l过点C(-1，0)，
当直线l斜率不存在时，显然不满足CA=2BC，
当直线l斜率为0时，O，A，B三点共线，不构成三角形，
故直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=k(x+1)，
将y=k(x+1)代入椭圆方程，
得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0，则Δ=k2(3b2-1)+b2>0，
6k2 3k2-3b2
所以x +x =- ，③，xx = ，④，
1 2 3k2+1 1 2 3k2+1
1 3 3
所以S = |y -y |⋅|OC|= |y |= |k|⋅|x +1|，
△OAB 2 1 2 2 2 2 2
2
联立②③，得x +1=- ，
2 3k2+1
3|k|
所以S = (k≠0)，
△OAB 3k2+1
3 3 3
故S = ≤ = ，
△OAB 1 2 3 2
3|k|+
|k|
1 3
当且仅当3|k|= ，即k=± 时，S 取得最大值，
|k| 3 △OAB
此时x +x =-1，又因为x +1=-2(x +1)，所以x =1，x =-2，
1 2 1 2 1 2
代入④，得3b2=5，故此时椭圆的方程为x2+3y2=5；
(2)设椭圆Γ上存在不同的两点M(x ，y )，N(x ，y )关于直线y=3x+m对称，
3 3 4 4
x2+3y2=5
3 3
则有
x2+3y2=5
，设MN的中点为P(x
0
，y
0
)，
4 4
x 1
则两式相减得：x2-x2=-3(y2-y2)，整理得： 0 =-3×-
3 4 3 4 y 3
0
圆锥曲线黄金55题 51
，
m
y 0 =x 0 x 0 =- 2
所以
y =3x +m
，即
m
，
0 0 y 0 =- 2
由题意，点P(x ，y )在椭圆内，则有x2+3y2<5，
0 0 0 0
m2 m2
即 +3× <5，化简得m2<5，解得- 50)与椭圆 + =1有公共的焦点．
5 4
(1)求抛物线C的方程；
(2)过Q(-3，-2)的直线l交抛物线C于A，B两点，试问在抛物线C上是否存在定点P，使得直
线PA，PB的斜率存在且非零时，满足两直线的斜率之积为1，若存在．请求出点P的坐标，若不存
在，请说明理由．
x2 y2
解析：(1)椭圆 + =1的焦点为(±1，0)，
5 4
由题意知，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为(1，0)，
p
则 =1，p=2，故抛物线C的方程为y2=4x．
2
y2
(2)假设存在定点P，设P 0 ，y
4 0
52
，
设直线l方程为y+2=k(x+3)(k≠0)，即y=kx+3k-2，
y=kx+3k-2
联立 ，可得k2x2+(6k2-4k-4)x+(3k-2)2=0，
y2=4x
1
由Δ=-48k2+32k+16>0，解得- b>0)的离心率为 ，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为
a2 b2 2
1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于M(0，m)点，若存在实数m，使得OA+
3OB=4OM，求m的取值范围．
3 c 3 c2 3 a2-b2 3 b2 1
解析：(1)因为该椭圆的离心率为 ，所以有 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ①，
2 a 2 a2 4 a2 4 a2 4
x2 y2 c2
在方程 + =1中，令x=±c，解得y2=b21-
a2 b2 a2
圆锥曲线黄金55题 53
b4 b2
= ⇒y=± ，
a2 a
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
b2 b2
所以有 --
a a
a=2 x2
=1②，由(1)，(2)可得： ，所以椭圆的方程为 +y2=1．
b=1 4
(2)当直线l不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点，不符合题
意；当直线l存在斜率时，设为k，所以直线l的方程设为y=kx+m，
x2
+y2=1
于是有 4 ⇒(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
y=kx+m
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0，
化简，得4k2-m2+1>0，
8km 4m2-4
设A(x，y)，B(x ，y )，于是有x +x =- ，xx = ，
1 1 2 2 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
因为OA+3OB=4OM，
所以(x，y)+3(x ，y )=4(0，m)⇒x +3x =0⇒x =-3x ，
1 1 2 2 1 2 1 2
8km 8km 4km
代入x +x =- 中，得-3x +x =- ⇒x = ，
1 2 1+4k2 2 2 1+4k2 2 1+4k2
4m2-4 4km
于是有(-3x )⋅x = ⇒-3
2 2 1+4k2 1+4k2
2 4m2-4
= ，
1+4k2
m2-1 m2-1 1
化简，得k2= ，代入4k2-m2+1>0中，得4⋅ -m2+1>0⇒ 0且3k2-1>0，得 |EF|=2 6，
∴P点轨迹是以E，F为焦点，4 2为长轴长的椭圆，
x2 y2
∴曲线C的方程为 + =1．
8 2
x2 y2
(2)由(1)可知C的方程为 + =1，设点P(x ，y )(x >0，y >0)，D(0，m)，H(0，n)，
8 2 0 0 0 0
y -m
则直线PD的方程为y= 0 x+m，即(y -m)x-x y+mx =0，
x 0 0 0
0
∵圆M：(x+1)2+y2=1的圆心为M(-1，0)，半径为1，直线PD与圆相切，
|-y +m+x m|
∴圆心M到直线PD的距离为1，即 0 0 =1，
(y -m)2+x2
0 0
即(y -m)2+x2=(y -m)2-2x m(y -m)+x2m2，
0 0 0 0 0 0
即(x +2)m2-2y m-x =0，同理(x +2)n2-2y n-x =0．
0 0 0 0 0 0
由此可知，m，n为方程(x +2)x2-2y x-x =0的两个实根，
0 0 0
2y x
∴m+n= 0 ，mn=- 0 ，
x +2 x +2
0 0
4y2 4x 4x2+4y2+8x
∴|DH|=|m-n|= (m+n)2-4mn= 0 + 0 = 0 0 0 ．
(x +2)2 x +2 (x +2)2
0 0 0
x2 y2 x2
∵点P(x ，y )在椭圆C上，则 0 + 0 =1，则y2=2- 0 ，
0 0 8 2 0 4
3x2+8x +8 3
则|DH|= 0 0 = ，
(x +2)2 2
0
x2
则3x2-4x -4=0，∵x >0，则x =2，y2=2- 0 =1，即y =1，
0 0 0 0 0 4 0
故存在点P(2，1)满足题设条件．
x2 y2
(3)由(1)可知C的方程为 + =1，由题意，直线斜率存在，
8 2
设l：y=kx+m，且A(x，kx +m)，B(x ，kx +m)，
1 1 2 2
y=kx+m
联立方程组 x2 y2 ，整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0，
+ =1
8 2
则Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-8)>0，可得m2<8k2+2，
8km 4m2-8
且x +x =- ，xx = ，
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
∵直线PA，PB的倾斜角互补，∴k +k =0，
PA PB
kx +m-1 kx +m-1
可得 1 + 2 =0，整理得2kxx +(m-1-2k)(x +x )-4(m-1)=0，
x -2 x -2 1 2 1 2
1 2
圆锥曲线黄金55题 558km 4m2-8 4m2-8 8km
将x +x =- ，x x = 代入上式，可得2k⋅ +(m-1-2k)-
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1 4k2+1 4k2+1
56
-4
(m-1)=0，
即4k2+(2m-4)k+1-m=0，即(2k-1)(2k+m-1)=0，
1
解得k= 或2k+m-1=0，
2
当2k+m-1=0时，即m=1-2k，可得y=kx+1-2k，即y-1=k(x-2)，
1
此时直线l经过点P(2，1)，不符合题意，∴直线l的斜率为 ．
250 在平面直角坐标系xOy中，动点M在抛物线y2=36x上运动，点M在x轴上的射影为N，动
1
点P满足PN = MN．
3
(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程；
(Ⅱ)过点D(-3，2)作直线与曲线E顺次交于A、B两点，过点A作斜率为1的直线与曲线E的另
一个交点为点C，求证：直线BC过定点．
解析：(Ⅰ)设点P(x，y)，M(x ，y )，
0 0
则y2=36x ，且N(x ，0)，
0 0 0
由P N = 1 M N ，得 x=x 1 0 ，∴ x 0 =x ，
3 y= y y =3y
3 0 0
代入y2=36x ，得9y2=36x，∴y2=4x．
0 0
∴动点P的轨迹E的方程为y2=4x．
(Ⅱ)证明：显然，直线AB斜率存在，设AB的方程为y-2=k(x+3)，
y-2=k(x+3)
由 ，得ky2-4y+8+12k=0，k≠0，则Δ=16(-3k2-2k+1)>0，
y2=4x
4 8
设A(x，y)，B(x ，y )，则y +y = ，yy = +12，
1 1 2 2 1 2 k 1 2 k
∴yy -12=2(y +y )①，
1 2 1 2
y2
直线AC的方程为y-y =x- 1 ，
1 4
y2
y-y =x- 1
由 1 4 ，得y2-4y+4y -y2=0，Δ=16-4(4y -y2)>0，
1 1 1 1
y2=4x
设C(x ，y )则y +y =4②，
3 3 1 3
由①②，得(4-y )y -12=2(4-y +y )，∴2(y +y )=y y +20③．
3 2 3 2 2 3 2 3
(i)若直线BC斜率斜率不存在，则y +y =0，又2(y +y )=y y +20，
2 3 2 3 2 3
y2
∴y2=20，∴x = 3 =5，∴BC的方程为x=5；
3 3 4
y -y 4
(ii)若直线BC斜率存在，则 2 3 = ，
x -x y +y
2 3 2 3
4 y2
直线BC的方程为y-y = x- 2
2 y +y 4
2 3
圆锥曲线黄金55题 57
，即4x-(y +y )y+y y =0，
2 3 2 3
将③代入，得4x-(y +y )y+2(y +y )-20=0，
2 3 2 3
∴(y +y )(2-y)+4(x-5)=0，
2 3
故直线BC斜率存在时过点(5，2)．
由(i)(ii)知，直线BC过点(5，2)．x2 y2 2 5
51 已知椭圆Γ： + =1(a>b>0)的长轴长为2 5，离心率为 ，斜率为k的直线l与
a2 b2 5
椭圆Γ有两个不同的交点A，B．
(1)求Γ的方程；
(2)若直线l的方程为y=x+t，点M(0，1)关于直线l的对称点N(与M不重合)在椭圆Γ上，求t
的值；
(3)设P(-3，0)，直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，若点
7 1
C，D和点Q- ，
3 2
58
三点共线，求k的值．
解析：(1)设椭圆的焦距为2c，
x2 y2 2 5
因为椭圆Γ： + =1(a>b>0)的长轴长为2 5，离心率为 ，
a2 b2 5
c 2 5
所以a= 5， = ，所以c=2，
a 5
所以b2=a2-c2=5-4=1．
x2
故椭圆Γ的方程为 +y2=1．
5
(2)设点M(0，1)关于直线l的对称点为N(s，n)，
n+1 s
2 = 2 +t s=1-t
则
n-1
，解得
n=t
，则N(1-t，t)，
=-1
s
(1-t)2
由N在椭圆P上，可得 +t2=1，
5
2
整理得3t2-t-2=0，解得t=1或t=- ．
3
当t=1时，点N(0，1)与点M重合，舍去，
2 5 2
当t=- 时，点N ，-
3 3 3
，满足要求．
(3)设A(x，y)，B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y )，则x2+5y2=5，x2+5y2=5．
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2
y
又P(-3，0)，设PA的斜率为k，则k = 1 ，直线PA的方程为y=k(x+3)，
1 1 x +3 1
1
y=k(x+3)
1
由 x2 消去y并整理得(1+5k2 1 )x2+30k2 1 x+45k2 1 -5=0，
+y2=1
5
30k2 30k2
则x +x =- 1 ，所以x =- 1 -x．
1 3 1+5k2 3 1+5k2 1
1 1
y
30 1
y x +3
又k = 1 ，所以x =- 1
1 x +3 3
1
2
y
1+5 1
x +3
1
14x +30 7x +15
-x =- 1 =- 1 ，
2 1 6x +14 3x +7
1 1
2y 7x +15 2y
所以y =k(x +3)= 1 ，则C- 1 ， 1
3 1 3 3x +7 3x +7 3x +7
1 1 1
，7x +15 2y
同理可求得D- 2 ， 2
3x +7 3x +7
2 2
圆锥曲线黄金55题 59
7 1
．又Q- ，
3 2
，
7x +15 7 2y 1
则QC=- 1 + ， 1 -
3x +7 3 3x +7 2
1 1
4 2y 1
= ， 1 -
3(3x +7) 3x +7 2
1 1
，
7x +15 7 2y 1
QD=- 2 + ， 2 -
3x +7 3 3x +7 2
2 2
4 2y 1
= ， 2 -
3(3x +7) 3x +7 2
2 2
．
7 1
由点C，D和点Q- ，
3 2
三点共线，所以QC∥QD，
4 2y 1
则 2 -
3(3x +7) 3x +7 2
1 2
4 2y 1
- 1 -
3(3x +7) 3x +7 2
2 1
=0，
3 y -y 3
可得y -y = (x -x)，则k= 2 1 = ．
2 1 4 2 1 x -x 4
2 1y2
52 已知双曲线C：x2- =1的左、右焦点分别为F、F，P为双曲线右支上一点．
3 1 2
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设过点P和F 的直线l与双曲线C的右支有另一交点为Q，求OP⋅OQ的取值范围；
2
(3)过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为M、N两点，是否存在点P，使得|PM|
+|PN|= 2？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解析：(1)由题意知，a2=1，b2=3，则c2=a2+b2=4，
c
所以c=2，a=1，得e= =2，
a
即双曲线的离心率为2；
(2)由(1)知，F(2，0)，
2
若直线l的斜率为0，则直线l与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意：
所以直线l的斜率不为0，设l：x=my+2，P(x，y)，Q(x ，y )，
1 1 2 2
x=my+2
联立直线与双曲线方程得 y2 ，消去x得，(3m2-1)y2+12my+9=0，
x2- =1
3
Δ=(12m)2-36(3m2-1)=36m2+36>0，
12m 9
y +y =- ，yy = ，
1 2 3m2-1 1 2 3m2-1
则xx =(my +2)(my +2)=m2yy +2m(y +y )+4
1 2 1 2 1 2 1 2
9m2 24m2 -3m2-4
= - +4= ，
3m2-1 3m2-1 3m2-1
-3m2-4 9 -3m2+5 4
所以OP⋅OQ=xx +yy = + = =-1+ ，
1 2 1 2 3m2-1 3m2-1 3m2-1 3m2-1
9
又 yy = <0，则 3m2-1<0，
1 2 3m2-1
由 3m2≥0，得3m2-1≥-1，
4 4
所以-1≤3m2-1<0，有 ≤-4，所以-1+ ≤-5，
3m2-1 3m2-1
即OP⋅OQ≤-5，所以OP⋅OQ的取值范围为(-∞，-5]；
(3)由题意可知双曲线的渐近线方程为l：y= 3x，l ：y=- 3x，
1 2
即l： 3x-y=0，l ： 3x+y=0，设P(x ，y )，
1 2 0 0
因为点P在双曲线的右支上，则x ≥1，
0
| 3x -y | | 3x +y |
则点P到直线l 的距离为|PM|= 0 0 ，点P到直线l 的距离为|PN|= 0 0 ，
1 2 2 2
| 3x -y | | 3x +y | | 3x -y + 3x +y |
所以|PM|+|PN|= 0 0 + 0 0 ≥ 0 0 0 0 = 3x ≥ 3，
2 2 2 0
故不存在点P使得|PM|+|PN|= 2．
60x2 y2 2
53 椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率是 ，点M( 2，1)是椭圆E上一点，过点P(0，
a2 b2 2
1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求△AOB面积的最大值；
|QA| |PA|
(3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使 = 恒成立？存在，求
|QB| |PB|
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
c = 2
a 2
x2 y2
解析：(1)根据题意，得 a2=b2+c2 ，解得a2=4，b2=2，c2=2，椭圆C的方程为 + =1；
4 2
2 1
+ =1
a2 b2
y=kx+1
(2)依题意，设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，设直线l为y=kx+1，联立 x2 y2 ，消去y，
+ =1
4 2
4k 2
得(1+2k2)x2+4kx-2=0，Δ>0恒成立，x +x =- ，xx =- ，
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
1 1 1 4k
所 以 S = | x - x | = (x +x )2-4xx = -
△AOB 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1+2k2
圆锥曲线黄金55题 61
2 2
-4-
1+2k2
=
2 1+4k2
，
1+2k2
2t 2
令t= 1+4k2，t≥1，S = 2• = 2• ≤ 2，
△AOB t2+1 1
t+
t
当且仅当t=1，即k=0时取得等号，综上可知，△AOB面积的最大值为 2；
|QA| |PA|
(3)结论：存在与点P不同的定点Q(0，2)，使得 = 恒成立．理由如下：
|QB| |PB|
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，
|QC| |PC|
如果存在定点Q满足条件，则有 = =1，即|QC|=|QD|，
|QD| |PD|
∴Q点在直线y轴上，可设Q(0，y )，
0
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，如果存在定点Q满足条件，
|QM| |PM| |y - 2| 2-1
则 = ，即 0 = ，解得y =1或y =2，
|QN| |PN| |y + 2| 2+1 0 0
0
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是(0，2)；
当直线l不平行于x轴且不垂直与x轴时，可设直线l的方程为y=kx+1，y=kx+1
联立 x2 y2 ，消去y并整理得：(1+2k2)x2+4kx-2=0，
+ =1
4 2
∵Δ=(4k)2+8(1+2k2)>0，
4k 2
∴x +x =- ，xx =- ，
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
又点B关于y轴对称的点B′的坐标为(-x ，y )，
2 2
y -2 kx -1 1 y -2 kx -1 1
又k = 1 = 1 =k- ，k = 2 = 2 =-k+ ，
AQ x x x QB′ -x -x x
1 1 1 2 2 2
x +x
k -k =2k- 1 2 =0
AQ QB′ xx
1 2
|QA| |QA| |x| |PA|
∴k =k 则Q、A、B′三点共线，∴ = = 1 = ；
AQ QB′ |QB| |QB′| |x | |PB|
2
|QA| |PA|
故存在与点P不同的定点Q(0，2)，使得 = 恒成立．
|QB| |PB|
6254 已知动圆过点F(0，1)，且与直线l：y=-1相切，设动圆圆心D的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过l上一点P作曲线C的两条切线PA，PB，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于M，N两
点．记△AFM，△PMN，△BFN的面积分别为S、S 、S ．
1 2 3
(ⅰ)证明：四边形FNPM为平行四边形；
S2
(ⅱ)求 2 的值．
SS
1 3
解析：(1)设圆心D(x，y)，由题意得： x2+(y-1)2=|y+1|，
化简整理得：x2=4y，所以曲线C的方程为：x2=4y．
x2 x
(2)(ⅰ)设A(x，y)，B(x ，y )，因为y= ，所以y′= ，
1 1 2 2 4 2
x 1 1 x
∴直线PA的方程为：y= 1 (x-x)+y，即y= xx- x2，令y=0，得到x= 1 ，
2 1 1 2 1 4 1 2
1 1 x
同理可得直线PB的方程为：y= x x- x2，令y=0，得到x= 2 ，
2 2 4 2 2
x
∴M 1 ，0
2
圆锥曲线黄金55题 63
x
，N 2 ，0
2
1 1
y= 2 x 1 x- 4 x2 1 x +x
，联立 ，消y解得x= 1 2 ，
1 1 2
y= x x- x2
2 2 4 2
x +x
所以P 1 2 ，-1
2
x
，又F(0，1)，∴FM +FN = 1 ，-1
2
x
+ 2 ，-1
2
x +x
= 1 2 ，-2
2
=FP，
所以四边形FNPM为平行四边形；
1 1
(ⅱ)由(ⅰ)知直线PA的方程为y= xx- x2，又x2=4y，
2 1 4 1 1 1
1
所以 xx-y-y =0，即xx-2y-2y =0，同理可知直线PB的方程为x x-2y-2y =0，
2 1 1 1 1 2 2
xx -2y +2=0
1 0 1
又P在直线PA，PB上，设P(x
0
，-1)，则 ，
x x -2y +2=0
2 0 2
所以直线AB的方程为：x x-2y+2=0，故直线AB过点F(0，1)，
0
∵四边形FNPM为平行四边形，∴FM∥BP，FN∥AP，
BN BF MP
∴FN=PM，PN=MF， = = ，
NP FA MA
∴MP•NP=MA•BN，
1 1 1
∵S = |MA||MF|sin∠AMF，S = |PM||PN|sin∠MPN，S = |NB‖NF|sin∠BNF，
1 2 2 2 3 2
1
|PM||PN|sin∠MPN S2 2
∴ 2 =
SS
1 3
2
1
|MA||MF|sin∠AMF
2
1
⋅ |NB‖NF|sin∠BNF
2
(|PM|⋅|PN|)2
= =
|MA|⋅|MF|⋅|NB|⋅|NF|
|PM|⋅|PN|
=1．
|MA|⋅|NB|x2 y2
55 已知椭圆C： + =1(a>b>0)的一条准线方程为x=4，长轴长为4，过点P(-2，1)
a2 b2
作直线l交椭圆C于点M、N．
(1)求椭圆C的方程；
1 1
(2)在x轴上是否存在一定点Q，使得直线QM，QN的斜率k ，k 满足 + 为常数？若存在，
1 2 k k
1 2
求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
a2 =4
c a=2
解析：(1)有题意可知，
a=4
⇒
b2=3
，
a2=b2+c2
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1；
4 3
(2)假设存在满足条件的点Q(t，0)，当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意；
所以直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y-1=k(x+2)，点M(x，y)，N(x ，y )，
1 1 2 2
y-1=k(x+2)
联立为 ，得(3+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0，
3x2+4y2=12
16k2+8k 16k2+16k-8
则x +x =- ，xx = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
y y
1 + 2
1 1 k +k x -t x -t y(x -t)+y (x -t)
+ = 1 2 = 1 2 = 1 2 2 1
k k kk y y yy
1 2 1 2 1 ⋅ 2 1 2
x -t x -t
1 2
(kx +2k+1)(x -t)+(kx +2k+1)(x -t)
= 1 2 2 1
(kx +2k+1)(kx +2k+1)
1 2
2kxx +(2k+1-kt)(x +x )-2(2k+1)t (-12t-24)k-6t
= 1 2 1 2 = ．
k2xx +(2k2+k)(x +x )+4k2+4k+1 12k+3
1 2 1 2
1 1 -12t-24 -6t
要使 + 为定值，则需满足 = ．解得t=2．
k k 12 3
1 2
1 1 -48k-12
此时， + = =-4．
k k 12k+3
1 2
1 1
所以在x轴上存在点Q(2，0)，使得 + 为定值-4．
k k
1 2
64
