文档内容
成都外国语学校 2025-2026 学年度上期十二月月考考试
高二数学试卷
命题人：方兰英 林琪琦 审题人：方兰英 金鑫 林琪琦
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2.本堂考试120分钟，满分150分；
3.答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件A、B，其中 ， ， ，
，那么（ ）
A. B. 事件A与B互斥
C. D. 事件A与B相互独立
3. 长轴长是短轴长的 倍，且经过点 的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.C. 或 D. 或
4. 在三棱锥 中， 是 的中点，点 在棱 上，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
5. 2021年某省实施新的“ ”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3科必选，“1”即为从物理和历
史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2科，则该省某考生选择全理科(物理､化学､生物)
的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 圆 关于直线 对称的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，把正方形纸片 沿对角线 折成 的二面角， ， 分别为 ， 的中点， 是
原正方形 的中心，则折纸后 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，， 的外接圆半径为2，且 ，记椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为
，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分
布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
的
A. 考生参赛成绩 平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间 内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间 应抽取30人
10. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 , 为椭圆上一个动点，椭圆上、下顶点分别为
、 ,则下列说法正确的是（ ）
A. 设过点 和 的直线与椭圆相交的另一个交点为 ,则 的周长是6B. 若 ,则 的面积为
C.
D. 若 为圆 : 上的一个动点，则 的最大值为12
11. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ， ，
点E是棱 上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在点E，使 平面
在
B. 存 点E，使 平面
C. 若点E为 中点，则点C到平面 的距离为
D. 二面角 夹角最大时，
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 样本数据1，2，4，5，8的极差为________.
13. 若双曲线 （ ） 一的条渐近线方程为 ，则 ______．
14. 小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心 且与太阳
平行光线垂直的平面为 ，地面所在平面为 ，篮球与地面的切点为 ，球心为 ，球心 在地面的影子为点 ；已知太阳光线与地面的夹角为 ；如图， 为球 的一条直径， 为 在地面的影子，
点 在线段 上，小明经过研究资料发现，当 时，篮球的影子为一椭圆，且点 为椭圆的焦点，
线段 为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率为_____（用 表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图1，正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）如图2，连 ， ， .求直线 与平面 所成角的正弦值；
16. 已知圆 与直线 相切于点 ，圆心 在轴上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若过点 直的线 与圆 交于 两点，当 时，求直线 的一般式方程；
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生
通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的
“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”
社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方
面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
18. 已知圆 和圆 ，动圆 与圆 、圆 都外切或都内切，记点
的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 的两个交点 分别在 轴两侧．
①求直线 斜率的取值范围；
②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点，并求出该定点．
19. 椭 圆 ： 的 左 、 右 焦 点 分 别 ， ， ， 且
.设不过原点 的直线与椭圆C交于 两点连接 ，如图1所示.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线 之间的斜率为 ，且 ，求 面积的取值范围；
（3）直线 ： 交椭圆于 两点，将平面 沿x轴翻折，使y轴负半轴和x轴所确
定的半平面与平面 垂直，如图2所示，连接 ， ， ， ， ，求三棱锥外接球表面积的最小值.
