专题16双曲线（1大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 16 双曲线 命题解读 考向 考查统计 1.高考对双曲线的考查，重点是 （1）双曲线的定义、几何图形和标准 方程。 2023·新高考Ⅰ卷，16 （2）双曲线的几何性质（范围、对称 双曲线的离心率 2024·新高考Ⅰ卷，12 性、顶点、离心率、渐近线）。 （3）直线和双曲线的位置关系及综合 应用。 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。Ⅱ卷是双曲线与数列的综合问题， 后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低， 在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线 的定义和离心率、渐近线。 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21) 1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·12(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: x2 - y2 =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F(cid:23)F (cid:45)(cid:46)F (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)y(cid:51)(cid:37) a2 b2 1 2 2 (cid:52)(cid:36)(cid:53)C(cid:50)A(cid:45)B(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55)|FA|=13,|AB|=10(cid:45)(cid:56)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) (cid:26) 1 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21) x2 y2 1(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·16(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F,F (cid:26)(cid:41)A(cid:62)C(cid:63)(cid:45)(cid:41)B a2 b2 1 2 uuur uuur uuuur 2uuuur (cid:62)y(cid:51)(cid:63)(cid:45)FA^FB,F A=- F B(cid:45)(cid:56)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) (cid:26) 1 1 2 3 2(cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:64)(cid:65) (cid:48)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:54)(cid:69)(cid:64)(cid:41)F,F (cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:37)(cid:71)(cid:37)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:50)(cid:76)(cid:13)(cid:27)(cid:77)(cid:50)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:50) FF (cid:32)(cid:37)(cid:41)(cid:37)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:85)(cid:54) 1 2 1 2 (cid:69)(cid:64)(cid:41)(cid:83)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:32)(cid:26)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:44) M MF - MF =2a(0<2a< FF )  1 2 1 2 (cid:26) (cid:4)(cid:91)(cid:10)(cid:27)1(cid:32)(cid:55)(cid:64)(cid:65)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:45)(cid:56)(cid:35)(cid:36)(cid:96)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:93)(cid:37)(cid:22)(cid:97)(cid:26) (cid:27)2(cid:32)(cid:98)2a= FF (cid:99)(cid:45)(cid:41)(cid:37)(cid:81)(cid:82)(cid:100)(cid:101)F (cid:102)F (cid:44)(cid:103)(cid:41)(cid:37)(cid:54)(cid:104)(cid:105)(cid:36)(cid:106)(cid:98)2a=0(cid:99)(cid:45)(cid:41)(cid:37)(cid:81)(cid:82)(cid:100)(cid:36)(cid:107)FF (cid:37)(cid:108)(cid:52) 1 2 1 2 1 2 (cid:48)(cid:42)(cid:36)(cid:26) (cid:27)3(cid:32)2a> FF (cid:99)(cid:45)(cid:41)(cid:37)(cid:81)(cid:82)(cid:109)(cid:110)(cid:62)(cid:26) 1 2 (cid:62)(cid:111)(cid:86)(cid:64)(cid:65)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:99)(cid:4)(cid:91)(cid:101)(cid:117)(cid:54)(cid:41)(cid:10) (cid:104)(cid:118)“ FF >2a”(cid:100)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:106) (cid:122)(cid:123)(cid:64)(cid:124)(cid:27)(cid:40)(cid:41)(cid:62)(cid:125)(cid:69)(cid:51)(cid:63)(cid:32)(cid:45)(cid:126)(cid:64)(cid:127)(cid:27)(cid:128)(cid:64)a2(cid:45)b2(cid:37)(cid:74)(cid:32)(cid:45)(cid:4)(cid:91)a2 +b2 =c2 1 2 ①(cid:37)(cid:111)(cid:86)(cid:26) ② (cid:129)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:114)(cid:115)(cid:23)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134) x2 y2 y2 x2 (cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115) - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0) a2 b2 a2 b2 (cid:130)(cid:131) A 2 (cid:40)(cid:41)(cid:135)(cid:112) F(-c,0)(cid:45)F (c,0) F(0,-c)(cid:45)F (0,c) 1 2 1 2 (cid:73)(cid:136)(cid:133) (cid:3)(cid:50)x(cid:45)y(cid:51)(cid:120)(cid:51)(cid:73)(cid:136)(cid:45)(cid:3)(cid:50)(cid:137)(cid:41)(cid:120)(cid:93)(cid:58)(cid:73)(cid:136) (cid:138)(cid:41)(cid:135)(cid:112) A(-a,0)(cid:45)A (a,0) A(0,a)(cid:45)A (0,-a) 1 2 1 2 (cid:139)(cid:140) x ³a y ³a (cid:141)(cid:51)(cid:23)(cid:142)(cid:51) (cid:141)(cid:51)(cid:143)(cid:44)2a(cid:45)(cid:142)(cid:51)(cid:143)(cid:44)2b c b2 (cid:57)(cid:58)(cid:59) e= = 1+ (e>1) a a2 x2 y2 b y2 x2 a (cid:146) - =0Þ y=± x(cid:45) (cid:146) - =0Þ y=± x(cid:45) (cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:114)(cid:115) a2 b2 a a2 b2 b (cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:44)b (cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:44)bì>1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:67) ì>1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:67) 0 0 0 0 ï ï (cid:41)(cid:102)(cid:34)(cid:35)(cid:36) x2 y2 ï (cid:27)(cid:151)(cid:40)(cid:41)(cid:152)(cid:42)(cid:32) y2 x2 ï (cid:27)(cid:151)(cid:40)(cid:41)(cid:152)(cid:42)(cid:32) - í - í (cid:37)(cid:148)(cid:149)(cid:3)(cid:150) a2 b2 ï =1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:63) a2 b2 ï =1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:63) 0 0 0 0 ï î<1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:153) ï î<1,(cid:41)(x ,y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:153) 0 0 0 0 (cid:154)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:34) x2 y2 y2 x2 - =1(-a2 2c) ï 1 2 ï 1 í S = PF × PF sinÐFPF ï DPF1F2 2 1 2 1 2 ï FF 2 = PF 2 + PF 2 -2 PF PF cosÐFPF î 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:75)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:117)(cid:183)(cid:122)(cid:104)(cid:118)(cid:10)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:44)(cid:75)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:36)Ûa=bÛ(cid:57)(cid:58)(cid:59)e= 2 Û(cid:54)(cid:144) (cid:75)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:36) (cid:145)(cid:36)(cid:184)(cid:185)(cid:108)(cid:52)Û(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:44)y=±xÛ(cid:114)(cid:115)(cid:186)(cid:33)(cid:44)x2 - y2 =l(l¹0)(cid:26) (cid:187)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:86)(cid:188)(cid:189)(cid:190) 1(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:171)(cid:172) 2b2 (cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:79)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:141)(cid:51)(cid:108)(cid:52)(cid:37)(cid:52)(cid:36)(cid:191)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:192)(cid:162)(cid:37)(cid:36)(cid:107)(cid:45)(cid:136)(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:171)(cid:172)(cid:26)(cid:171)(cid:172)(cid:143)(cid:44) (cid:26) a 2(cid:23)(cid:41)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:148)(cid:149)(cid:3)(cid:150) x2 y2 x2 y2 (cid:73)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1(a>b>0)(cid:45)(cid:41)P(x (cid:45)y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:67)(cid:152)(cid:45)(cid:75)(cid:193)(cid:50) 0 - 0 >1(cid:26) a2 b2 0 0 a2 b2 x2 y2 (cid:41)P(x (cid:45)y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:153)(cid:152)(cid:45)(cid:75)(cid:193)(cid:50) 0 - 0 <1 (cid:188)(cid:88)(cid:36)(cid:133)(cid:194)(cid:195)(cid:37)(cid:61)(cid:196)(cid:41)(cid:197)(cid:42)(cid:198)(cid:26) 0 0 a2 b2 3(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:76)(cid:30)(cid:133)(cid:134) ab (cid:133)(cid:134)1(cid:10)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:147)(cid:54)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:44)(cid:76)(cid:13)b(cid:106)(cid:138)(cid:41)(cid:147)(cid:54)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:44)(cid:76)(cid:13) (cid:106) c a2b2 (cid:133)(cid:134)2(cid:10)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:63)(cid:37)(cid:199)(cid:91)(cid:41)P(cid:147)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:37)(cid:54)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:37)(cid:200)(cid:201)(cid:100)(cid:22)(cid:69)(cid:76)(cid:13) (cid:106) c2 b2 4(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:40)(cid:41)(cid:176)(cid:177)(cid:131)(cid:66)(cid:201)(cid:44) (cid:27)(cid:186)(cid:101)(cid:85)(cid:202)(cid:15)(cid:116)(cid:45)(cid:138)(cid:41)(cid:203)(cid:29)(cid:45)(cid:204)(cid:177)(cid:203)(cid:80)(cid:45)(cid:42)(cid:205)(cid:203)(cid:80)(cid:45)(cid:66)(cid:201)(cid:203)(cid:77)(cid:32) q tan 2 5(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:155)(cid:36)x2 y2 x x y y (cid:41)M(x (cid:45)y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1(a>0(cid:45)b>0)(cid:63)(cid:45)(cid:46)(cid:41)M (cid:47)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:155)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:44) 0 - 0 =1(cid:26)(cid:55)(cid:41) 0 0 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x x y y M(x (cid:45)y )(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1(a>0(cid:45)b>0)(cid:153)(cid:45)(cid:56)(cid:41)M (cid:73)(cid:111)(cid:155)(cid:41)(cid:163)(cid:114)(cid:115)(cid:44) 0 - 0 =1 0 0 a2 b2 a2 b2 (cid:22)(cid:23)(cid:206)(cid:20)(cid:21) y2 x2 1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:210)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(m>0)(cid:37)(cid:141)(cid:51)(cid:143)(cid:75)(cid:50)(cid:142)(cid:51)(cid:143)(cid:37)2(cid:212)(cid:45)(cid:56)C(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:36) 3m+2 m (cid:114)(cid:115)(cid:44)(cid:27) (cid:32) 1 2 A(cid:26)y=± x B(cid:26)y=± x C(cid:26)y=±2x D(cid:26)y=± 2x 2 2 x2 y2 2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:216)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)F(cid:45)F (cid:44)(cid:35)(cid:36)C(cid:10) + =1m¹4(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:56)(cid:117)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:37)(cid:100)(cid:27) (cid:32) 1 2 4 m 3 A(cid:26)(cid:55)m=1(cid:45)(cid:56)(cid:35)(cid:36)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)e= 2 5 B(cid:26)(cid:55)m=-1(cid:45)(cid:56)(cid:35)(cid:36)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)e= 2 C(cid:26)(cid:55)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:222)(cid:223)(cid:54)(cid:69)(cid:109)(cid:173)(cid:37)(cid:41)P(cid:45)(cid:224)(cid:162)ÐFPF =90°(cid:45)(cid:56)m=2 1 2 D(cid:26)(cid:55)m<0(cid:45)(cid:56)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:110)(cid:62)(cid:225)(cid:69)(cid:109)(cid:173)(cid:37)(cid:41)P(cid:45)(cid:224)(cid:162)ÐFPF =90° 1 2 y2 x2 3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:226)(cid:227)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>b>0)(cid:37)(cid:117)(cid:138)(cid:41)F (cid:47)(cid:228)(cid:22)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:108)(cid:36)(cid:45)(cid:42)(cid:43)(cid:68)(cid:54)(cid:104)(cid:144) a2 b2 uuur uuuur (cid:145)(cid:36)(cid:185)(cid:53)(cid:50)M,N(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55)NF =2FM ,(cid:56)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)(cid:27) (cid:32) 2 3 A(cid:26) B(cid:26) 3 C(cid:26)2 3 D(cid:26)3 3 x2 y2 4(cid:26)(cid:27)2024·(cid:229)(cid:230)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:10) - =1a>0,b>0(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F(cid:45)F (cid:45)(cid:79)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) a2 b2 1 2 e= 5(cid:45)(cid:46)(cid:41)F (cid:37)(cid:52)(cid:36)l(cid:68)C(cid:37)(cid:22)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:108)(cid:52)(cid:185)(cid:53)(cid:50)(cid:41)D(cid:45)(cid:56)tanÐDFF =(cid:27) (cid:32) 2 1 2 1 1 A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26)2 D(cid:26)3 3 2 x2 y2 5(cid:26)(cid:27)2024·(cid:225)(cid:231)(cid:120)(cid:232)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1(cid:27)a>0(cid:45)b>0(cid:32)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:41)(cid:44)F(cid:45)(cid:41)O(cid:44)(cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:41)(cid:45)(cid:41)M a2 b2 1 5 (cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:63)(cid:22)(cid:41)(cid:79)(cid:180)(cid:181) MF = OM (cid:45)(cid:46)F(cid:47)x(cid:51)(cid:37)(cid:108)(cid:36)(cid:53)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:50)(cid:41)N (cid:45)(cid:60)(cid:61) MF = NF (cid:45)(cid:56) 1 1 1 4 1 (cid:166)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)(cid:27) (cid:32)A(cid:26)2 B(cid:26) 3 C(cid:26) 5 D(cid:26) 5 2 x2 y2 6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:236)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F,F (cid:45)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:97)(cid:63) a2 b2 1 2 π (cid:223)(cid:22)(cid:41)A,AF (cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:53)(cid:50)(cid:41)B(cid:45)(cid:36)(cid:107)AF (cid:37)(cid:93)(cid:41)(cid:44)M (cid:45)(cid:79)(cid:180)(cid:181)BM ^ AF (cid:45)(cid:55)ÐFAF = (cid:45)(cid:56)(cid:34)(cid:35) 1 2 2 1 2 3 (cid:36)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)(cid:27) (cid:32) A(cid:26)2 B(cid:26) 6 C(cid:26) 7 D(cid:26) 13 x2 y2 7(cid:26)(cid:27)2024·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:231)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)E(cid:10) - =1a>0,b>0(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F(cid:45)F (cid:45)(cid:46)(cid:41)F (cid:37) a2 b2 1 2 2 (cid:52)(cid:36)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)E(cid:37)(cid:39)(cid:97)(cid:53)(cid:50)A(cid:45)B(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55) AB = AF (cid:45)(cid:79)(cid:34)(cid:35)(cid:36)E(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) 2(cid:45)(cid:56)cosÐBAF =(cid:27) (cid:32) 1 1 3 7 3 1 1 A(cid:26) B(cid:26)- C(cid:26) D(cid:26)- 8 4 8 8 x2 y2 8(cid:26)(cid:27)2024·(cid:240)(cid:241)(cid:242)(cid:210)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)F(cid:45)F (cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1a>0(cid:45)b>0(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:41)O(cid:44)(cid:135)(cid:112) 1 2 a2 b2 uuur uuuur (cid:137)(cid:41)(cid:45)(cid:46)F(cid:37)(cid:52)(cid:36)(cid:42)(cid:43)(cid:53)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:54)(cid:97)(cid:50)A(cid:45)B(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:41)C(cid:62)x(cid:51)(cid:63)(cid:45)CB=3F A(cid:45)BF (cid:48)(cid:42)ÐFBC(cid:45) 1 2 2 1 (cid:166)(cid:93)(cid:22)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:68)(cid:36)(cid:107)AB(cid:53)(cid:50)(cid:41)P(cid:45)(cid:56)sinÐPOF =(cid:27) (cid:32) 2 41 42 43 2 11 A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26) 7 7 7 7 9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:234)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)F(cid:45)F (cid:100)(cid:246)(cid:247)(cid:102)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:7)(cid:154)(cid:40)(cid:41)(cid:45)P(cid:100)(cid:248)(cid:249)(cid:37)(cid:22)(cid:69)(cid:7)(cid:154)(cid:41)(cid:45)(cid:79) 1 2 π ÐFPF = (cid:45)(cid:55)(cid:246)(cid:247)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)e (cid:45)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)e (cid:45)(cid:56)e2+e2(cid:37)(cid:174)(cid:80)(cid:74)(cid:44)(cid:27) (cid:32) 1 2 3 1 2 1 2 5+ 3 2+ 3 A(cid:26)3+ 3 B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26)4 2 2 x2 y2 10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:213)(cid:214)(cid:250)(cid:210)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1a,b>0(cid:63)(cid:110)(cid:62)(cid:3)(cid:50)(cid:137)(cid:41)(cid:93)(cid:58)(cid:73)(cid:136)(cid:37)(cid:54)(cid:41)A(cid:45)B(cid:45)(cid:101)(cid:132)(cid:34) a2 b2 (cid:35)(cid:36)(cid:63)(cid:37)(cid:251)(cid:22)(cid:41)C(cid:45)(cid:224)(cid:162)VABC(cid:44)(cid:252)(cid:176)(cid:177)(cid:131)(cid:45)(cid:56)(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:37)(cid:254)(cid:74)(cid:139)(cid:140)(cid:100)(cid:27) (cid:32) A(cid:26)  2,+¥  B(cid:26)  3,+¥  C(cid:26)2,+¥ D(cid:26) æ ç 2 3 ,+¥ ö ÷ ç ÷ è 3 ø (cid:129)(cid:23)(cid:255)(cid:20)(cid:21) x2 y2 11(cid:26)(cid:27)2024·(cid:245)(cid:256)(cid:257)(cid:258)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(cid:45)(cid:56)(cid:27) (cid:32) l+6 3-l A(cid:26)l(cid:37)(cid:254)(cid:74)(cid:139)(cid:140)(cid:100)(-6,3) B(cid:26)C(cid:37)(cid:40)(cid:41)(cid:186)(cid:62)x(cid:51)(cid:63)(cid:259)(cid:186)(cid:62)y(cid:51)(cid:63) C(cid:26)C(cid:37)(cid:40)(cid:70)(cid:44)6 D(cid:26)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)e(cid:37)(cid:254)(cid:74)(cid:139)(cid:140)(cid:44)(1,3) x2 y2 12(cid:26)(cid:27)2024·(cid:245)(cid:256)(cid:260)(cid:64)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:10) - =1a>0,b>0(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F(cid:45)F (cid:45)(cid:46)(cid:41)F a2 b2 1 2 1(cid:37)(cid:52)(cid:36)(cid:68)C(cid:37)(cid:38)(cid:97)(cid:185)(cid:53)(cid:50)P(cid:45)Q(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55)PQ^PF (cid:45)(cid:79)4 PQ =3 PF (cid:45)(cid:56)(cid:27) (cid:32) 2 2 uuur uuur A(cid:26) PQ =2a B(cid:26)PF =-2QF 1 1 17 C(cid:26)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) D(cid:26)(cid:52)(cid:36)PQ(cid:37)(cid:261)(cid:59)(cid:44)±4 3 x2 y2 13(cid:26)(cid:27)2024·(cid:262)(cid:210)(cid:262)(cid:235)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:41)F,F (cid:45)(cid:261)(cid:59)(cid:44)(cid:252)(cid:37)(cid:144)(cid:145) a2 b2 1 2 (cid:36)(cid:44)l (cid:45)(cid:46)(cid:41)F (cid:47)(cid:52)(cid:36)l (cid:37)(cid:108)(cid:36)(cid:45)(cid:108)(cid:181)(cid:44)(cid:41)A(cid:45)(cid:53)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:50)(cid:41)P(cid:45)(cid:33)(cid:41)M (cid:100)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:199)(cid:91)(cid:22)(cid:41)(cid:45)(cid:55) 1 2 1 2 4 PF = AF ,S = (cid:45)(cid:56)(cid:27) (cid:32) 2 3 2 VPF1F2 3 A(cid:26)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) 5 x2 B(cid:26)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:37)(cid:154)(cid:263)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:44)y2- =1 4 MF æ 3+ 5ù C(cid:26)(cid:98)(cid:41)M (cid:148)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:39)(cid:97)(cid:99)(cid:45) 1 Îç1, ú MF è 2 û 2 4 D(cid:26)(cid:41)M (cid:147)(cid:54)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:37)(cid:70)(cid:57)(cid:164)(cid:201)(cid:44) 5 x2 y2 x2 y2 14(cid:26)(cid:27)2024·(cid:233)(cid:234)(cid:264)(cid:265)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:246)(cid:247) + =1a >b >0(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)e (cid:45)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1a >0,b >0 a2 b2 1 1 1 a2 b2 2 2 1 1 2 2 (cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)e (cid:45)(cid:54)(cid:35)(cid:36)(cid:223)(cid:7)(cid:154)(cid:40)(cid:41)F,F ,P(cid:100)(cid:246)(cid:247)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:22)(cid:69)(cid:7)(cid:154)(cid:41)(cid:45)ÐFPF =60o(cid:45)(cid:101)(cid:117)(cid:188)(cid:189)(cid:252)(cid:128)(cid:37) 2 1 2 1 2 (cid:100)(cid:27) (cid:32) A(cid:26)a2-a2 =b2-b2 1 2 1 2 1 3 B(cid:26) + =1 4e2 4e2 1 2 C(cid:26)b2 =3b2 1 2 é2 13 3ù D(cid:26)(cid:55)e Îé 3,2ù(cid:45)(cid:56)e Îê , ú 2 ë û 1 ë 13 3 û x2 y2 15(cid:26)(cid:27)2024·(cid:266)(cid:267)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0)(cid:37)(cid:38)(cid:45)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F,F ,P(cid:44)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:41)(cid:45)(cid:79) a2 16 1 2 (cid:268)PFF (cid:37)(cid:67)(cid:155)(cid:247)(cid:247)(cid:58)(cid:44)I(3,1)(cid:45)(cid:56)(cid:117)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:252)(cid:128)(cid:37)(cid:100)(cid:27) (cid:32) 1 2 1 A(cid:26)a=3 B(cid:26)(cid:52)(cid:36)PF (cid:37)(cid:261)(cid:59)(cid:44) 1 4 64 65 C(cid:26)VPFF (cid:37)(cid:269)(cid:143)(cid:44) D(cid:26)(cid:268)PFF (cid:37)(cid:153)(cid:270)(cid:247)(cid:271)(cid:172)(cid:44) 1 z 3 1 2 12 (cid:176)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)x2 16(cid:26)(cid:27)2024·(cid:240)(cid:256)(cid:272)(cid:210)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: -y2 =1(a>0)(cid:273)(cid:46)(cid:41)(2,1)(cid:45)(cid:56)C(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:44) (cid:26) a2 x2 y2 17(cid:26)(cid:27)2024·(cid:237)(cid:238)(cid:274)(cid:275)(cid:233)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F(cid:23)F (cid:45)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:37)(cid:41) a2 b2 1 2 uuuur uuuur π M (cid:180)(cid:181)(cid:45)FM×FM =0(cid:45)ÐMFF = (cid:45)(cid:56)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) (cid:26) 1 2 1 2 6 x2 y2 18(cid:26)(cid:27)2024·(cid:226)(cid:227)(cid:276)(cid:277)(cid:233)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)G: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:23)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)F，F (cid:45)(cid:46)(cid:41)F a2 b2 1 2 2 (cid:37)(cid:52)(cid:36)(cid:68)G(cid:37)(cid:39)(cid:97)(cid:53)(cid:50)A，B(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55) AF =8, BF =5,ÐAFB=60°(cid:45)(cid:56)a= (cid:26) 1 1 1 x2 y2 19(cid:26)(cid:27)2024·(cid:213)(cid:214)(cid:278)(cid:279)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:55)(cid:247)C:x2+y2-5y+4=0(cid:191)(cid:34)(cid:35)(cid:36)E: - =1a>0,b>0(cid:37)(cid:22)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:192) a2 b2 (cid:162)(cid:37)(cid:163)(cid:143)(cid:44)2(cid:45)(cid:56)(cid:34)(cid:35)(cid:36)E(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) . x2 y2 20(cid:26)(cid:27)2024·(cid:233)(cid:280)(cid:281)(cid:282)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)G(cid:10) - =1(cid:27)a>0(cid:45)b>0(cid:32)(cid:37)(cid:144)(cid:145)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:44)y=± 3x(cid:45)(cid:166)(cid:39) a2 b2 (cid:40)(cid:41)(cid:44)F(cid:45)(cid:55)(cid:52)(cid:36)y=kx(cid:68)G(cid:62)(cid:283)(cid:22)(cid:284)(cid:285)(cid:37)(cid:53)(cid:41)(cid:44)P(cid:79)PF ^x(cid:51)(cid:45)(cid:56)(cid:141)(cid:13)k(cid:37)(cid:74)(cid:44) . x2 y2 21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:245)(cid:241)(cid:286)(cid:210)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C: - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44) 2,A,B(cid:42)(cid:43)(cid:100)(cid:248)(cid:37)(cid:54)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:36) a2 b2 uuur uuur uuur (cid:63)(cid:37)(cid:54)(cid:41)(cid:27)(cid:109)(cid:68)(cid:135)(cid:112)(cid:137)(cid:41)O(cid:266)(cid:88)(cid:32)(cid:45)(cid:41)P(cid:62)(cid:34)(cid:35)(cid:36)C(cid:63)(cid:79)OA+OB=2OP, VAOB(cid:37)(cid:66)(cid:201)(cid:44)6(cid:45)(cid:56)(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:36) (cid:37)(cid:141)(cid:51)(cid:143)(cid:44) (cid:26) x2 22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:63)(cid:287)(cid:288)(cid:289)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:55)(cid:35)(cid:36)G: -y2 =1(x>0)(cid:162)(cid:39)(cid:138)(cid:41)A(cid:45)(cid:55)(cid:73)(cid:36)(cid:107)OA(cid:63)(cid:199)(cid:91)(cid:22)(cid:41)P(cid:45)(cid:103)(cid:41)(cid:290)(cid:153)(cid:45) a2 (cid:62)G(cid:63)(cid:110)(cid:62)(cid:3)(cid:50)x(cid:51)(cid:73)(cid:136)(cid:162)(cid:54)(cid:41)Q(cid:23)R(cid:224)(cid:162)(cid:176)(cid:177)(cid:131)PQR(cid:44)(cid:75)(cid:291)(cid:176)(cid:177)(cid:131)(cid:45)(cid:56)(cid:252)(cid:13)a(cid:162)(cid:254)(cid:74)(cid:139)(cid:140)(cid:100) (cid:26) x2 y2 23(cid:26)(cid:27)2024·(cid:225)(cid:231)(cid:241)(cid:183)·(cid:176)(cid:211)(cid:32)(cid:60)(cid:61)(cid:41)F(cid:100)(cid:34)(cid:35)(cid:36) - =1(a>0,b>0)(cid:37)(cid:38)(cid:40)(cid:41)(cid:45)(cid:41)E(cid:100)(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:138)(cid:41)(cid:45) a2 b2 (cid:46)(cid:41)F (cid:79)(cid:108)(cid:52)(cid:50)x(cid:51)(cid:37)(cid:52)(cid:36)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:53)(cid:50)A,B(cid:54)(cid:41)(cid:45)(cid:55)ÐAEB<120°(cid:45)(cid:56)(cid:253)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:37)(cid:254)(cid:74)(cid:139)(cid:140) (cid:44) (cid:26)