文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（新高考通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4． ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教
堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，
若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
下支的一部分，离心率为 ，则该双
曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知棱长为2的正方体的几何中心为 ，平面 与以 为球心的球相切，若 截该正方体所得多边形始
终为三角形，则球 表面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若曲线 与 有公共的切线，则 的最大值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．防溺水安全教育不仅是为了防止学生在游泳时发生意外，更是为了提高学生的安全意识和自我保护能
力，为此某校组织了“防溺水安全知识”答题比赛，并对参赛的200名学生的成绩进行了统计，得到如图
所示的频率分布直方图，其中分组区间分别为 ，则（同一组中的
数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A．这200名参赛学生的成绩的上四分位数为82.5分
B．这200名参赛学生的成绩的平均值为76.5分
C．这200名参赛学生的成绩不低于80分的频率为0.03
D．若用分层抽样的方法从参赛学生中抽取一个容量为40的样本，则成绩在 之间的应抽取20
人
10．如图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．
B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上单调递增
D． 的图象向左平移 个单位长度后为奇函数
11．已知抛物线 的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且 的最小值为1，M是线段AB
的中点， 是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若 ，则M到x轴距离为4
C．若 ，则
D． 的最小值为4
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．已知向量 ， ，若 ，则 ．
13．北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不
仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点 ， ， ， ， ， ， 表示某季节的北
斗七星，其中 ， ， ， 看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所
作的不同三角形的个数为 .
14．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则 的值为 ，
的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知正项等差数列 的公差为2， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前10项和 ．
16．（15分）
某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种
无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概
率分别为 和 ，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标 ，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
2 4 5 6 8
3 4 4 4 5
试求 与 之间的相关系数 ，并利用 说明 与 的线性相关程度．
（若 ，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，
则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的
次数的数学期望．
附 ．
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学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
已知四棱锥 ， 平面 ，底面 是矩形， ， ， ， 分别是
与 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18．（17分）
已知点 是圆 ： 上的一动点，点 ，点 在线段 上，且满足
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知 ，设过点 的一条直线与 交于 ， 两点，且与线段 交于点 ．
（ⅰ）证明： 到直线 和 的距离相等；
（ⅱ）若 的面积等于 的面积，求 的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
已知函数
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)若 讨论函数 在 上零点的个数；
(3)当 时，设 ，当 时， ，求 的取值范围.
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