文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
3．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ）
①若 ，则 为异面直线 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
⑤若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ）
①若样本数据 ， ，…， 的方差为4，则数据 ， ，…， 的标准差为4；
②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1；
③若事件 ， 满足 ，则事件 与事件 相互独立；
④某医院住院的 位新冠患者的潜伏天数分别为 ，则该样本数据的第 百分位数为 ．
A．只有一个正确 B．只有两个正确
C．只有一个错误 D．四个题是错误的
6．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若函数 （ ， ， ）的图象上有两个相邻顶点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司.将 的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 个单位后得 ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
9．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．已知复数 为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ．
11． 的展开式中的常数项为 ．
12．已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两点，则弦长 的取值范围是
.
13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为 ， 且甲乙射
击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为 ；若
恰好被两人击中，则被击落的概率为 ，那么无人机被击落的概率为
14．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， ，则
； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司15．已知函数 ，若 有6个零点，则实数m的取值
范围为 .
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
17．如图，在三棱柱 中， 平面 ，且 ， ， ， 分别为 ， ， ，
的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
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学科网（北京）股份有限公司18．椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，其中 ， 为原点．椭圆上任意一点到
， 距离之和为 ．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点 的直线 交椭圆于 、 两点， 面积为 ，求 的方程．
19．已知数列 满足：① ， 是 的前n项和；②对于 ，从集合 中
不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 ， ，…，
；③ ， ，…， 与 ， ，…， 一起恰好组成数列
．
(1)求 ， 的值．
(2)（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）对于数列 ，若 ， ，证明：当 时， ．
20．已知函数 是函数 的导函数，且 ．
(1)求 ；
(2)若 在区间 内单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，证明：
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