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考点巩固卷 13 等时圆模型与斜面中的临界问题
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考点序号 考点 题型分布
考点1 等时圆模型 4单选+1多选
考点2 斜面模型中的临界问题 2单选+2多选+1解答
考点01：等时圆模型（4单选+1多选）
一、单选题
1．（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，竖直平面内固定一个光滑绝缘圆环，圆心为O，光滑绝缘
轻杆AC是圆环的直径，光滑绝缘轻杆AB是圆环的弦，AC、AB与水平方向的夹角分别为45°和60°，圆环
所在空间有匀强电场（图中未画出）。质量均为m的带电小球（可视为质点）穿在杆AB、AC上，分别从
B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点所用的时间相等。不考虑两小球间的影响，则（ ）
A．小球一定都带负电
B．圆周上C点电势一定最高
C．电场强度方向一定由C指向A
D．小球受到的电场力大小可能等于重力大小
【答案】D
【详解】ABC．小球分别从B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点的时间相等，圆环为等时圆，A点为等效
最低点，重力与电场力的合力一定沿CA方向，电场方向未知，故ABC错误；
D．当电场方向水平、小球受到的电场力水平向左时，小球受到的电场力大小等于重力大小，故D正确。
故选D。
2．（2023·陕西渭南·统考一模）如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位于同一
圆周上，OB为圆的直径。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），两个滑环都从O点无初速释放，
用t、t 分别表B示滑环到达A、B所用的时间，则（ ）
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．无法比较t、t 的大小
1 2
【答案】C
【详解】如图所示
以O点为最高点，取合适的直径做等时圆，由图可知，从O到C、B时间相等，比较图示位移
可得
故选C。
3．（2023·高三课时练习）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是
下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上
下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至
底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．t ＝t ＝t B．t ＞t ＞t
AB CD EF AB CD EF
C．t ＜t ＜t D．t ＝t ＜t
AB CD EF AB CD EF
【答案】B
【详解】如图所示，过D点作OD的垂线与竖直虚线交于G，以OG为直径作圆，可以看出F点在辅助圆
内，而B点在辅助圆外，由等时圆结论可知
t ＞t ＞t
AB CD EF
故选B。
4．（2023·高三课时练习）如图所示，在竖直平面内有一矩形，其长边与一圆的底部相切于O点，现在有
三条光滑轨道a、b、c，它们的上端位于圆周上，下端在矩形的底边，三轨道都经过切点O，现在让一物
块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端(轨道先后放置)，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间
关系为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．t＞t ＞t B．t＜t ＜t
a b c a b c
C．t＝t ＝t D．无法确定
a b c
【答案】B
【详解】设上面圆的半径为r，矩形宽为R，则轨道的长度
下滑的加速度
根据位移时间 公式得
因为轨道a、b、c与圆竖直直径的夹角由小至大，所以有
t＞t＞t
c b a
故选B。
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到
底端，其运动时间分别为 ，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜
面水平底端的长度为 ，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】1号小球的加速度为
位移为
运动时间为
2号小球的加速度为
位移为
运动时间为
3号小球的加速度为
位移为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】运动时间为
4号小球的加速度为
位移为
运动时间为
则
故选BC。
考点02：斜面模型中的临界问题（2单选+2多选+1解答）
一、单选题
1．（2023·高三课时练习）倾角为θ=45 外表面光滑的楔形滑块M放在水平面AB上，滑块M的顶端O处
°
固定一细线，细线的另一端拴一小球，已知小球的质量为 kg；当滑块M以a=2g的加速度向右运动时，
则细线拉力的大小为（取g=10m/s2）（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．10N B．5N
C． D．
【答案】A
【详解】当小球对滑块的压力等于零时，对小球受力分析，受重力、拉力，如图1所示；
根据牛顿第二定律
水平方向
F =Fcos45°=ma
合 0
竖直方向
Fsin45°=mg
解得
a=g
0
当斜面体以a=2g的加速度向左运动时，对小球受力分析如图2，由于a=2g＞g，所以小球会飘起来，假设
T与水平面夹角为α，根据牛顿第二定律，有：
Tcos =ma
Tsinα=mg
解得 α
T=10N
所以A正确，BCD错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选A。
2．（2023·河北邯郸·校考三模）卡车沿平直公路运输质量为m的匀质圆筒状工件，将工件置于两光滑斜面
之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为 和 。重力加速度为g，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ
压力的大小分别为F、F。则（ ）
1 2
A．当卡车匀速行驶时F= mg B．当卡车匀速行驶时F= mg
1 2
C．卡车安全启动的最大加速度为 g D．卡车安全刹车的最大加速度为 g
【答案】C
【详解】AB．将重力进行分解如图所示，根据几何关系可得
故AB错误。
C．当匀质圆筒状工件对斜面Ⅱ压力为0时，启动加速度最大，则有
得
故C正确；
D．当匀质圆筒状工件对斜面I压力为0时，刹车加速度最大，则有
得
故D错误。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选C。
二、多选题
3．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，在水平地面上有一倾角为θ，表面光滑的斜面体。在斜面体顶端固
定一与斜面垂直的挡板，用质量不计的细线系着一个质量为m的小球。现对斜面体施加一水平方向的外力
F，使斜面体做加速度大小为a的匀加速直线运动。已知 ，重力加速度大小为g，则（ ）
A．若斜面体以加速度 向右加速运动时，小球对滑块压力为零
B．若斜面体以加速度 向右加速运动时，线中拉力为
C．当斜面体以加速度 向右加速运动时，线中拉力为
D．当斜面体以加速度 向左加速运动时，线中拉力为零
【答案】BCD
【详解】A．若斜面体以临界加速度向右加速运动时，小球对滑块压力为零，则小球只受到重力和细线的
拉力，将细线拉力正交分解后有
又由牛顿第二定律有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入数据解得小球刚好离开斜面的零临界加速度为
若斜面体以加速度 向右加速运动时，此时向右的加速度小于临界加速度，则小球对滑块压斜面仍然
有压力，故A错误；
B．若斜面体以加速度 向右加速运动时，由牛顿第二定律有水平方向的合力大小为
对小球受力分析可知，小球受力分析如下
水平和竖直方向分别满足如下关系
代入数据解得细线的拉力大小为
故B正确；
C．当斜面体以加速度 向右加速运动时，超过临界加速度，小球离开斜面，由牛顿第二定律有水平
方向绳子的分力大小为
由勾股定理可知线中拉力为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故C正确；
D．若斜面体以临界加速度向左加速运动时，细线对小球的拉力为零，则小球只受到重力和斜面的支持力，
将支持力正交分解后如图所示
满足
又由牛顿第二定律有
代入数据解得细线刚好没有拉力的零临界加速度为
当斜面体以加速度 向左加速运动时，可知超过临界加速度，细线对小球没有拉力，故D正确。
故选BCD。
4．（2023春·全国·高三专题练习）如图，斜面B放置在粗糙水平面上，物块A放置在斜面B上，在力F的
作用下使AB一起向左做匀加速直线运动，现将作用在B上的外力F增大一点，关于物块A与斜面B受的摩
擦力说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．斜面B对A的摩擦力可能增大，地面对B的摩擦力增大
B．斜面B对A的摩擦力可能减小，地面对B的摩擦力不变
C．斜面B对A的摩擦力可能增大，地面对B的摩擦力不变
D．斜面B对A的摩擦力可能不变，地面对B的摩擦力减小
【答案】BC
【详解】无论外力F多大，则对AB的整体而言，整体对地面的压力不变，则地面对B的摩擦力不变；
设整体水平加速度为a，若开始时物块A由相对斜面向上运动的趋势，则A受B的摩擦力沿斜面向下，根
据牛顿第二定律
将作用在B上的外力F增大一点，则加速度a变大，则斜面B对A的摩擦力增大；若开始时物块A由相对
斜面向下运动的趋势，则A受B的摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律
将作用在B上的外力F增大一点，则加速度a变大，则斜面B对A的摩擦力减小。
故选BC。
三、解答题
5．（2023·福建·模拟预测）某游乐项目可简化为利用纸带把滑块拉到平台上，如图所示。光滑固定斜面的
倾角 ，长度L＝1.44m，纸带平铺在斜面上，下端与斜面底端对齐。可视为质点的滑块放在纸带上
静止在斜面正中间，滑块与纸带间的动摩擦因数 ，重力加速度 ， 。现用力沿
斜面向上匀加速拉动纸带。
（1）若在滑块到达斜面顶端前纸带被拉出，试计算拉动纸带的加速度不得小于多少；
（2）若滑块能运动到平台上，试计算拉动纸带的加速度不得超过多少。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设纸带加速度为 时，滑块到达斜面顶端时纸带恰好被拉出，滑块加速度为
对滑块，由牛顿第二定律有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】滑块位移
纸带位移
联立可得
若在滑块到达斜面顶端前纸带被拉出，拉动纸带的加速度不得小于
（2）设纸带加速度为 时，滑块先以加速度 加速，离开纸带后在斜面上以加速度大小 减速，到达斜
面顶端时速度恰好减到0
对滑块，由牛顿第二定律有
设滑块加速时间为 ，减速时间为 ，最大速度为
由平均速度位移公式，有
又有
，
可得
由位移关系，有
可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】若滑块能运动到平台上，拉动纸带的加速度不得超过
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