专题07函数中的双变量问题（原卷版）_新高考复习资料_2024年新高考资料_专项复习资料_学霸养成2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题 7 函数中的双变量问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导 数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函 数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决. 二、解题秘籍 (一) 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有 的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利 用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意 ,当 时恒有 ,则 在D上是增函数； (2)若对任意 ,当 时恒有 ,则 在D上是增函数； (3)若对任意 ,当 时恒有 ,则 在D上是增函数； (4)若对任意 ,当 时恒有 ,则 在D上是增函数. 【例1】（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期第一次调研）已知函数 ． (1)求 的单调区间； (2)存在 且 ，使 成立，求 的取值范围． 【解析】（1）由题意得 ，令 得 ， 时， ， 在 上单调递增； 时， ， 在 上单调递减； 综上， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．（2）由题意存在 且 ，不妨设 ， 由（1）知 时， 单调递减． 等价于 ， 即 ， 即存在 且 ，使 成立． 令 ，则 在 上存在减区间． 即 在 上有解集，即 在 上有解， 即 ， ； 令 ， ， ， 时， ， 在 上单调递增， 时， ， 在 单调递减， ∴ ，∴ ． (二) 与极值点有关的双变量问题 与极值点 有关的双变量问题,一般是根据 是方程 的两个根,确定 的关系,再通过消 元转化为只含有 或 的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为 的齐次式,然后转化 为关于 的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式. 【例2】（2024届福建省福州第一中学高三上学期质量检查）已知函数 ． (1)若 ， ，求实数a的取值范围； (2)设 ， 是函数 的两个极值点，证明： ．【解析】（1）当 时， ，在 时， ， 单调递减， 又 ，所以 ，不满足题意； 当 时， ， 若 ，即 时， ， 在 上单调递增， 又 ，所以 ，满足题意； 若 ，即 时， 令 ，可得 ， ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 而 ，所以 ， 不满足 在 上 . 综上所述， ； （2）当 时， 由 得 ， 单调递减，无极值，不满足题意； 当 时， ， 若 ，即 时， ， 在 上单调递增， 无极值，不满足题意； 若 ，即 时，令 ，可得 ， ，此时 ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 为极大值， 为极小值， 且 ， ， ， 要证 ，即证 ， 即 ， 即证： ， 即证： 则 ， 因为 ， 故 在 上为减函数，故 ， 故 成立，故 . 【例3】（2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数 . (1)当 时，试讨论函数 的单调性； (2)设函数 有两个极值点 ，证明： . 【解析】（1）当 时， 定义域为 ， ， 令 解得 或 ，且当 或 时， ，当 时， ， 所以当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 综上 在区间 ， 上单调递增， 在区间 单调递减. （2）由已知 ，可得 ， 函数 有两个极值点 ，即 在 上有两个不等实根， 令 ，只需 ，故 ， 又 ， ， 所以 ， 要证 ，即证 ， 只需证 ，令 ， ， 则 ， 令 ，则 恒成立， 所以 在 上单调递减， 又 ， ， 由零点存在性定理得， 使得 ， 即 ， 所以 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 则 ， 又由对勾函数知 在 上单调递增， 所以 所以 ，即 得证. (三) 与零点有关的双变量问题 与函数零点 有关的双变量问题,一般是根据 是方程 的两个根,确定 的关系,再通过 消元转化为只含有 或 的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为 的齐次式,然后转 化为关于 的函数,有时也可转化为关于 的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以 参数为自变量的函数. 【例4】已知函数 ． (1)当 时，求 的单调区间；(2)若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ． ①求实数a的取值范围； ②证明： ． 【解析】 (1)当 时，函数 ，定义域为 ． ． 由 ，得 ． 当 时， ，当 时， ， 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． (2)①若函数 在定义域内有两个不相等的零点 ， 则方程 有两个不等的实根． 即方程 有两个不等的实根． 记 ，则 ， 记 ，则 在 上单减，且 ， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 单调递减． ∴ ． 又∵ 且当 时， ， ∴方程为 有两个不等的实根时， ． ∴当 时函数 在定义域内有两个不相等的零点 ． ②要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 因为 ，两式相减得：． 整理得 ． 所以只需证 ， 即证 ， 即 ，不妨设 ，令 ， 只需证 ， 只需证 ， 设 ， 只需证当 时， 即可． ∵ ， ∴ 在（ 单调递减， ∴当 时， ， ∴ 在 单调递增，当 时 ， ∴原不等式得证． 明. (四) 独立双变量,各自构造一元函数 此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解. 【例5】（2024届陕西省宝鸡实验高级中学高三一模）已知函数 ， 是自然对数的底数. (1)当 时，求整数 的值，使得函数 在区间 上存在零点； (2)若存在 使得 ，试求 的取值范围.【解析】（1） ， ， 当 时， ， ，故 是 上的增函数， 同理 是 上的减函数， ，且 时， ， 故当 时，函数 的零点在 内， 满足条件． 同理，当 时，函数 的零点在 内， 满足条件， 综上 ． （2）问题 当 时， ， ， ①当 时，由 ，可知 ； ②当 时，由 ，可知 ； ③当 时， ， 在 上递减， 上递增， 时， ， 而 ，设 （仅当 时取等号）， 在 上单调递增，而 ， 当 时， 即 时， ， 即 ， 构造 ，易知 ， 在 递增， ，即 的取值范围是 ． (五) 构造一元函数求解双变量问题 当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一 个变量,从而达到消元的目的. f(x)exln(1x) 【例6】已知函数 ．y f(x) (0, f(0)) (1)求曲线 在点 处的切线方程； g(x) f(x) g(x) [0,) (2)设 ，讨论函数 在 上的单调性； s,t(0,) f(st) f(s) f(t) (3)证明：对任意的 ，有 ． f(x)exln(1x) f 00 【解析】 (1)解：因为 ，所以 ， 0,0 即切点坐标为 ， 1 f(x)ex(ln(1x) ) 又 ， 1x ∴切线斜率k  f(0)1 yx ∴切线方程为： 1 (2)解：因为 g(x) f(x)ex(ln(1x) ) ， 1x 2 1 g(x)ex(ln(1x)  ) 所以 ， 1x (1x)2 2 1 令h(x)ln(1x)  ， 1x (1x)2 1 2 2 x21 h(x)    0 则 1x (1x)2 (1x)3 (1x)3 ， ∴h(x)在[0,)上单调递增， ∴h(x)h(0)10 ∴g(x)0在[0,)上恒成立， g(x) [0,) ∴ 在 上单调递增. f(st) f(s) f(t) f(0) (3)解：原不等式等价于 ， 令m(x) f(xt) f(x)，(x,t 0)， 即证m(x)m(0)， m(x) f(xt) f(x)extln(1xt)exln(1x) ∵ ， ext ex m(x)extln(1xt) exln(1x) g(xt)g(x)， 1xt 1x1 由（2）知 g(x) f(x)ex(ln(1x) ) 在0,上单调递增， 1x ∴g(xt)g(x)， m(x)0 ∴ m(x) 0, x,t 0 ∴ 在 上单调递增，又因为 ， m(x)m(0) ∴ ，所以命题得证. (六) 独立双变量,把其中一个变量看作常数 若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量 a 【例7】已知函数 f(x)xln (a0)， x gxex x0 f(x) (1)若函数 在 处的切线也是函数 图像的一条切线，求实数a的值； f(x) xy10 (2)若函数 的图像恒在直线 的下方，求实数a的取值范围； a a (3)若 x 1 ,x 2 ( e , 2 ) ，且x  x ，证明：(x x )4>a2xx 1 2 1 2 1 2 gxex gx x0 k g01 g01 l:yx1 【解析】 (1) ， 在 处切线斜率 ， ，所以切线 ， 又 fxln a x 1 ，设 l 与 f x相切时的切点为    x 0 ,x 0 ln x a 0   ，则斜率 k  fx 0 ln x a 0 1 ，  a  a  a  yln 1 xx x ln ln 1xx 则切线l的方程又可表示为  x  0 0 x  x  0， 0 0 0  a ln 11  x 0 由 ，解之得 ． x 1 ae2 0 a (2)由题可得 f xx10对于 恒成立，即xln x10对于 恒成立， x0 x x0 a a a 令hxxln x x1，则hxln x 2，由hx0得x e2 ， a  a  a  x 0,   ，  e2  e2 e2  hx + 0  hx ↗ 极大值 ↘ 则当x0时， hx max h   e a 2     e a 2 1 ，由 e a 2 10 ，得：0ae2，即实数a的取值范围是  0,e2 ． a fxln 1 (3)由题知 ， x a a a 由 fx0得x ，当 xa时， fx0， f xxln a0 单调递减， e e x a a 因为 x x x a ，所以 f x  f x x ，即x 1 ln x x 1 x 2 ln x x ， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a x x a a x x a 所以ln  1 2 ln ，①同理ln  1 2 ln ，② x x x x x x x x 1 1 1 2 2 2 1 2 a a x x x x  a ln ln  1 2  1 2 ln ①+②得 x x  x x  x x ， 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 因为 1 2  1 2 2 2  1 4， x x x x 1 2 1 2 a a 由 得 1，即ln 0， x x a x x x x 1 2 1 2 1 2 4 a a a a2  a  所以 ln x ln x 4ln x x ，即xx  x x   ，所以x x 4 a2xx ． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (七) 双变量,通过放缩消元转化为单变量问题 此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题 【例8】（2023届湖北省武汉市江汉区高三上学期7月新起点考试）已知函数 . (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)设 是函数 的两个极值点. ①求实数a的取值范围；②求证： . 【解析】（1）当 时， ， 当 时， ，当 时， 单调递增，且 ， 时， ， 时， ，所以 时， ，∴ 的单调递减区间为（－∞，1），递增区间为（1，+∞）. （2）①∵函数 有两个极值点，∴方程 ，即 有两个解.令 ，则 的图象与 的图象有两个交点.而 当 时， ， 递减，；当 时， ， 递增，∴ 又∵ 时， ； 时， ，∴ 当 时，g（x）单调递减，且 ；当 时，g（x）单调递增，且 ∴ 的图象与 的图象有两个交点的充要条件是 故a的取值范围为（－ ，0）②不妨 设 是 的两个极值点，且 ，由①可知 ， 或 时， ， 时， ，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.∵ ，∴ ∴ （ 是极大值），∴ 要证 ，只需证 设 ，其中 ，则 ，令 ，则 ，令 ， ，∴ 在（－1，+∞）上单调递增.∵ .∴ ∴t（x）在（－1，+∞）上单调递增，∴ ，即 ∴h（x）在（－ 1，+∞）上单调递增，∴ ，又 ，∴ 故 ． 三、典例展示 【例1】（2024届湖北省武汉市部分学校高三上学期九月调研）已知函数 ． (1)若 ，求 的单调区间； (2)若 ， ，且 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最 小值． 【解析】（1） 时， ， ， 令 ，可得 或 ， 当 或 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减. 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减. （2） ， 令 ，可得 . 由题意可得， 是关于 的方程 的两个实根，所以 . 由 ，有 ， 所以 . 将 代入上式，得 ， 同理可得 . 所以 ①. 令 ，①式化为 ， 设 ，即 ， 则 ， 记 ，则 . 记 ，则 ， 所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 ， 在 上单调递增，所以 . 所以 ， 在 上单调递减. 又， 当且仅当 且 ，即 时， 取到最大值 ，即 的最大值为2. 因为 在 上单调递减，所以 . 所以 的最小值为 . 【例2】（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知函数 ， 为 的导函数， (1)当 时， （i）求曲线 在 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间； (2)当 时，求证：对任意的 ，有 . 【解析】（1）（i）当 时， ， 则 ， ， 所以 在 处切线的斜率 ， 所以切线方程为 . （ii）由（i）可知 ，所以 ， 令 解得 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由题意可知 ， ， 对任意的 ，令 ， ， 则 ①， 令 ， ， 当 时， ， 由此可得 在 上单调递增，所以当 时， ，即 ， 因为 ， ， ， 所以 ②，由（1）（ii）可知当 时， ，即 ， 故 ③， 由①②③可得 ， 所以当 时，对任意的 ， . 【例3】（2023届内蒙古乌兰察布市高三上学期期中）设函数 ， (1)试讨论函数 的单调性； (2)如果 且关于 的方程 有两个解 ，证明： . 【解析】（1） 的定义域为 ， ∴ ， 令 ，解得 ，或 ， 当 时，则当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上为减函数，在 上为增函数， 当 时，则当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上为减函数，在 上为增函数， 当 时， 恒成立，即 在 上是增函数， 综上可得，当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数， 当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数， 当 时， 在 上是增函数，（2）证明： 当 且关于 的方程 有两个解 等价于当 存在 ， 由（1）当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数， 不妨设 ， 设 ， ， ∴ ∴ 在 上单调递减，∴ ， 即当 时， ， 由于 ，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， 又 ， ， 在 上为增函数， ∴ ，即 . 【例4】已知函数 ， . (1)讨论 的单调性； (2)任取两个正数 ，当 时，求证： . 【解析】 (1) . 当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 .所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 . 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增. 当 ，即 时，令 ，得 或 ；令 ，得 . 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 综上所述， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； (2)证明：由题意得， . 要证 ， 只需证 ， 即证 ， 即证 . 令 ，所以只需证 在 上恒成立， 即证 在 上恒成立. 令 ，则 ， 令 ，则 . 所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减， 所以 ，所以 在 上单调递增， 所以 . 所以 . 【例5】已知 （1）求 的取值范围； （2）若 ,证明： ； （3）求所有整数 ,使得 恒成立.注： 为自然对数的底数. 【解析】（1）当 时,有 与 矛盾； 当 时,有 与 而 ,与 矛盾； 当 时,有 则 ,由 得 ,所以 ； 综上所述： ； （2）设 ,则 ,当 时, ,则 在 上递增, 由于 得 ,即 ,由（1）知 ,又 , 故要证 即证 即证 且①要证 ,需证 ,即证 需证 ,设 ,需证 由 ,又 ,所以 所以 在 单调减,则 ,所以 成立,则 成立； ②要证 ,由于 ,则 需证 ,即证 需证 ,设 ,需证 由 , 又 , , 故有 , ,所以 在 单调减,在 单调增 又 , 所以 ,则 ,得 所以 成立； （3）因为 , 所以由 设 ,由 ,得 在 上单调减,在 上单调增 又因为 则 所以 由 恒成立,所以 的值可以是 四、跟踪检测 1．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知函数 有两个极值点 ． 其中 ， 为自然对数的底数． (1)求实数 的取值范围； (2)若 恒成立，求 的取值范围． 2．（2024届贵州省思南中学高三上学期第二次月考）已知函数 ． (1)讨论 的单调性． (2)若有两个不相等的实数 满足 ，求证： ． 3．（2024届重庆市拔尖强基联盟高三上学期九月联考）已知函数 是定义域上 的奇函数，当 时， 的最小值为4. (1)求实数 的值; (2)令 ，对 ，都有 ，求实数 的取值范围.4．（2024届重庆市渝北中学高三上学期8月月考）已知函数 ， ． (1)当 时，求函数 的极值； (2)若任意 、 且 ，都有 成立，求实数 的取值范围． 5.（2024届江西省赣州市第四中学高三上学期开学考）设m为实数，函数 . (1)当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值； (2)已函数 有两个不同的零点 ， （ ），若 ，且 恒成立， 求实数 的范围. 6.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知函数 ， ，若曲线 与 相切. (1)求函数 的单调区间； (2)若曲线 上存在两个不同点 ， 关于y轴的对称点均在 图象上. ①求实数m的取值范围； ②证明： . 7.（2023届广东省华南师范大学附属中学高三三模）已知函数 ， . (1)讨论 零点的个数； (2)当 时，若存在 ，使得 ，求证： . 8.（2023届安徽省五校高三5月联考）已知正实数 ，函数 ， ，为 的导函数. (1)若 ，求证： ； (2)求证；对任意正实数m，n， ，有 .  1 9.（2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期入学摸底考试）已知函数 f xalnxx   a e  （e是自然 对数的底数）. x 1 2x x (1)若x,x （ 0x x ）是函数 y f x 的两个零点，证明：lnx 2 1 ； 1 2 1 2 1 a2 k 0 ymkx2 y f x (2)当 时，若对于 ，曲线C： 与曲线 都有唯一的公共点，求实数m的取值范 围. a 10.已知函数 f x2lnx 1． x2 f x (1)讨论 的单调性； 1 1  2f x  (2)若 f x 有两个不同的零点x,x ，x 为其极值点，证明：x2 x 2 0 . 1 2 0 1 2