文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． 1 C． 2 D．
2．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：
9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85百分位数为18 B．众数为12
C．中位数为17 D．平均成绩为14
4．已知向量 , 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．当 时，方程 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．若抛物线 的准线为直线 ，则 截圆 所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 纸的长宽比约为 ．现将一张 纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等
于 纸的长时，设其体积为 ，轴截面的面积为 ；当该圆柱的高等于 纸的宽时，设其体积为 ，轴
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学科网（北京）股份有限公司截面的面积为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知一组数据 ， ， ， 的方差为3，则 ， ， ， 的方差也为3
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则
实数m的值是
C．已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则
D．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则
10．已知数列 是首项为2的等比数列，其前 项和为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． ， D．
11．定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，且 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C． 在 上单调递减
D．不等式 的解集为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两
次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 ，则小明通过测试的概率为__________.
14．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上三个不同的点，直线 的方程
为 ，且 的平分线经过点 ，设 内切圆的半径分别为 ，则
__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 的长为2，求 的最大值，并求此时 的值．
16．（15分）底面为菱形的四棱锥 中， 与 交于点 ，平面 平面 ，平面
平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映
了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、
自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高
DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选
取2人，记 表示选取的2人中来自 部门的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每
轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
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学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员
工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本
和费用．试估计该公司 两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）．
18．（17分）已知 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）设 的导函数为 ，求 的单调区间；
（3）证明：当 时， .
19．（17分）已知抛物线 的焦点为F，在第一象限内的点 和第二象限内的点
都在抛物线C上，且直线 过焦点F．按照如下方式依次构造点 ：过点
作抛物线C的切线与x轴交于点 ，过点 作x轴的垂线与抛物线C相交于点 ，设点 的坐标为
．用同样的方式构造点 ，设点 的坐标为 ．
（1）证明：数列 都是等比数列；
（2）记 ，求数列 的前n项和 ；
（3）证明：当 时，直线 都过定点．
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