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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A A B D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD AC AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．2 13． 14． /
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】（1）由题意可得 ，解得 ；..........................................................................1分
（2）零假设 ：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到： ，.......................3分
根据小概率值 的 独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即“樱花迷”与性别无关联；..........................................................................................................................5分
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故 的可能取值为0，1，2，
则 ，..................................................7分
所以 的分布列为
0 1 2
.............................................................................................................................................................................11分
故 ................................................................................................................13分16．【详解】（1）由 有 ，
所以 ，又 ， ，解得 ，
又因为 ，即 ，.......................................3分
所以数列 是以公差为3，首项为 的等差数列，
所以 ，........................................................................................................................6分
（2）由（1）有 ，
所以 ，........................8分
上式相加有 ，
所以 ，
所以 ；...................................................................................................................................10分
（3）由（2）有 ，
所以 ，...............................................................................................................12分
所以
，
所以 ...................................................................................................................................15分
17．【详解】（1）在平面 内作 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，..................................................................................................................................2分
所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
， ，设 ，
，
， ， 共面， 存在实数 ， ，使得 ，................................................4分
即 ，
所以 ，解得 ，所以 ；...............................................................................7分
（2）设平面 的法向量为 ，
，解得 ，令 得 ，
，.................................................................................................................................................9分
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，解得 ，令 得 ，
，.................................................................................................................................................11分
设平面 和平面 所成的角为 ，
，
整理得 ， ， ，....................................................................................................13分， ，
故点 到平面 的距离为 ．............................................................................................................15分
18．【详解】（1）由已知得 ， ，则 ，
故椭圆的标准方程为 ．...................................................................................................................3分
（2）
如图，设过点 ， 的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，
利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形 的面积是 面积的一半．........5分
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l： ，
代入E： ，整理得 ，显然 ，..........................................................7分
设 ， ，则 ，..............................................................................................9分
于是，
，...............................................................................................................11分
点 到直线l： 的距离为 ，
则四边形 的面积为 ，...................................14分
令 ，则 ，且 ，代入得， ，当 时，等号成立，此时 ．......................................................................................................17分
19．【详解】（1）对于 ，
定义域 ，找一个 值代入看函数值正负.
取 ， .因为 在 取合适值时能使 ，所以 不
是定义域上“非负函数”. .............................................................................................................2分
对于 ，
定义域 ，先求导 .令 ，即 ，解得 .
当 ， ， 递减；当 ， ， 递增.
所以 在 取最小值 ，故 是 上“非负函数”.........................5分
（2）要使 在 上为“非负函数”，则 在 恒成立.
求 ，令 ， ，再令 ， .
当 ， ，所以 在 递减，且 .
当 ， ， 递增；当 ， ， 递减. .....................8分
， ， ，所以 在 递减.
，解得 .............................................................................11分
（3）由 ，移项得 ，得 .
把 代入 ，有 . ............................................................13分
因为 ，两边乘 再加 ，得 .
当 ， ； ， ； ； ， . ..............15分
把这些不等式相加：
左边是 ，右边 .
综上，证得 .........................................................................................17分
