文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知全集 （ 是自然数集），集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设 是定义域为 的偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．过原点 作直线 的垂线，垂足为P，则P到直线 的距离
的最大值为
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知向量 ， ，定点 的坐标为 ，点 满足
，曲线 ，区域 ，曲
线 与区域 的交集为两段分离的曲线，则
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
8．若 ， ， ∈ ，且 ， ∈（ ， ）， ∈ ，则 的值是（ ）
+ x y z
x y z R 3=4 =12 n n+1 n N n
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
2 3 4 5
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与面 平行 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面 垂直
10．设抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于 的直线交 于
E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
11．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
13．若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ．
14．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为
手机（含荣耀）在中国市场占有率接近 ！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，
于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30
岁以上为“非年轻用户”.
购买华为 购买其他 总计
2 / 4
学科网（北京）股份有限公司年轻用户 28
非年轻用户 24 60
总计
附： .
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）将列表填充完整，并判断是否有 的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非
年轻用户的概率.
16．（15分）记数列 的前 项和为 .
(1)设 ，若 ，求 的通项公式；
(2)记 ，设 ，求 .
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，平面
底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为棱 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）若二面角 大小为 ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）已知椭圆 的左，右焦点分别 为椭圆 上任意一点，
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为圆 上任意一点，求 的最小值；
(3)已知直线 与 轴交于点 ，且与椭圆 交于 两点， 为坐标平面内不在直线 上
的动点，若直线 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 在定直线 上，并求直线 的方程.
19．（17分）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，（i）求 的最小值；（ii）证明： ．
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