文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案:D
详解:解：因为 ， ，
所以 .
故选：D.
2．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
答案:B
详解:对于充分性：当 ， 时，满足 ，
不满足 且 ，故充分性不成立，
对于必要性，当 且 时，满足 ，故必要性成立，
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学科网（北京）股份有限公司则“ ”是“ 且 ”的必要非充分条件，故B正确.
故选：B
3．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
答案:B
详解: 的定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，图象关于 轴对称，故C错误；
当 时， ，故D错误；
，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，再根据对称性，故B正确.
故选：B.
4．设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（ ）
①若 ，则 为异面直线 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司⑤若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
答案:C
详解:对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得 ，再根据 ，可得 ，故③正确；
对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
对⑤：若 ，则存在 且 ，
因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，故⑤正确.
故选：C.
5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（ ）
①若样本数据 ， ，…， 的方差为4，则数据 ， ，…， 的标准差为4；
②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1；
③若事件 ， 满足 ，则事件 与事件 相互独立；
④某医院住院的 位新冠患者的潜伏天数分别为 ，则该样本数据的第 百分位数为 ．
A．只有一个正确 B．只有两个正确
C．只有一个错误 D．四个题是错误的
答案:B
详解:对于命题①，因为样本数据 ， ，…， 的方差为4，则数据 ， ，…， 的方差
为 ，
标准差为 ，所以命题①正确，
对于命题②，相关关系越强，相关系数 越接近于1，所以命题②错误，
对于命题③，因为 ，得到 ，
则事件 与事件 相互独立，所以命题③正确，
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学科网（北京）股份有限公司对于命题④，将数据 从小排到大得到 ，
又 ，所以该样本数据的第 百分位数为 ，故命题④错误，
故选：B.
6．函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
答案:C
详解:函数 在 上都单调递增，则函数 在定义域 上单调递增，
而 ， ，
所以 的零点所在区间为 .
故选：C
7．已知数列 满足 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案:D
详解:依题意， ，故数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
则 ．因为 ，故 ，则 ．
故选：D.
8．若函数 （ ， ， ）的图象上有两个相邻顶点为 ，
.将 的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 个单位后得 ，则 为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
答案:C
详解:函数 的图象上有两个相邻顶点为 ， ，所以
最高点坐标为 ，最低点坐标为 ，
所以函数的周期为 ，
又因为函数过 可得 ，所以 ，
， ，
的解析式为 ，
将 的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 个单位后得
，
所以 .
故选：C
9．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一条渐
近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
答案:C
详解:
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学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，双曲线的渐近线方程为 ，
如图，不妨设点 在直线 上，
即点 在直线 上，则 ，
在直角 中， ，
所以 ，故 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，故椭圆 的离心率 .
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．已知复数 为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ．
答案:
详解: ，因 为纯虚数，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
故答案为：
11． 的展开式中的常数项为 ．
答案:
详解: 的展开式的通项公式为 ，
，
令 ，则 ，所以展开式中常数项为 .
故答案为： .
12．已知直线l： 与圆C： 相交于A，B两点，则弦长 的取值范围是
.
答案:
详解:由直线l： ，得直线l恒过定点 ，
由圆C： ，得 ，圆心 ，半径为 ，
又 ，即点 在圆内，
当直线l经过圆心 时， ，
当直线 时， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为 ， 且甲乙射
击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为 ；若
恰好被两人击中，则被击落的概率为 ，那么无人机被击落的概率为
答案: 0.7 0.22.
详解:设甲击中无人机为事件 ，乙击中无人机为事件 ，无人机被击中为事件 ，无人机被击落为事件 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
若无人机恰好被一人击中，即事件 ，
则 ，
若无人机被两人击中，即事件 ，
则 ，
所以
.
故答案为： ，
14．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， ，则
； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司答案:
详解:以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
15．已知函数 ，若 有6个零点，则实数m的取值
范围为 .
答案:
详解:因为当 时， ，
可知函数 在 内单调递减，且 ，
作出函数 的图象，如图所示：
令 ，
因为 有6个零点，可知 有两不同的实数根 ，
所以 ，解得 或 ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合函数 的图象可知：
当 ， 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数m的取值范围为 .
故答案为： .
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
详解:（1）由已知结合正弦定理角化边可得 ，
又 ，所以 ， .
（2）由（1）结合余弦定理可得， .
又 ，
所以 为锐角，
所以， .
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学科网（北京）股份有限公司（3）由（2）知， ， ，
所以 ，
，
所以， .
17．如图，在三棱柱 中， 平面 ，且 ， ， ， 分别为 ， ， ，
的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
详解:（1）证明：在 中，因为 ，且 为 的中点，所以 ，
在矩形 中，因为 和 分别为 和 的中点，可得 ，
因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
（2）解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则
取 ，可得 ，所以 ；
因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
所以 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
（3）解：因为 为 的中点，可得 ，所以 ，
由（2）知，平面 的法向量为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 .
18．椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，其中 ， 为原点．椭圆上任意一点到
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学科网（北京）股份有限公司， 距离之和为 ．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点 的直线 交椭圆于 、 两点， 面积为 ，求 的方程．
详解:（1）由题意得 ， ，解得 ，
故 ，
故椭圆的标准方程为 ，
离心率为 ；
（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成 ，
故设直线 方程为 ，
联立 得， ，
设 ，
，解得 或 ，
则 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司，
设 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
19．已知数列 满足：① ， 是 的前n项和；②对于 ，从集合 中
不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 ， ，…，
；③ ， ，…， 与 ， ，…， 一起恰好组成数列
．
(1)求 ， 的值．
(2)（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）对于数列 ，若 ， ，证明：当 时， ．
详解:（1）令 ，显然 ，
由 ，
.
（2）（i）由 按上述规则产生 共 个正整数，
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学科网（北京）股份有限公司而 产生 共 个正整数则 个正整数包含① ，
② ，
故 ，
，
当 时 ，
又 ， .
(ii)由 ，
当 时， ，
由 ，
当 时，
令 ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司.
20．已知函数 是函数 的导函数，且 ．
(1)求 ；
(2)若 在区间 内单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，证明： ．
详解:（1）由题意，设 ，（ 为常数），
又 ，所以 ，则 ．
（2）由题意， 在 内恒成立．
， ， ．
令 ，则 ，
在区间 上单调递增，
，即 .
所以实数a的取值范围是 ．
（3）设 ，
又 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．
， ，即 ，
，使 ，当 时， ， 单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增，
又 ，
，此时 且 ，
∴ ，
又 ， ，则 ，
综上， ．
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