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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C A D C B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD BC BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12. 13. 14.5
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，而 ，..........................3分
所以 ................................................................................................5分
（2）在 中，由余弦定理得 ，
则 ，
即 ，当且仅当 时取等号，.........................................9分
此时 ，....................11分
所以 的最大值为8， .........................................................13分
16．（15分）
【详解】（1）因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ，
因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，..................................................................................3分
因为 平面 ，所以 ⊥ ，因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，...............................................................................4分
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；...........................................................................6分
（2）由（1）知， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，.........7分
，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，...................................................8分
设平面 的一个法向量为 ，
，
令 得 ，故 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即 ，.............................10分
化简得 ，负值舍去，则 ，
平面 的一个法向量为 ，................................................................12分
设平面 与平面 夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ...................................................15分17．（15分）【详解】（1） 的所有可能取值为0，1，2，且 服从超几何分布．
........................3分
的分布列为
0 1 2
的数学期望 ．.......................................................6分
（2）（ⅰ）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”（ ），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．................................................................9分
即每位员工经过培训合格的概率为 ．............................................................................10分
（ⅱ）记 两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为 ，则 ，
，则 （万元）....................................14分
即估计 两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．.....15分
18．（17分）【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，..............................3分
所以 ，解得 ；....................................................................5分
（2）由（1）可得 ，所以 ，
则 ，定义域为 ，
所以 ，
因为 ，令 ，即 ，解得 ；令 ，即 ，解得 ，.........................................................7分
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；....8分
（3）由（2）可知 在 上单调递增，
又 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，............................................................................10分
所以 ，使得 ，
所以当 时 ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时 ，即 ，所以 在 上单调递增；
又 ， ，
所以 ，.................................................................15分
所以当 时， .........................................................................17分
19．（17分）【解析】（1）抛物线C的方程可化为 ，求导可得 ，
将点 的坐标代入抛物线C的方程，有 ， .......................................................3分
过点 的切线的方程为 ，代入 ，有 ，
整理为 ，令 ，可得 ，有 ，
故数列 是公比为 的等比数列，同理，数列 也是公比为 的等比数列；.....................................................................5分
（2）由焦点 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 消去y后整理为 ，有 ，
由数列 是公比为 的等比数列，有 ， ...................6分
有 ，
有 ，
两边乘以 ，有 ，
两式作差，有 ，
有 ，可得 ；..........................................10分
（3）由（2）知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ， ..............................13分
令 ，有 ，........................................15分
故当 时，直线 过定点 ．.......................................................17分
