文档文本内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已如集合A={1，2，3，4，5}，B=¿，则A∩B=______
2．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______
3．已知点A(−2，3)，B(1，−1)，则⃑AB的单位向量为（用坐标表示）________
4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+az+b|z|=0，则a+b=________
5．如图△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=√3，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边
BC上，
半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的
体积为______.
6．已知 x>0，y>0，且2x+5 y=20，则lgx+lgy 的最大值为_______.
7．将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在C的同一侧，则不同的
排法有________种．（用数字作答）
8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白
球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，
则方程f(x)=|lgx|有_________个根.
√3 1 2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知P( ，0)，A,B是C:x2+(y− ) =36上的两个不同的动点，
2 2
满足PA=PB，且⃑PA⋅⃑PB<a恒成立，则实数a最小值是________
11．已知等比数列{a }严格增，且a +a =90,a =27．记b 为{a }在区间(0,m]（m为正整数）中的项的
n 2 4 3 m n
个数，则数列{b }的前2023项的和为 ．
n
12．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视
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一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2），已知该多面体的各条棱长均为1，
且各个顶点在同一球面上；则此球的半径r= ．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个
正确选项)
13．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：
h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到
0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
14．已知函数f (x)=ax−2(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则函数
g(x)=log
1
(x+2)
的图象
a
不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．设等比数列{a }的前n项和为S ，设甲：a <a <a ，乙：{S }是严格增数列，则甲是乙的（ ）
n n 1 2 3 n
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知定义在R上的函数y=f (x)． 对任意区间[a , b]和c∈[a , b]，若存在开区间I，使得
c∈I∩[a , b]，且对任意x∈I∩[a , b]（x≠c）都成立f (x)<f (c)，则称c为f (x)在[a , b]上的一个“M
点”．
有以下两个命题：①若f (x )是f (x)在区间[a , b]上的最大值，则x 是f (x)在区间[a , b]上的一个M点；
0 0
②若对任意a<b，b都是f (x)在区间[a , b]上的一个M点，则f (x)在R上严格增．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP=AC=2
(1) 求三棱锥体积V ；（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小.
P−ABC
π π 3π
18．已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0，|φ|< ，（1）若cos cosφ−sin sinφ=0,求φ的值；
2 4 4
π
（2）在（1）的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数f(x)的解析式；
3
并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.
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学科网（北京）股份有限公司19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．
当该中心建设x(x∈N)块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式
( 1 )
f (x)=800 1+ lnx 来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用1280000元.
5
（1）请写出当网球中心建设x(x∈N)块球场时，该工程每平方米的综合费用g(x)的表达式，并指出其
定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球
中心应建多少个球场？
20．已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，准线为l；
x2
（1）若F为双曲线C： −2y2=1（a>0）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
a2
|PF| √2
（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若 = ，求直线EP的方程；
|PE| 2
（3）经过点F且斜率为k(k≠0)的直线l'与Γ相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与l相交
于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司21．已知函数f (x)=ex+e−x+(2−b)x,g(x)=ax2+b,(a,b∈R).（1）g(1)=f (0),g′(1)=f (0)，
求实数a,b的值；（2）若a=1,b=2，且不等式f (x)≥kg′(e−x+2)−2对任意x∈R恒成立，求k的取值
π
范围；（3）设b=2，试利用结论ex+e−x≥x2+2，证明：若θ ,θ ,⋯,θ ∈ ( 0, ) ，其中n≥2,n∈N*，
1 2 n 2
则 f (sinθ )⋅f (cosθ )+f (sinθ )⋅f (cosθ )+⋯+f (sinθ )⋅f (cosθ )
1 n 2 n−1 n−1 2
+f (sinθ )⋅f (cosθ )>6n.
n 1
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