文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考除选修二第七、八章的全部内容
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已如集合A={1，2，3，4，5}，B=¿，则A∩B=______
2．不等式|x+1|−|x−3|≥0的解集是______
3．已知点A(−2，3)，B(1，−1)，则⃑AB的单位向量为（用坐标表示）________
4．已知z=3+4i，若实数a，b满足z+az+b|z|=0，则a+b=________
5．如图△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=√3，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边
BC上，
半圆与AC、AB分別相切于点C，M交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的
体积为______.
6．已知 x>0，y>0，且2x+5 y=20，则lgx+lgy 的最大值为_______.
7．将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，若A，B，C均互不相邻且A，B在C的同一侧，则不同的
排法有________种．（用数字作答）
8．袋中有一个白球和一个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进一个白
球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是___________.
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=−x(x−2)，
则方程f(x)=|lgx|有_________个根.
√3 1 2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知P( ，0)，A,B是C:x2+(y− ) =36上的两个不同的动点，
2 2
满足PA=PB，且⃑PA⋅⃑PB0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则函数
g(x)=log
1
(x+2)
的图象
a
不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．设等比数列{a }的前n项和为S ，设甲：a 0，|φ|< ，（1）若cos cosφ−sin sinφ=0,求φ的值；
2 4 4
π
（2）在（1）的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数f(x)的解析式；
3
并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数.
3 / 5
学科网（北京）股份有限公司19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．
当该中心建设x(x∈N)块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式
( 1 )
f (x)=800 1+ lnx 来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用1280000元.
5
（1）请写出当网球中心建设x(x∈N)块球场时，该工程每平方米的综合费用g(x)的表达式，并指出其
定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球
中心应建多少个球场？
20．已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，准线为l；
x2
（1）若F为双曲线C： −2y2=1（a>0）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
a2
|PF| √2
（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若 = ，求直线EP的方程；
|PE| 2
（3）经过点F且斜率为k(k≠0)的直线l'与Γ相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与l相交
于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
4 / 5
学科网（北京）股份有限公司21．已知函数f (x)=ex+e−x+(2−b)x,g(x)=ax2+b,(a,b∈R).（1）g(1)=f (0),g′(1)=f (0)，
求实数a,b的值；（2）若a=1,b=2，且不等式f (x)≥kg′(e−x+2)−2对任意x∈R恒成立，求k的取值
π
范围；（3）设b=2，试利用结论ex+e−x≥x2+2，证明：若θ ,θ ,⋯,θ ∈ ( 0, ) ，其中n≥2,n∈N*，
1 2 n 2
则 f (sinθ )⋅f (cosθ )+f (sinθ )⋅f (cosθ )+⋯+f (sinθ )⋅f (cosθ )
1 n 2 n−1 n−1 2
+f (sinθ )⋅f (cosθ )>6n.
n 1
5 / 5
学科网（北京）股份有限公司
