文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若复数z满足 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ， ，
∴结合数轴可知： .
故选：B.
3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：
9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．中位数为17 B．众数为12
C．第85百分位数为18 D．平均成绩为14
【答案】C
【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
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学科网（北京）股份有限公司对于A：中位数为： ，故A错误；
对于B：众数为17，故B错误；
对于C：因为 ，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故C正确；
对于D：平均数 ，故D错误；
故答案为：C.
4．已知向量 , 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ．故选：A.
5．当 时，方程 的解的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
即 ，所以 ，
解得 ，则 或 ，
因为 ，
当 时，则 或 ，
当 时，则 ，
因此共有三个解.
故选：D.
6．若抛物线 的准线为直线 ，则 截圆 所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】抛物线 的准线方程为 ，圆 的圆心为原点，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，
所以， 截圆 所得的弦长为 ，故选：C
7．已知 纸的长宽比约为 ．现将一张 纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等
于 纸的长时，设其体积为 ，轴截面的面积为 ；当该圆柱的高等于 纸的宽时，设其体积为 ，轴
截面的面积为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】不妨设 纸的长宽分别为 ；
当圆柱的高等于 纸的长时，也即圆柱高为 时，设其底面圆半径为 ，则 ，解得 ，
故 ，
此时矩形轴截面的两条边长分别为 ，故 ；
当圆柱的高等于 纸的宽时，也即圆柱高为 时，设其底面圆半径为 ，则 ，解得 ，
故 ，
此时矩形轴截面的两条边长分别为 ，故 ；
综上所述， ， .
故选：B.
8．已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知， ， ，由 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，则 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上递减，
当 时， ，即函数 在 上递增，
所以， ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的有（ ）
A. 已知一组数据 ， ， ， 的方差为3，则 ， ， ， 的方差也为3
B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数m的值是
C. 已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则
D. 已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A：设 的平均数为 ，方差为 ，
则 ， ，
所以 ， ， ， 的平均数为 ，
所以方差为
，故选项A不正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以 ，可得 ，
故选项B正确；
对于C：因为随机变量 服从正态分布 ，所以对称轴为 ，又 ，
而 ，所以 ，
则 ，故选项C正确；
对于D：因为 服从二项分布 ，所以 ，
所以 ，则 ，故选项D正确.
故选：BCD
10.已知数列 是首项为2的等比数列，其前 项和为 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. ， D.
【答案】BC
【解析】设公比为 ，根据题意有 ，
所以 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ，故A错误，B正确；
当 时， ，
，
当 时， ，
，
所以 ， ，故C正确；
当 时， ，故D错误.
故选：BC.
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学科网（北京）股份有限公司11.定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，且 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C． 在 上单调递减
D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【详解】因为 ，
取 可得 ，
所以 ，A错误；
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
由 ，
用 替换 可得， ，
所以 ，即 ，
所以函数 为奇函数，B正确；
任取 ， ，
则 ，
又当 时， ，且 ，
所以 ，故 ，
所以函数 在 上单调递减，C正确；
因为 ，
所以不等式 可化为 ，
所以 ，又函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以不等式 的解集为 ，D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12.已知 ，函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 .
【答案】
【详解】已知 ， ，所以
因为函数 在 上单调递减，
而函数 在 上单调递减，所以
由此可得不等式组 ，解得
则 的最大值为
故答案为：
13.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次
投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 ，则小明通过测试的概率为__________.
【答案】
【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
14.已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上三个不同的点，直线 的方程为
，且 的平分线经过点 ，设 内切圆的半径分别为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司__________.
【答案】5
【解析】由题意可知 ，
所以由
，
由上得 ，且
所以 ，
所以 ，所以 即 ，
令 得 ，故直线 经过点 ，
联立 ，
所以 ，
所以同理可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 的长为2，求 的最大值，并求此时 的值．
【答案】(1) ；(2) 的最大值为8， .
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，而 ，
所以 .（2）在 中，由余弦定理得 ，
则 ，
即 ，当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 的最大值为8， .
16．（15分）底面为菱形的四棱锥 中， 与 交于点 ，平面 平面 ，平面
平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【详解】（1）因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ，
因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为平面 平面 ， 为交线， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
，
令 得 ，故 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
即 ，
化简得 ，负值舍去，则 ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 .
17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映
了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、
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学科网（北京）股份有限公司自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高
DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 部门．从这6名部门领导中随机选
取2人，记 表示选取的2人中来自 部门的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每
轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员
工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本
和费用．试估计该公司 两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润-其他成本和费用）．
【详解】（1） 的所有可能取值为0，1，2，且 服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望 ．
（2）（ⅰ）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀”（ ），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为 ．
（ⅱ）记 两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为 ，则 ，
，则 （万元）
即估计 两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）已知 ，且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）设 的导函数为 ，求 的单调区间；
（3）证明：当 时， .
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3）证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）可得 ，所以 ，
则 ，定义域为 ，
所以 ，
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（3）由（2）可知 在 上单调递增，
又 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时 ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时 ，即 ，所以 在 上单调递增；
又 ， ，
所以 ，
所以当 时， .
19．（17分）已知抛物线 的焦点为F，在第一象限内的点 和第二象限内的点
都在抛物线C上，且直线 过焦点F．按照如下方式依次构造点 ：过点
作抛物线C的切线与x轴交于点 ，过点 作x轴的垂线与抛物线C相交于点 ，设点 的坐标为
．用同样的方式构造点 ，设点 的坐标为 ．
（1）证明：数列 都是等比数列；
（2）记 ，求数列 的前n项和 ；
（3）证明：当 时，直线 都过定点．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）抛物线C的方程可化为 ，求导可得 ，
将点 的坐标代入抛物线C的方程，有 ，
过点 的切线的方程为 ，代入 ，有 ，
整理为 ，令 ，可得 ，有 ，
故数列 是公比为 的等比数列，
同理，数列 也是公比为 的等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由焦点 ，设直线 的方程为 ，
联立方程 消去y后整理为 ，有 ，
由数列 是公比为 的等比数列，有 ，
有 ，
有 ，
两边乘以 ，有 ，
两式作差，有 ，
有 ，可得 ；
（3）由（2）知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
令 ，有 ，
故当 时，直线 过定点 ．
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