文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若集合 ，则 （ ）.
A． B．
C． D．
2．在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，
5，8，4，2，则这组数据的平均数和 分位数分别为（ ）
A．6，3 B．5，3 C．5，4 D．6，4
3．在复平面内， 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知数列{ }的前n项和 满足： ，且 ＝2，那么 ＝（ ）
A．2 B．10 C．11 D．56
5．已知 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
7．工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面上，且要求雕刻出的棱台的
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学科网（北京）股份有限公司侧棱长为 ，上、下底面边长分别为 和 ，则所用球体的半径为（ ）
A．7 B． C． D．
8．已知 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 的上顶点， 为椭圆 的右顶点，
连接 交椭圆 于另一点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线 的渐近线与圆 相切， ， 为 的左、右焦点，动
点 在 的左支上，则（ ）
A． B． 为直角三角形
C． 周长的最小值为 D． 的最小值为2
11．在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 （ 为弧度）后，
所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”，则（ ）
A． ，函数 都为“ 旋转函数”
B．若函数 为“ 旋转函数”，则
C．若函数 为“ 旋转函数”，则
D．当 或 时，函数 不是“ 旋转函数”
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，
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学科网（北京）股份有限公司则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是 .
13．若向量 与 不共线也不垂直，且 ，则 .
14．一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点 ，则 的值为
．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 .已知 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)当 时，记 ，求数列 的前 项和 .
16．（15分）
为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行
解答，每道题甲答对的概率均为 ，乙答对的概率均为 ，且每次解答是否正确相互独立.
(1)若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为 ，求 的分布列与数学期望.
17．（15分）
已知四棱锥 中，二面角 为直二面角， ，
，M为棱 上一点.
(1)证明： ；
(2)若M为 中点，求二面角 的正弦值；
(3)若 平面 ，点N在平面 上，若直线 与平面 所成角为 ，求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）
已知抛物线 的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限， ，
的面积为2.
(1)求C的方程.
(2)A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点.
(3)点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，
，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求 面积的
最大值.
19．（17分）
(1)证明： 在 上恒成立.
(2)若 ，证明：函数 在 上恰有1个零点.
(3)试讨论函数 在 上的零点个数.
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