文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数学·答案及评分参考
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C C D C A A D B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 12. 13. 0
14. 48 384 15.①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（满分13分）
【详解】（1）先安排男生，有 种可能，再将3名女生插空，有 种可能，故3名女生不相邻的站法有
种；........................................4分
（2）4名男生和3名女生站成一排，共有 种情况，
其中男生甲在排头的情况有 种情况，女生乙在排尾的情况有 种情况，男生甲在排头的同时，女生乙
在排尾的情况有 种情况，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有 种；........................................9分
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有
种．........................................13分
17．（满分13分）
【详解】（1）依题意， 在 及 处取得极值，
而 的两根为 ， ，
所以 ， ，
， ，此时 ，
所以 在区间 上 ， 单调递增，
在区间 上 ， 单调递减，
所以 及 是极值点，符合题意.
所以 ......................................8分
（2）由（1）得 ， ，
， ，则切线方程为 ，
化简得，函数 在 处的切线方程为 .........................................13分
18．（满分14分）
【详解】（1）等比数列 的公比是2， ，则 ， ，
由 ，得 ，又等差数列 的公差是-2，则 ，
所以 和 的通项公式分别为 ， .........................................8分
（2）记 和 的前 项和分别为 ， ，则 ．
而 ， ，
所以 ..........................................14分
19．（满分15分）
【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 ..........................................5分
（2）设 为“从甲校抽取1人做对”，则 ， ，
设 为“从乙校抽取1人做对”，则 ， ，
设 为“恰有1人做对”，故
依题可知， 可取 ，
， ， ，
故 的分布列如下表：故 ..........................................11分
（3）设 为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有 的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故 ，即 ，故 ，
同理有， ，故 ，
故 ..........................................15分
20．（满分15分）
【详解】（1）由题意得， ，
令 ，解得 ，
①若 ，当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，也是最小值；
②若 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 没有最小值.
综上，若 ，则系统延迟最小的临界数据量为 ；
若 ，则不存在系统延迟最小的临界数据量..........................................9分
（2）当 时， ，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 19. ， 20. ，
故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条..........................................15分
21．（满分15分）【详解】（1）设 ， ，
由 可得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ..........................................4分
（2）因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ， ，
由（1）可知， 在 上单调递增，而 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
而当 时， ，所以总有 ， 单调递增
故 ，从而命题得证；.......................................9分
（3）解法一：由题意，直线 ，直线 ，
所以 ， ，.........................................10分
当 时， ， 在 上单调递增，
所以
所以
，.........................................13分
由（1）可得当 时， ，所以 ，.........................................14分
所以 ..........................................15分
解法二：由 可设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为直线 的方程为 ，易知 ，
所以直线 的方程为 ,
， .
所以
,由（1）知,当 时， ，所以 ,
所以 .......................................15分
