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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D A B A A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】 ; 13．【答案】 ; 14．【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【详解】解：（1）易得：
购买华为 购买其他 总计
年轻用户 12 28 40
非年轻用户 24 36 60
总计 36 64 100
表格填对：···········4分
由列表可得 ············3分
故没有 的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系. ···········1分
（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用 ，
表示两个年轻用户，用 ， ， ， 表示非年轻用户，
现从中任选两人，则共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，15种可能，
其中满足要求的有6种，由古典概型可知 .···········5分
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学科网（北京）股份有限公司16．（15分）【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由 ， 的关系即可求解，
（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；
【详解】（1）当 时， ，整理得 ，当 时，有 .
数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列， 所以 ．···········4分
（2）当 时，
，所以 ，···········3分
所以 ，···········2分
令 ，其前 项和为 ，
∴ ①
∴ ②···········3分
得： .···········2分
∴ .令 ，其前 项和易知为： ，···········1分
所以
17．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）证明 与 垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；
（3）设 ，这样求得平面 和平面 的法向量，用向量法求二面角，从而求得 ，可得
的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ， 为 的中点，∴四边形 为平行四边形，∴
∵ ，∴ ，即
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面 ···········5分
（2）∵ ， 为 的中点，∴
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
∵ 是 的中点，∴ ， ，
设异面直线 与 所成角为 ， ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．···········5分
（3）解：由（2）知平面 的法向量为 ，
设 ，且 ，从而有 ，
又 ，设平面 法向量为 ，
由 及 ， ，可取 ．···········3分
∵二面角 为 ，∴ ，∴ ，∴ ．···········2分
18．（17分）【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析，
【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.
（2）利用圆的性质得到 ，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值
即可.
（3）联立方程组结合韦达定理得到 ，进而表示出
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学科网（北京）股份有限公司，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，因为 ，所以 ，
由椭圆的定义 ，解得 ，
得到 ，故 的方程为 .···········3分
（2）因为 的右焦点 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
显然椭圆 与圆 没有交点，因为点 在圆 上，所以 ，
于是 ，
当且仅当 分别是线段 与椭圆 ，圆 的交点时取等号，故 的最小值为 .·······5分
（3）如图，设 ，
因为直线 ，所以点 ，联立 消去 得
.
所以 ，因为 ，···········4分
且直线 斜率的倒数成等差数列，所以 ，
所以 ，即 ，
将 代入上述等式可得 ，
若 ，则点 在直线 上，与已知矛盾；
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
整理可得 ，
可得 ，即 ，
即 对任意的 恒成立，
得到 ，解得 或 ，由于 的斜率不为0，得到 ，故 ，
故点 在定直线 上. ···········5分
19．（17分）【答案】(1) ；(2) ；证明见解析.
【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值 ，从而可求解
的取值范围；
（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；
（ii）利用第（i）问的结论 ，从而把要证明的不等式转化为 ，再作差构造函数求导来
证明即可.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，
当 时， 恒成立，
当 时， ，所以此时 不恒成立，
当 时，求导得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
所以 ，
即不等式 恒成立，等价于 ，
综上， 的取值范围为 .···········5分
（2）（i）当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 在 上单调递增；所以 ，·····4分
（ii）由 ，则要证明 ，只需要证明 ，···········3分
构造 ，则
，
所以 在 上单调递增，即 ，所以有 ，
即 成立．···········5分
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