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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，结合复数的定义，即可求解.
【详解】由复数 ，
所以复数 的虚部为 .故选：B.
2．已知全集 （ 是自然数集），集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合 即得解.
【详解】：由题得集合 ，
所以 .故选：A
3．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】由渐近线求出 ，进而求出离心率.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， ， ，离心率
，故选：D．
4．“ ”是“函数 的图象关于 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若函数 的图象关于 对称，根据正切函数的对称性可得 ，再
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学科网（北京）股份有限公司根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
【详解】若函数 的图象关于 对称，
则 ，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“函数 的图象关于 对称”的充分不必要条件.故选：A.
5．设 是定义域为 的偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用条件和偶函数的性质，得出函数 的周期为2，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为 是定义域为 的偶函数，所
所以 的周期为2，所以 ．故选：B.
6．过原点 作直线 的垂线，垂足为P，则P到直线 的距离
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线 ： 化为 ，可得直线 经过
定点 ，从而可以判断得出 的轨迹是以 为直径的圆，圆心为 ，半径为1，利用点到直线的
距离公式，可得点 到直线 的距离的最大值为 .
【详解】 整理得 ，
由题意得 ，解得 ，所以直线 过定点 .
因为 ，所以点 的轨迹是以 为直径的圆，圆心为 ，半径为1，
因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 到直线 的距离的最大值为
.故选：A
7．在平面直角坐标系中，已知向量 ， ，定点 的坐标为 ，点 满足
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学科网（北京）股份有限公司，曲线 ，区域 ，曲
线 与区域 的交集为两段分离的曲线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由平面向量数量积运算可得： ，则： ，
设N点坐标为 ，考查曲线C： ，
整理可得N点的轨迹为： ，即N点是以A位圆心，1为半径的圆，
由平面向量模的几何意义可得P点是以M为圆心，r,R分别为半径的圆环，
数形结合，曲线 与区域 的交集为两段分离的曲线，则 .故选：A.
8．若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z， ∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设 ，用 表示出 ，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得
所在的范围，进而得到答案．
【详解】设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，∴ ；
又 ，
∴ ，即 ．∴ ．故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与面 平行 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面 垂直
【答案】AD
【分析】由正方体结构特点，结合线面位置关系逐项判断即可.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司A：正方体 中，易知 ， 在平面 内， 面 ，所以A正确；
B： 为正三角形，又易知 与 所成的角为 ，所以B错误；
C：连接 交 于 点，则 .
正方体中易知： 平面 平面 ，且相交于点 ，
平面 即为直线 与平面 所成角的平面角，
设正方体棱长为2，则 .
，所以C错误；
D： 且 ，都在平面面 内，
面 ，所以D对.故选：AD
10．设抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于 的直线交 于
E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用
三角形相似证得 ，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联
立直线 与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得
， ，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线 ，则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，
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学科网（北京）股份有限公司由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，易知直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ， ，联立 ，得 ，
易知 ，则 ，又 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，故C正确；
对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，
同理 ，又
，
，所以 ，
则 ，故D正确.故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线 ，则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，
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学科网（北京）股份有限公司由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，当直线 的斜率不存在时， ；
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
易知 ，则 ，
所以
，综上， ，故C正确；
对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，同理 ，
当直线 的斜率不存在时， ， ；
所以 ，即 ；
当直线 的斜率存在时， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，
则 ；
综上， ，故D正确.故选：ACD.
11．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由已知条件结合 分析判断，对于B，利用余弦定理和正弦定理结合已知条件
可得 ，然后利用正弦函数的性质分析判断，对于C，由选项B可知 ，则
，从而可判断 的范围，对于D，由正弦定理结合 及二倍角公式得 ，
再结合 可求出其范围进行判断.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 ，所以由余弦定理得 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
若 ，则 ，所以 ，此时 ，
所以 ，则 ，此时 ，所以B正确，
对于C，由选项B可知 ，所以 ，所以 ，所以C正确，
对于D，由正弦定理得
，
因为 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，所以 ，所以D正确.故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前 项和的定
义，得到关于 的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前 项和性质得到关于 的方程，解之即
可得解.
【详解】法一：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
当 时， ，即 ，则 ，显然不成立，舍去；
当 时，则 ，
两式相除得 ，即 ，
则 ，所以 ，所以该等比数列公比为2.故答案为： .
法二：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
所以 ，
，
所以 ，则 ，所以 ，所以该等比数列公比为2.故答案为：2.
法三：设该等比数列为 ， 是其前 项和，则 ，
设 的公比为 ，
因为 ，
又 ，
所以 ，所以 ，所以该等比数列公比为 .故答案为： .
13．若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】根据切线方程为 可得 ，解方程组即可得到本题答案.
【详解】 ， ，又 在 处的切线方程为 ，
，即 ，得 ， .故答案为：
14．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
【答案】
【分析】先确定样本点总数，再得到 的可能取值，求出概率 ，
列出分布列，求出期望.
【详解】对于 维坐标 ，其中 .即 有两种选择 ，
故共有 种选择，即 维“立方体”的顶点个数是 个顶点；
当 时，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即有 个坐标值满足 ，
剩下 个坐标值满足 ，则满足 的个数为 .
所以 .
故分布列为：
则 .故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为
手机（含荣耀）在中国市场占有率接近 ！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，
于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30
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学科网（北京）股份有限公司岁以上为“非年轻用户”.
购买华为 购买其他 总计
年轻用户 28
非年轻用户 24 60
总计
附： .
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）将列表填充完整，并判断是否有 的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？
（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非
年轻用户的概率.
【答案】（1）表格见解析，没有把握；（2）
【解析】（1）补全列联表，计算 ，即可得出结论；
（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用 ，
表示两个年轻用户，用 ， ， ， 表示非年轻用户，利用列举法，结合古典概型的概率公式，即可得
出答案.
【详解】解：（1）易得
购买华为 购买其他 总计
年轻用户 12 28 40
非年轻用户 24 36 60
总计 36 64 100
由列表可得
故没有 的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系.
（2）利用分层抽样抽取6个购买华为手机的用户，易知其中有2个年轻用户，4个非年轻用户，不妨用 ，
表示两个年轻用户，用 ， ， ， 表示非年轻用户，
现从中任选两人，则共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ， ，15种可能，
其中满足要求的有6种，由古典概型可知 .
16．（15分）记数列 的前 项和为 .
(1)设 ，若 ，求 的通项公式；
(2)记 ，设 ，求 .
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由 ， 的关系即可求解，
（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；
【详解】（1）当 时， ，整理得 ，当 时，有 .
数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列， 所以 ．
（2）当 时，
，所以 ，
所以 ，
令 ，其前 项和为 ，
∴ ①
∴ ②
得： .
∴ .令 ，其前 项和易知为： ，
所以
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，平面
底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为棱 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值；
（3）若二面角 大小为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）证明 与 垂直，则得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线所成的角；
（3）设 ，这样求得平面 和平面 的法向量，用向量法求二面角，从而求得 ，可得
的长．
【详解】（1）证明：∵ ， ， 为 的中点，∴四边形 为平行四边形，∴
∵ ，∴ ，即
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面 平面
（2）∵ ， 为 的中点，∴
∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∵ 是 的中点，∴ ， ，
设异面直线 与 所成角为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
（3）解：由（2）知平面 的法向量为 ，
设 ，且 ，从而有 ，
又 ，设平面 法向量为 ，
由 及 ， ，可取 ．
∵二面角 为 ，∴ ，∴ ，∴ ．
18．（17分）已知椭圆 的左，右焦点分别 为椭圆 上任意一点，
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为圆 上任意一点，求 的最小值；
(3)已知直线 与 轴交于点 ，且与椭圆 交于 两点， 为坐标平面内不在直线 上
的动点，若直线 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 在定直线 上，并求直线 的方程.
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析，
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用椭圆的定义和焦距的性质求出基本量，得到椭圆方程即可.
（2）利用圆的性质得到 ，再结合三角形两边之和大于第三边的性质进行放缩求解最值
即可.
（3）联立方程组结合韦达定理得到 ，进而表示出
，再结合给定条件进行化简，证明点在定直线上即可.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为 ，因为 ，所以 ，
由椭圆的定义 ，解得 ，
得到 ，故 的方程为 .
（2）因为 的右焦点 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
显然椭圆 与圆 没有交点，因为点 在圆 上，所以 ，
于是 ，
当且仅当 分别是线段 与椭圆 ，圆 的交点时取等号，故 的最小值为 .
（3）如图，设 ，
因为直线 ，所以点 ，联立 消去 得
.
所以 ，因为 ，
且直线 斜率的倒数成等差数列，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
将 代入上述等式可得 ，
若 ，则点 在直线 上，与已知矛盾；
故 ，
整理可得 ，
可得 ，即 ，
即 对任意的 恒成立，
得到 ，解得 或 ，由于 的斜率不为0，得到 ，故 ，
故点 在定直线 上.
19．（17分）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，（i）求 的最小值；（ii）证明： ．
【答案】(1) ；(2) ；证明见解析.
【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值 ，从而可求解
的取值范围；
（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；
（ii）利用第（i）问的结论 ，从而把要证明的不等式转化为 ，再作差构造函数求导来
证明即可.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，
当 时， 恒成立，
当 时， ，所以此时 不恒成立，
当 时，求导得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
所以 ，
即不等式 恒成立，等价于 ，
综上， 的取值范围为 .
（2）（i）当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；所以 ，
（ii）由 ，则要证明 ，只需要证明 ，构造 ，则
，
所以 在 上单调递增，即 ，所以有 ，
即 成立．
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学科网（北京）股份有限公司
