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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学（天津卷）·参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B B C B C D C C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10．1 11． 12． 13． 0.7 0.22
14． 15．
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题14分）
【详解】（1）由已知结合正弦定理角化边可得 ，
又 ，所以 ， .-------------------------------4分
（2）由（1）结合余弦定理可得， .-----------------------------6分
又 ，
所以 为锐角，-------------------------------8分
所以， .-------------------------------10分
（3）由（2）知， ， ，-------------------------------11分
所以 ，-------------------------------12分
-------------------------------13分
1 / 7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以， -------------------------14
分
17．（本小题15分）
【详解】（1）证明：在 中，因为 ，且 为 的中点，所以 ，
在矩形 中，因为 和 分别为 和 的中点，可得 ，--------------------------2分
因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，所以 ，----------------------3分
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .-----------------------------5分
（2）解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，可得 ，---------------------6分
设平面 的法向量为 ，则 -----------------------------7分
取 ，可得 ，所以 ；-----------------------------8分
因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，-----------------------------9分
又因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，-----------------------------10分
所以 为平面 的一个法向量，-----------------------------11分
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .-----------------------------12分
（3）解：因为 为 的中点，可得 ，所以 ，-----------------------------13分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由（2）知，平面 的法向量为 ，-----------------------------14分
设点 到平面 的距离为 ，则 .-----------------------------15分
18．（本小题15分）
详解】（1）由题意得 ， ，解得 ，------------------------------2分
故 ，
故椭圆的标准方程为 ，------------------------------3分
离心率为 ；------------------------------4分
（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成 ，------------------------------6分
故设直线 方程为 ，------------------------------7分
联立 得， ，------------------------------9分
设 ，
，解得 或 ，------------------------------10分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，------------------------------11分
所以
，------------------------------12分
设 到直线 的距离为 ，则 ，------------------------------13分
所以 ，------------------------------14
分
解得 ，
所以直线 的方程为 或 ------------------------------15分
19．（本小题15分）
【详解】（1）令 ，显然 ，-----------------------------2分
由 ，
.--------------------------------4分
（2）（i）由 按上述规则产生 共 个正整数，
而 产生 共 个正整数则 个正整数包含①
，--------------------------------6分
② ，
故 ，--------------------------------7分
，--------------------------------8分
4 / 7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时 ，
又 ， .--------------------------------9分
(ii)由 ，
当 时， ，--------------------------------10分
由 ，
当 时， --------------------------------11
令 ，--------------------------------12分
，
，-------------------------
-------13分
，--------------------------------14分
.--------------------------------15分
20．（本小题16分）
【详解】（1）由题意，设 ，（ 为常数），
又 ，所以 ，则 ．--------------------------------3分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由题意， 在 内恒成立．
， ， ．--------------------------------4分
令 ，则 ，--------------------------------5分
在区间 上单调递增，--------------------------------6分
，即 .
所以实数a的取值范围是 ．--------------------------------7分
（3）设 ，--------------------------------8分
又 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．-------------------------9
分
， ，即 ，--------------------------------10分
，使 ，当 时， ， 单调递减；----------------------------11
分
当 时， ， 单调递增，--------------------------------12分
又 ，
，此时 且 ，--------------------------------13分
∴ ，----------------------------
----14分
又 ， ，则 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上， -----------------------------16分
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