文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 或 与 相交
6．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 是
中点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
7．若圆 关于直线 对称，其中 ， ，则 的最小值为（
）
A．2 B． C．4 D．
8．已知 ，若0是 的极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为
10．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量 ，且 ，则
B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92
C．若样本数据 ， ，…， 的方差为2，则数据 ， ，…， 的方差为8
D．已知回归直线方程为 ，若样本中心为 ，则样本点 处残差为
11．已知 是双曲线C： （ ， ）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，
垂足为A，交另一条渐近线于点B，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若 ，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学科网（北京）股份有限公司12．已知 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 ____________．
13．将一个圆心角为 、面积为 的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．
14．已知函数 ，若 ，且 在 上有且仅有三个极值点，
则 ____________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中
国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄
和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
不超过35周岁 30 20 50
超过35周岁 15 35 50
合计 45 55 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世 2》有关
联？
(2)根据 列联表的信息， 表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世 2》”， 表示“选到的市民超
过35周岁”，求 和 的值；
(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出 5人组成一个小组，从抽
取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人
数 的概率分布和数学期望.
附： ，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
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学科网（北京）股份有限公司16 ． （ 15 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， 且
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
17．（15分）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)设 ，记数列 的前n项和为 ，证明： ．
18．（17分）已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆C相交于 两点.
（i）若 为原点，求 面积的最大值；
（ii）点 ，设点 是线段 上异于 的一点，直线 的斜率分别为 ，且 ，
求 的值.
19．（17分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)①求证： 有且仅有一个极值点；
②当 时，设 的极值点为 ，若 ．
求证： ．
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