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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）
数学•全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【详解】 ，则 .
故选：C
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于不等式 ，解得 或 ，即集合 或 .
已知 ，在集合 中满足 的元素有 ， ， ，所以 .
故选：A.
3．已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，即 ，
可得 ，
由题意得双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，
即为
故选：A.
4．已知奇函数 的图象的一条对称轴为直线 ，那么 的解析式可以为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 为奇函数，
因为 ，所以 是 的图象的一条对称轴，故A符合题意；
对于B，函数 的定义域为 ，
因为 ，所以函数 不是奇函数，故B不符题意；
对于C，函数 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 不是奇函数，故C不符题意；
对于D，函数 的图象不是轴对称图形，故D不符题意.
故选：A.
5．若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
结合题意作出 的大致图象，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，不等式 的解集为 .
故选：B.
6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知 ，
，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得质点P位移为 ，
所以
因为 ， ，所以 ，
设 的夹角为 ，所以 ，
因为 所以 ，
所以 .
故选：D
7．若直线 与圆 交于 两点，且直线 不过圆心 ，则当
的周长最小时， 的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【详解】由 可得 ，
故圆心 ，半径 ，
直线 的方程可化为 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为
所以点 在圆内，
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学科网（北京）股份有限公司由圆的性质可得当 时， 最小， 周长最小，
又 ，
所以 ，此时 ，即直线 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
8．已知函数 若关于 的方程 （ 为实常数）有四个不同的解 ，
且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知， 且 ，
由 ，得 ，即 ，故 ，
由 ，则 ，由 ，则 ，
所以 ，且在 上 单调递增，
所以 .
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司9．如图，点 在正方体 的面对角线 上运动，则下列四个结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积随 的运动而变化
B． 平面
C．
D．平面 平面
【答案】BD
【详解】A选项，因为 ， 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 ，故 上任意一点到平面 的距离均相等，
的面积为定值，则三棱锥 的体积不变，故A错误；
B选项，由正方体的性质可得 且 ，
又 平面 ， 都不在平面 内，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ，故B正确；
C选项，当 与 重合时， ，所以 为等边三角形，
则 与 的所成角为 ，所以 不成立，C选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司D选项，因为 平面 ， 平面 ，故 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，故D正确.
故选：BD.
10．已知抛物线 ： （ ）与圆 ： 相交于 ， 两点，线段 恰为
圆 的直径，且直线 过抛物线 的焦点 ，又 是抛物线 过焦点 的另一动弦，则以下结论正确
的是（ ）
A． B．
C． 的周长可以为14 D．当 时，
【答案】AC
【详解】对于A，如图，
分别过 ， ， 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ， ，
由于圆的直径 过焦点 ，则 到准线的距离为
，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，∴ ，解得 ，故A正确；
对于B，设直线 的方程为 ， ， ，
又抛物线 ： ，由 可得 ，
则 ， ， ，
（当且仅当 时等号成立），故B错误；
对于C，∵ ， ，∴ ，设 的周长为 ，
如图：
过点 向抛物线准线作垂线，垂足为 ，
则 ，
周长的最小值为 ，故C正确；
对于D，如图：
∵ ，∴ ，
∵ ，则 ，解得 或 （舍），
∴ ，∴ ，故D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC
11．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 边上的高
为2，则（ ）
A． B．
C． 的周长为 D． 的面积为3
【答案】AB
【详解】对A，已知 ，由正弦定理得到 ，
因为 ，
代入上式可得： ，
，因为 ，所以 ，得到 ，则 ，故选项 A正确.
对B，由 ，且 ，因为 ， ，所以 ，
可得 ， .
已知 ，由正弦定理得 ，则 ， .
，
因为 ，所以 .
设BC边上的高为 ，因为 ， ，已知 ， ，则 ， ，选
项B正确.
对C，因为 ， ， ，根据勾股定理 ，
的周长为 ，故选项C错误.
对D， 的面积 ，故选项D错误.
故选：AB.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．若函数 的图象在点 处的切线过点 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【详解】因为 ，所以 ，则 ，又 ，
所以切线方程为： ，
因为切线方程经过点 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为：
13．已知数列 满足 ， ，则其通项公式为 .
【答案】
【详解】不妨设 ，则 ，
由
，
经检验当 时满足，故 ，解得 ，
即数列 的通项公式为 .
故答案为： .
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另
外两人中的任何一人.设第 次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为 ， ， ， ，则第3次
传球后球在甲手里的概率 ，第 次传球后球在丙手里的概率 .
【答案】 /
【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为 ，
且 ， ，即 ，
又 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为 ，
且 ， ，即 ，
又 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以，易得 ，则 .
故答案为： ，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的
樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花
树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生
进行调查，得到数据如表所示：
樱花迷 非樱花迷
男 5m 5
女 40 2m
(1)求 的值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非
樱花迷”的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附：参考公式： ，其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ；..................................................................................1分
（2）零假设 ：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到： ，.......................3分
根据小概率值 的 独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即“樱花迷”与性别无关联；..........................................................................................................................5分
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
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学科网（北京）股份有限公司故 的可能取值为0，1，2，
则 ，..................................................7分
所以 的分布列为
0 1 2
.............................................................................................................................................................................11分
故 ................................................................................................................13分
16．（15分）已知数列 满足 ， ，且对任意的 ， ，都有 .
(1)设 ，求证：数列 是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若 ，求 的前n项和 .
【详解】（1）由 有 ，
所以 ，又 ， ，解得 ，
又因为 ，即 ，.......................................3分
所以数列 是以公差为3，首项为 的等差数列，
所以 ，........................................................................................................................6分
（2）由（1）有 ，
所以 ，........................8分
上式相加有 ，
所以 ，
所以 ；...................................................................................................................................10分
（3）由（2）有 ，
所以 ，...............................................................................................................12分
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
所以 ...................................................................................................................................15分
17．（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， ， 分别为 ， 的中点．
(1)若平面 与直线 交于点 ，求 的值；
(2)若平面 和平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【详解】（1）在平面 内作 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，..................................................................................................................................2分
所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
又 ， 分别为 ， 的中点，
， ，设 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ， 共面， 存在实数 ， ，使得 ，................................................4分
即 ，
所以 ，解得 ，所以 ；...............................................................................7分
（2）设平面 的法向量为 ，
，解得 ，令 得 ，
，.................................................................................................................................................9分
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
，解得 ，令 得 ，
，.................................................................................................................................................11分
设平面 和平面 所成的角为 ，
，
整理得 ， ， ，....................................................................................................13分
， ，
故点 到平面 的距离为 ．............................................................................................................15分
18．（17分）已知椭圆E： （ ）的左、右顶点为 ， ，焦距为 ．O为
坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点 ， 作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形 的面积的最大值．
【详解】（1）由已知得 ， ，则 ，
故椭圆的标准方程为 ．...................................................................................................................3分
（2）
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学科网（北京）股份有限公司如图，设过点 ， 的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，
利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形 的面积是 面积的一半．........5分
显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线PR的方程为l： ，
代入E： ，整理得 ，显然 ，..........................................................7分
设 ， ，则 ，..............................................................................................9分
于是，
，...............................................................................................................11分
点 到直线l： 的距离为 ，
则四边形 的面积为 ，...................................14分
令 ，则 ，且 ，代入得， ，
当 时，等号成立，此时 ．......................................................................................................17分
19．（17分）若定义域为D的函数 满足：非空集合 ， ，若 ，则称 是一
个I上的“非负函数”；若 ，则称 是一个I上的“非正函数”．
(1)分别判断 ， 是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．
(2)已知函数 为 上的“非负函数”，求a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司(3)设 ，且 ，证明： ．
【详解】（1）对于 ，
定义域 ，找一个 值代入看函数值正负.
取 ， .因为 在 取合适值时能使 ，所以 不
是定义域上“非负函数”. .............................................................................................................2分
对于 ，
定义域 ，先求导 .令 ，即 ，解得 .
当 ， ， 递减；当 ， ， 递增.
所以 在 取最小值 ，故 是 上“非负函数”.........................5分
（2）要使 在 上为“非负函数”，则 在 恒成立.
求 ，令 ， ，再令 ， .
当 ， ，所以 在 递减，且 .
当 ， ， 递增；当 ， ， 递减. .....................8分
， ， ，所以 在 递减.
，解得 .............................................................................11分
（3）由 ，移项得 ，得 .
把 代入 ，有 . ............................................................13分
因为 ，两边乘 再加 ，得 .
当 ， ； ， ； ； ， . ..............15分
把这些不等式相加：
左边是 ，右边 .
综上，证得 .........................................................................................17分
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学科网（北京）股份有限公司
