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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数学•全解全析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，故A正确.
故选：A
2．复数 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解.
【详解】因为 ，所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
3．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）
A．曲线在点 处切线的斜率 B．曲线在点 处切线的斜率
C．曲线在点 处切线的斜率 D．割线 的斜率
【答案】C
【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可．
【详解】通过图象可知，曲线在点 处、点 处切线的斜率为正，在点 处切线的斜率为负，割线 的
斜率为正，
所以最小值为曲线在点 处切线的斜率.
故选：C
4．已知 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．16 D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，且 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故选：C.
5．已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】利用 的奇偶性得到 ，再对 进行赋值即可求解.
【详解】 为奇函数， ，
函数 的定义域为 ， 令 ，得 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， ，即 ，
.
故选：D.
6．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当 时， ，故A错误；
对于BD，取 ，此时 ，
，故BD错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.
故选：C.
7．已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数 的值域为 ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，充分性成立；
取 ， ，则对任意 ，一定存在 ，使得 ，
取 ，则 ，但此时函数 的值域为 ，必要性不成立；
所以“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
8．函数 在 处有极小值5，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或3
【答案】A
【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出 的值，再进行验证即可求解.
【详解】 ，由题意得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 时， 取得极小值，符合题意；
当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递减，，
所以 时， 取得极大值，不符合题意；
所以 ， .
故选： .
9．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物
个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总
数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所以 .
故选：D.
10．从点 可向曲线 引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因
为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单
调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围.
【详解】设曲线在点 处的线线过点 ，
由 ，求导得 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
因为从点 可向曲线 引三条不同切线，
所以 有三个不同的解，即 有三个不同的解，
设 ，该函数有三个不同零点，求导得 ，
令 ，则 或 ，
当 或 ， ，当 ， ，
所以：函数 在 区间单调递减，在 和 区间上单调递增，
所以函数在 和 处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，解得 .
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的导数为 ．
【答案】
【分析】根据求导法则和复合函数的导数计算直接得出结果.
【详解】 ．
故答案为：
12．已知 ，则 ； ．
【答案】
【分析】利用赋值法可求 ，利用换元法结合赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
又 ，
故 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，故
故答案为： .
13．已知函数 ，当 时， ；若 在 上单调递增，则实数a的取
值范围是 .
【答案】 0
【分析】根据分段函数的解析式可直接计算得到空①答案；利用分段函数单调性的条件可以得到不等式求
解，得到②的答案.
【详解】 时, ;
由于当 时 是单调递增函数；
当 时 是单调递增函数，
所以为了使得 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司必须且只需 ,即 ,
故答案为： ； .
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，
后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解 ，进而可求得结果；方法二：根
据等比中项求 ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
故答案为：48；384.
15．设函数 有三个不同的零点，从小到大依次为 ，则（ ）
①．
②．函数 的对称中心为
③．过 引曲线 的切线，有且仅有1条
④．若 成等差数列，则
【答案】①②④
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对①，求导，判断 的单调性，求出极值，由 得解；对②，求出 的二阶
导数，令 的二阶导数等于0，求得对称中心的横坐标进而得解；对③，作出 的图象，利用图象
分析判断；对④，由题可得 ，展开得
，结合 成等差数列，运算得解.
【详解】由 ，令 ，解得： 或 ，
在 上单调递增， 在 上单调递减.
对于A，若 有3个零点，则 ，解得： ，故①正确；
对于B，令 ，则 ，令 ，
令 ，得 ，又 所以 对称中心为 ，故②正确；
对于C，结合图象，过 引曲线 的切线有2条，故③错误；
对于D，
，
（*）
若 成等差数列，则 ，则 ，
代入（*）得： ，故④正确.
故选：①②④.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（满分13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)3名女生不相邻．
(2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾．
(3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变．
【答案】(1)1440种 (2)3720种 (3)840种
【分析】（1） 先安排男生，再插空法求解，得到答案；
（2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式
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学科网（北京）股份有限公司计算；
（3）用定序倍缩法进行求解.
【详解】（1）先安排男生，有 种可能，再将3名女生插空，有 种可能，故3名女生不相邻的站法有
种；........................................4分
（2）4名男生和3名女生站成一排，共有 种情况，
其中男生甲在排头的情况有 种情况，女生乙在排尾的情况有 种情况，男生甲在排头的同时，女生乙
在排尾的情况有 种情况，
所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有 种；........................................9分
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有
种．........................................13分
17．（满分13分）已知函数 在 及 处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 在 处的切线方程；
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据极值点以及根与系数求得 .
（2）利用切点和斜率即可求得切线方程.
【详解】（1）依题意， 在 及 处取得极值，
而 的两根为 ， ，
所以 ， ，
， ，
此时 ，
所以 在区间 上 ， 单调递增，
在区间 上 ， 单调递减，
所以 及 是极值点，符合题意.
所以 ......................................8分
（2）由（1）得 ， ，
， ，则切线方程为 ，
化简得，函数 在 处的切线方程为 .........................................13分
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学科网（北京）股份有限公司18．（满分14分）已知等差数列 的公差是-2，等比数列 的公比是2，若 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案.
（2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前 项和公式求解.
【详解】（1）等比数列 的公比是2， ，则 ， ，
由 ，得 ，又等差数列 的公差是-2，则 ，
所以 和 的通项公式分别为 ， .........................................8分
（2）记 和 的前 项和分别为 ， ，则 ．
而 ， ，
所以 ..........................................14分
19．（满分15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参
加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答
题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，
用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为 ，乙校学生选择正确的概率为 .设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为 ， ，判断 与 的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1) (2) ， (3)
【分析】（1）用频率估计概率即可求解；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及 的分布列，从而可求
其期望；
（3）根据题设可得关于 的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 ..........................................5分
（2）设 为“从甲校抽取1人做对”，则 ， ，
设 为“从乙校抽取1人做对”，则 ， ，
设 为“恰有1人做对”，故
依题可知， 可取 ，
， ， ，
故 的分布列如下表：
故 ..........................................11分
（3）设 为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有 的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故 ，即 ，故 ，
同理有， ，故 ，
故 ..........................................15分
20．（满分15分）当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．
已 知 语 料 库 实 时 处 理 数 据 时 ， 数 据 量 （ 万 条 ） 与 系 统 延 迟 （ 秒 ） 的 关 系 为
．
(1)讨论系统延迟最小的临界数据量；
(2)当 时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）．
参考数据： 3.0910．
【答案】(1)答案见解析 (2)21万条
【分析】（1）求导，研究其单调性，求出其最值即可；
（2）根据单调性求出 的整数解.
【详解】（1）由题意得， ，
令 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，当 时， ；当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，也是最小值；
②若 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增， 没有最小值.
综上，若 ，则系统延迟最小的临界数据量为 ；
若 ，则不存在系统延迟最小的临界数据量..........................................9分
（2）当 时， ，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 19. ， 20. ，
故延迟不超过20秒时，数据量的最大值为21万条..........................................15分
21．（满分15分）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是曲线
在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
【答案】(1) (2)证明见解析 (3)
【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；
（2）求出直线 的方程，再构造函数 ，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
（3）求出直线 的方程，即可由题意得到 的表示，从而用字母 表示出 ，从而求出范围.
【详解】（1）设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 ..........................................4分
（2）因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ， ，
由（1）可知， 在 上单调递增，而 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
而当 时， ，所以总有 ， 单调递增
故 ，从而命题得证；.......................................9分
（3）解法一：由题意，直线 ，直线 ，
所以 ， ，.........................................10分
当 时， ， 在 上单调递增，
所以
所以
，.........................................13分
由（1）可得当 时， ，
所以 ，.........................................14分
所以 ..........................................15分
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学科网（北京）股份有限公司解法二：由 可设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为直线 的方程为 ，易知 ，
所以直线 的方程为 ,
， .
所以
,由（1）知,当 时， ，所以 ,
所以 .......................................15分
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