文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（北京专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：选择性必修第二、三册+高考一轮复习（集合与逻辑、复数、函数与不等式）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
3．根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ）
A．曲线在点 处切线的斜率 B．曲线在点 处切线的斜率
C．曲线在点 处切线的斜率 D．割线 的斜率
4．已知 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
A． B． C．16 D．18
5．已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．4
6．已知 ，则（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
7．已知函数 的定义域为D，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
8．函数 在 处有极小值5，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或3
9．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物
个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总
数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．从点 可向曲线 引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的导数为 ．
12．已知 ，则 ； ．
13．已知函数 ，当 时， ；若 在 上单调递增，则实数a的取
值范围是 .
14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该数列的前3项成等差数列，
后7项成等比数列，且 ，则 ；数列 所有项的和为 ．
15．设函数 有三个不同的零点，从小到大依次为 ，则（ ）
①．
②．函数 的对称中心为
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学科网（北京）股份有限公司③．过 引曲线 的切线，有且仅有1条
④．若 成等差数列，则
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（满分13分）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)3名女生不相邻．
(2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾．
(3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变．
17．（满分13分）已知函数 在 及 处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 在 处的切线方程；
18．（满分14分）已知等差数列 的公差是-2，等比数列 的公比是2，若 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
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学科网（北京）股份有限公司19．（满分15分）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参
加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答
题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，
用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为 ，乙校学生选择正确的概率为 .设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为 ， ，判断 与 的大小（结论不要求证明）.
20．（满分15分）当前，以深度求索（DeepSeek）等为代表的人工智能技术创新不断取得突破性的进展．
已 知 语 料 库 实 时 处 理 数 据 时 ， 数 据 量 （ 万 条 ） 与 系 统 延 迟 （ 秒 ） 的 关 系 为
．
(1)讨论系统延迟最小的临界数据量；
(2)当 时，若要求延迟不超过20秒，求数据量的最大值（取整数）．
参考数据： 3.0910．
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学科网（北京）股份有限公司21．（满分15分）已知函数 的定义域是 ，导函数 ，设 是曲线
在点 处的切线．
(1)求 的最大值；
(2)当 时，证明：除切点A外，曲线 在直线 的上方；
(3)设过点A的直线 与直线 垂直， ， 与x轴交点的横坐标分别是 ， ，若 ，求 的
取值范围．
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