数学（答案及评分标准）_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年07月试卷_2025年高三数学秋季开学摸底考_2025年高三数学秋季开学摸底考01（全国通用）

2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷（全国通用） 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14．-2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由题意知 ，（1分） 解得 或 ，（3分） 当 时， ， ，故 ， ；（4分） 当 时， ， ，故 ， （5分） 所以 或 ；（7分） （2）因为 ，所以 .因为 ，（8分） 所以 ，（9分） 两式相减得 （11分） ，（12分） 故 .（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设事件“前两题中甲至少答对了1题”为 ，事件“前两题甲都答对”为 ， 依题意， ，（2分） ，（3分） 所以 . 则在前两题中甲至少答对了1题的条件下，前两题甲都答对的概率为 .（5分） （2）依题意，每道题甲、乙均答对的概率为 ，（6分） 的所有可能值为 ，（7分） ，即 ， ，1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， ，（13分） 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 5（14分） 数学期望 .（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由 ，得 ，二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 而平面 平面 ， 平面 ，故 平面 .（1分） 因为 平面 ，所以 ，（2分） 又 ， ， 平面 ， ，故 平面 ，（3分） 又 平面 ，故 .（4分） （2）过点S作 于点O，连接 ，由 ，得 . 又 ，故四边形 为平行四边形， 因为 ，所以 ，即 ，故 ， ， 两两垂直，（5分） 以O为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 故 ， ， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ， 令 ，则 ， ，故 为平面 的一个法向量，（6分） 设平面 的法向量的 ，则 令 ，则 ， ，故 为平面 的一个法向量，（7分） 则 ，（8分） 二面角 的正弦值为 .（9分） （3）若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，则 ，（10分） 由（2）知 ，故M与O点重合，因为N在平面 上， 设 ，p， ， ，则 ，（10分）因为 ， ， ，则 ， ， 设平面 的法向量 ，则 ， 令 ，则 ， ，故 为平面 的一个法向量，（11分） 故 ，整理得 ，（12分） 又 ，故 ，（13分） 由 ，故 ， 当且仅当 时等号成立， 取得最小值为 .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设 ，则 的面积为 ，（1分） 所以 ，（2分） 根据抛物线的定义，得 ，所以 ，（3分） 所以 ，解得 ，即C的方程为 .（4分） （2）由（1）知 ，设 ， ，直线AB的方程为 ， 则 且 ，联立 可得 ， ，（5分） 由韦达定理可得 ， ，（6分） ，同理 ，（7分）又因为 ，所以 ，（8分） 整理得 ，所以 ，即 ，（9分） 所以 ，即直线AB过定点 ；（10分） （3）因为 ，所以 ， 设直线GM的方程为 ， 由 可得 ， 则 ，解得 ，（11分） 所以直线GM的方程为 ，且 ，同理可得直线 ，（12分） 设 ，因为 ，所以 即 ， 由 得 ，设直线 ， 由 可得 ， 由 ，可得 或 ，（13分） 当 时，直线 ，与直线GM的方程一样，舍去，故 ，所以直线 ，即 ，与直线 联立求得 ，（14分） 点 到直线 的距离为 ，（15分） 又 ， 所以 的面积为 ，（16分） 因为 ，所以当 时， 面积取到最大值为8.（17分）19．（17分） 【详解】（1）证明：令函数 ， ，则 ，（1分） 所以 在 上单调递增，（2分） 则 ，即 在 上恒成立.（3分） （2）证明：因为 ，所以 在 上单调递增.（4分） 由（1）得 在 上恒成立，故 在 上恒成立，（5分） 所以 ，（6分） 因为 ，故取 ，取 ， 则 ，（7分） 而 ，所以 在 上有1个零点， 即 在 上恰有1个零点.（8分） （3）令 ，即 ，等价于 .（9分） 记 ， . 在 上的零点个数即 在 上的零点个数.是 的1个零点.（10分） 因为 ， 所以 是奇函数，则 在 和 上的零点个数相同.（11分） ，因为 在 上为减函数， 故 在 上单调递增. 当 时， ，故 在 上单调递增. 因为 ，所以 在 上恒成立，即 在 上没有零点， 所以 在 上只有1个零点.（13分） 当 时，由（2）可得 在 上恰有1个零点，记该零点为 . 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增.（14分） 而 ，故 ，取 ，则 ，（15分） ， 结合 在 上的单调性可得 在 上有1个零点，（16分） 即 在 上有1个零点，所以 在 上有3个零点. 综上，当 时， 在 上只有1个零点； 当 时， 在 上有3个零点.（17分）