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2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数学·答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B D D C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．___ 2 _____ ；13．____ ______；14．______ / ____
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】（1）零假设 ：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，
根据表中数据，计算得 ，…………3分
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看
过电影《哪吒之魔童降世2》有关联. …………4分
（2） ，…………6分
.…………8分
（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的
有2人，
可得 的所有可能取值为1，2，3，
此时 ， ， ，…………11分则 的分布列为：
1 2 3
所以 .…………13分
16．（15分）
【答案】（1）由题意 ，则 ，
因为 ，所以 ，…………1分
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
所以 平面 ，…………3分
因为 平面 ，所以 ，
且 平面 ，所以 平面 ，…………5分
又 平面 ，所以平面 平面 ；…………6分
（2）如图，以A为原点， 分别为 轴， 轴正方向，在平面 内过点A作平面ABC的垂线为z
轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，…………7分
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，…………10分
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，…………13分
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，…………14分所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．…………15分
17．（15分）
【答案（1）因为 ，
所以 ，解得 ，…………1分
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分
所以 ，即 ．…………4分
（2）因为 ，
所以 ，①
，②…………5分
① － ② 得 ，
…………8分
所以 ．…………9分
（3）因为 ，…………11分
所以 ，…………13分
易知 是增函数，所以 ，…………14分
所以 ．…………15分
18．（17分）
【答案】（1）由对称性知 ， 和 在椭圆C上，所以 ，…………2分
所以 ，C的方程为 .…………4分
（2）设直线 的方程为 ，点 ， ，由 消去 得： ，
则 ，…………6分
则 或 . ，…………8分
面积 …………9分
令 ，则 ， ，
当且 ，即 时， 面积的最大值为 .…………11分
（ii）因为 ，所以直线 的倾斜角互补，所以 ，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以 .…………12分
于是 ，
， .
所以 ，…………14分
于是 ，
因为 ，
所以 .
所以 的值1. …………17分
19．（17分）
【答案】（1）由 ，得 ，…………1分设 ，
当 时， ， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 的最小值是 ；…………5分
（2）①由（1）知： ，
因为 ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，…………7分
又 ， ，
所以 ，…………9分
所以 存在唯一的变号零点 ，即 有且仅有一个极值点 ；…………10分
②由①知， 有且仅有一个极值点 ，且 ，
当 时， ， ，
由①知， ，
要证明 ，
只需证明 ，
而 ，那么 ， ，…………11分
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，…………12分
当 时，
因为 ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，所以 ，…………14分
当 时， ，
，…………16分
综上所述，当 时， .…………17分
