文档内容
2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由 得 ，
则 在复平面内所对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 .
故选：A
3．已知 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，当 时， ，则
（ ）
1 / 14
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意： ，
，
所以 .
故选：D
4．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则 ，
根据对数函数的性质知 ，则 .
故选：B
5．设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 或 与 相交
【答案】D
【详解】对于A，若 ，则 ，又 ，则 或 ，故A错误；
对于B，由 ，可知 可能平行或相交，故B错误；
对于C，若 ，则有可能是 ，也可能 ，故C错误；
对于D，由 ，可知 可能平行或相交，故D正确.
故选：D.
6．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 是
中点，则 （ ）
2 / 14
学科网（北京）股份有限公司A．2 B．
C． D．
【答案】D
【分析】先角化边得出 ，在结合余弦定理求分别求出 ， ， 的值，最后在 中用余弦
定理即可求出 的值.
【详解】利用正弦定理结合条件 可知： ，即 ，
由 余 弦 定 理 即
，故 ， ，
在 中由余弦定理可知： ，
在 中 由 余 弦 定 理 可 知 ：
，
整理得： 即 .
故选：D
7．若圆 关于直线 对称，其中 ， ，则 的最小值为（
）
A．2 B．
C．4 D．
【答案】C
【详解】由 得 ，
所以圆心为 ，又圆关于直线 对称，
则直线 过圆心，即 ，
所以 ，
又 ，
3 / 14
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
故选：C.
8．已知 ，若0是 的极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过对函数 求导，满足 ，然后分类讨论利用导数法研究 的符号，根据极小值
点的概念判断即可.
【详解】对函数 求导得： ，
又由 是函数 的极小值点，所以 ，
还需分析 在 附近的符号变化，令 ，
则 ， ，
当 时， ， 即 在 附近单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，满足0是 的极小值点；
当 时， ， ，
当 时 ， ， 单 调 递 减 ， 当 时 ， ， 单 调 递 增 ， 所 以
，
所以 单调递增，此时 无极小值点；
当 时， ， 即 在 附近单调递减，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
此时0是 的极大值点，不符合题意；
综上所述：a的取值范围为 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ，则（ ）
4 / 14
学科网（北京）股份有限公司A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为
【答案】AD
【详解】对于A，由 ，可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故 ，故B错误；
对于C， ，由 ，可得 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时， ，此时 在 方向上的投影向量的坐标为
，故D正确．
故选：AD．
10．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量 ，且 ，则
B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92
C．若样本数据 ， ，…， 的方差为2，则数据 ， ，…， 的方差为8
D．已知回归直线方程为 ，若样本中心为 ，则样本点 处残差为
【答案】ACD
【详解】
对于A，若随机变量 ，且 ，又 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：第50百分位数（中位数）为： .故选项B错误.
对于C，若样本数据 的方差 ，则数据 的方差 ，故C正确；
对于D，样本中心为 代入回归方程，得 ，解得 ，则 ，
当 时， ，故样本点 处的残差为 ，故D正确；
11．已知 是双曲线C： （ ， ）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，
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学科网（北京）股份有限公司垂足为A，交另一条渐近线于点B，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若 ，则
【答案】ABD
【详解】
如图，∵ ，∴ ， ，
∵点F到两条渐近线的距离相等，∴ ，故A正确；
∵ AB⊥ OA ， ， ∴ ， ，
， ，故B正确；
由B知，一条渐近线的斜率 ，则 ，故C不正确；
由 C 知 ， ， 所 以 ， ， ， ∴
，∴ ， ， ，故D正确，
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 ____________．
【答案】2
【详解】由题意知 ，所以 ，
由 及抛物线定义，得 ，解得 ．
故答案为：2．
13．将一个圆心角为 、面积为 的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．
【答案】
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则 ，解得 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ， ，且点 为 边上的中点，
设内切圆的圆心为 ，由于 ，
故 ，
设内切圆半径为 ，则 ，
解得 ，其表面积为 .
故答案为： .
14．已知函数 ，若 ，且 在 上有且仅有三个极值点，
则 ____________________.
【答案】 /
【分析】求出 ，根据 在 上有且仅有3个极值点证明 ，求出 ，即可求解.
【详解】 ， ，
，
或 ，
或 .
当 ， 时 ，
在 上有且仅有3个极值点，
，
即 ， ，
， .
7 / 14
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中
国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄
和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
看过 没看过 合计
不超过35周岁 30 20 50
超过35周岁 15 35 50
合计 45 55 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关
联？
(2)根据 列联表的信息， 表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世 2》”， 表示“选到的市民超
过35周岁”，求 和 的值；
(3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出 5人组成一个小组，从抽
取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人
数 的概率分布和数学期望.
附： ，其中 .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2) ， .
(3)分布列见解析，
【分析】（1）计算 的值，根据独立性检验判断即可；
（2）根据条件概率及古典概型求解即可；
（3）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知 的所有可能取值，求出相
应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望.
【详解】（1）零假设 ：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联，
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学科网（北京）股份有限公司根据表中数据，计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看
过电影《哪吒之魔童降世2》有关联.
（2） ，
.
（3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的
有2人，
可得 的所有可能取值为1，2，3，
此时 ， ， ，
则 的分布列为：
1 2 3
所以 .
16 ． （ 15 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， 且
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线段关系证 ，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【详解】（1）由题意 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）如图，以A为原点， 分别为 轴， 轴正方向，在平面 内过点A作平面ABC的垂线为
z轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
17．（15分）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)设 ，记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由 的关系求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由题意 ，利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解；
（3）由题意得 ，由裂项相消法即可证明.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，解得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
（2）因为 ，
所以 ，①
，②
①－②得 ，
所以 ．
（3）因为 ，
所以 ，
易知 是增函数，所以 ，
所以 ．
18．（17分）已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆C相交于 两点.
（i）若 为原点，求 面积的最大值；
（ii）点 ，设点 是线段 上异于 的一点，直线 的斜率分别为 ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司求 的值.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）1.
【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示
三角形面积，进而进行判断；（ii）由 可知直线 的倾斜角互补，用距离公式表示并作比
值求解.
【详解】（1）由对称性知 ， 和 在椭圆C上，所以 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，点 ， ，
由 消去 得： ，
则 ，则 或 . ，
面积
令 ，则 ， ，
当且 ，即 时， 面积的最大值为 .
（ii）因为 ，所以直线 的倾斜角互补，所以 ，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以 .
于是 ，
， .所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司于是 ，因为 ，
所以 .所以 的值1.
19．（17分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)①求证： 有且仅有一个极值点；
②当 时，设 的极值点为 ，若 ．
求证： ．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性以及零点，即可判断函数的单调性，即可求函数
的最小值；
（2）①利用导数判断导函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可证明；
②根据①的结果，得 ，再将不等式转化为 ，再利用导数，逐
层判断函数的单调性，分 和 ，利用最值证明不等式.
【详解】（1）由 ，得 ，
设 ，
当 时， ， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 的最小值是 ；
（2）①由（1）知： ，
因为 ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 ，
所以 存在唯一的变号零点 ，即 有且仅有一个极值点 ；
②由①知， 有且仅有一个极值点 ，且 ，
当 时， ， ，
由①知， ，
要证明 ，
只需证明 ，
而 ，那么 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，
因为 ，所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，又 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
当 时， ，
，
综上所述，当 时， .
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学科网（北京）股份有限公司
