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综合复习与测试（全册）（1）
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其
中只有一项符合题目要求）
1．如图所示空心圆柱体，则该几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程 ＝0的根为（ ）
A． B．
C． ， D． ，
3．如图，已知A为反比例函数 的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足
为B，若△OAB的面积为2.5，则k的值为（ ）
A．2.5 B．－2.5 C．5 D．－5
4．下列命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等B．平行四边形的对角互补
C．有三个角为直角的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
5．如图中的两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数 与反比例函数 的图象有 个公共点，则 的取值范围
是( )
A． B． C． 或 D．
7．如图，函数y＝kx＋k和函数y＝ 在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
8．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项
目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的
平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在 中， ， 于点D，下列结论错误的有（ ）
个① 图中只有两对相似三角形；② ；③若 ，AD＝8，则CD
＝4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
10．如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为
，连接 ，若 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．－4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．如果 ，那么 _____．
12．反比例函数 的图象上有两点， ， ，若 ，则
与 的大小关系为 ______ ．
13．在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2m，一古塔在地面上影长为60m，那么
古塔的高为______．
14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长
等于_______．15．如图，在平行四边形 中，点 为 的中点，连接 ，交 于点 ，若
平行四边形 的面积是 ，则 的面积是______．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正
半轴上，双曲线 （x＞0）分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，
BC的中点，连接EF．若 BEF的面积为5，则k的值是_____．
△
17．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AB，BC上，将△ABC沿DE折叠，
使点B落在AC边上的点F处，连接DF，EF，若 ，则 ______．（结果用
含n的代数式表示）18．等腰直角 中， ， ， 为 的中点， 交射线
于 ，连接 ，若 ，求线段 的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分）
19．（12分）解方程：
(1) ； (2)
20．（8分）已知关于x的一元二次方程 ．
(1) 求证：此方程总有两个实数根；
(2) 若此方程的两根的差为2，求k的值．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分
∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1) 求线段DE的长；
(2) 取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点
G，求 的值．
22．（10分）如图，点D、E、F分别足 的边AB、BC、AC的中点，延长DE至
点G．使得 ，连接AE，FG．
(1) 求证：四边形AEGF是平行四边形．
(2) 若 ， ，求FG的长．23．（10分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，
将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．
评估成绩n（分） 评定等级 频数
A 2
B
C 12
D 4
根据以上信息解答下列问题：
(1)m的值是___________，B等级所在扇形的圆心角度数是___________；
(2)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A
等级的概率．
24．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120
元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩
大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1)设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；
（用x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
(3)要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
25．（10分）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM
上一点， 的平分线交AM延长线于点F．
(1) 如图1，若 ， ，求AB的长；
(2) 如图2，若 ，
① 求 的度数；
② 求证： ．
26．（12分）如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上， ， ，
双曲线 与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．
(1) 若点E是AB的中点，求点F的坐标；
(2) 将 沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作 于点 ．
问： 与 是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．参考答案
1．C
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，又因为该几何体为空心圆柱体，
故矩形的内部有两条纵向的虚线，
故选：C．
【点拨】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得
到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．A
【分析】用直接开方法解方程即可．
解：∵ ＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得： ，
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟悉解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．D
【分析】根据反比例函数y= (x<0)系数k的几何意义得到 ，然后得到k的
值．
解：∵过点A作AB⊥y轴，垂足为B，△OAB的面积为2.5
∴ =2.5又∵点A在第二象限
∴ = =2.5
k=-5
故答案选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数y= (x<0)系数k的几何意义，解题的关键在用A的
坐标表示出三角形的面积．
4．D
【分析】利用菱形、平行四边形的性质及正方形、矩形的判定方法分别判断后即可确
定正确的选项．
解：A、菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的对角互补，故原命题 错误，不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、平行四边形的性质及正
方形、矩形的判定方法等知识，属于基础知识，比较简单
5．B
【分析】过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
解：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(4,-
2)．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了位似变换，熟记“过图中三角形的两对对应点作直线，两条
直线的交点即为位似中心”这一方法是解题的关键．6．C
【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．
解：由 ，消去 得到： ，
一次函数 与反比例函数 的图象有2个公共点，
△ ，
即 ，
或 ，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思
想思考问题．
7．B
【分析】将一次函数化简为 ，得出x轴的交点为 ，据此排除选项
A、C，考虑 时及 时，判断两个函数经过的象限即可得出结果．
解：AC. ，
函数 与x轴的交点为 ，故A、C不合题意；
B.函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在一、三象限，此时
的图像在第一、二、三象限，故B符合题意；
当函数 ，且 为常数 中 时，反比例函数图像在二、四象限，此时
的图像在第二、三、四象限，故D错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，熟练掌握一次函数与反比例函
数的图像是解题关键．
8．A
【分析】利用平均增长率，分别表示2021年，2022年的投资，计算三年的投资总和，列方程即可．
解：设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为
，
故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率问题，熟练掌握平均增长率是解
题的关键．
9．A
【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的
性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ ，
∵ ，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S ACB= AC•BC= AB•CD，
△
∴BC•AC=AB•CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD= ，故③正确，
故选：A．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正
确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．A
【分析】联立两个函数解析式，用含有m的代数式表示A，B两点坐标，再跟据等面
积法，以及面积公式列出方程，求解即可．解： 联立两个函数： ，
则 ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵AM⊥OM，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴k=2，
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数的性质与图形，反比例函数的性质与图象，几何与面积综
合，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
11．
【分析】根据 ，可得 ，再代入，即可求解．
解：∵ ，∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是
解题的关键．
12．
【分析】先判断出函数图象在二、四象限，再根据 ，可判断出 、 两点所
在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出 与 的大小关系．
解： 反比例函数 中 ，
此函数图象在二、四象限，
，
在第二象限；点 在第四象限，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先
根据 判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
13．45m##45米
【分析】设古塔的高为xm，根据同一时刻物高与影长成比例，可建立方程，求解即可．
解：设古塔的高为xm，由题意得： ，
解得：x=45，
即：古塔的高为45m，
故答案为：45m．
【点拨】本题主要考查的是相似三角形的应用，解答本题的关键是仔细审题，列出对
应的比例．
14．8
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直
角 ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
△解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角 ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，
则根据△勾股定理，得
．
故答案为：8．
15．
【分析】根据四边形 是平行四边形，求证 ∽ ，然后利用其对应边
成比例即可求得 ： ： ，再根据高相等的两三角形面积比等于底边比的性质即可
求出问题答案．
解： 四边形 是平行四边形，
，
点 为 的中点，
，
： ： ： ，
，
∽ ，
，平行四边形 的面积是 ，
，
的面积 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质及三角形面积的
求法等知识点，难度不大，属于基础题．
16．20
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入
反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为5，列出a、b的方程，
求得ab，便可求得k．
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（ a，b），F（a， b），
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴ ab＝k，
∵S BEF＝5，
△
∴ × a× b＝5，即 ab＝5，
∴ab＝40，
∴k＝ ab＝20．
故答案为：20．
【点拨】本题考查反比例函数图象与性质，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐
标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，
本题属于中等题型．
17．【分析】过点D作DG⊥AF于点G，设 ， ，运用 ， ，
，得出AD，DG的长，再通过翻折的性质及勾股定理，用n的代数式表示x，最后
证明 ，通过相似三角形的性质得到答案．
解：如图，过点D作DG⊥AF于点G，设 ， ，
∵△ABC为等边三角形，DG⊥AF，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
∵ ，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，
∴ ．
．
在 中，
∵ ，
∴ ，
即 ，
化简得 ．
∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
∵将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴在 中，有 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定及性质，综合性
比较强，其中大胆设未知量是解题关键．
18．
【分析】过点A作 于点M，过点D作 于点N．由等腰直角三角形
的性质可得出 ， ，结合题意和所作辅助线即可证明 和
是等腰直角三角形，从而可求出 ．再根据 为 的中点，
可求出 ，从而可求出 ．根据平行线分线段成比例可得出
，代入数据即可求出 ，进而可求出 ，最后根据勾股定理即可求出
AE的长．
解：如图，过点A作 于点M，过点D作 于点N．∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例．正确地作出辅助线是解题关键．
19．(1) ， (2) ，
【分析】（1）方程两边开方得到 ，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法解方程．
（1）解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．(1)见分析；(2)1或
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式 ，可得出 ，由
偶次方的非负性可得出 ，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程
解之即可．
（1）证明：∵ ，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知， ，
∴ ，∴ ， ，
∵若此方程的两根的差为2，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
∴k的值为1或 ．
【点拨】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当 时，
方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式： ．
21．(1)4(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt ACD中，∠ACD＝90°，
∠DA△C＝30°，AC＝6，
∴CD＝ ，
在Rt ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
△
∴BC＝ ，
∴BD＝BC－CD＝ ，
∵DE∥CA，
∴ ，
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，∴ ＝ ．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴ ＝ ， ＝ ．
∴ ＝ ．
∵BD＝4 ， BC＝6 ， DF＝AG，
∴ ．
【点拨】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
22．(1)见分析(2)
【分析】（1）根据三角形中位线的性质结合已知条件，可得 ，即
可得证；
（2）根据勾股定理，求得 的长，根据直角三角形斜边上的中线可得 的长，进
而根据平行四边形的性质即可求解．
（1）证明：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵F为AC的中点，∴ ，
∴ ，
∴四边形AEGF是平行四边形．
（2）∵D是AB中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵E是BC的中点，
∴ ，
由（1）得四边形AEGF是平行四边形
∴ ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)20，36°(2)
【分析】（1）由C等级频数为12，占60%，即可求得m的值；求得B等级的频数，
继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；
（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是
A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）∵C等级频数为12，占60%，
∴m=12÷60%=20；
∵B等级频数为： ，
∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=36°；
（2）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图
得：∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，
∴其中至少有一家是A等级的概率为： ．
【点拨】此题考查了扇形统计图，频数分布表，列表法或树状图法求概率以及扇形统
计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．(1) ； (2)每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元(3)不可能平
均每天赢利2000元，理由见分析
【分析】（1）根据销售量＝原销售量＋因价格下降增加的销售量，每件的利润＝实际
售价－进价，列式即可；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，列方程求解即可；
（3）根据总利润＝每件的利润×销售数量，列方程求解即可．
（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元，
故答案为： ， ；
（2）依题可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元；
（3）根据题意得： ，
∴ ，
∴△= = -4×1×600=-1500 0，
∴原方程无解.答：不可能平均每天赢利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意找出题目蕴含的等量关系是
解本题的关键．
25．(1) (2)①45°；②见分析
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得到 ，设
，则 ， ，由斜边上中线的性质得到 ，由勾
股定理得到x的值，即可得到答案；
（2）①由 平分 得到 ，先证 DAE是等腰三角形，由等腰三
角形的性质得到 ，进一步得到 △ ，即可得到结论；
②先证 ，得 ， 是等腰直角三角，则 ，即可
得到结论．
（1）解：四边形ABCD是正方形，
，
设 ，则 ， ，
在 中，点E为斜边AM的中点，
，
由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
；
（2）①过点过点D作 于P，如图2所示：
平分 ，，
∴ DAE是等腰三角形，
∵△ ，
，
，
，
即 ，
，
②过点A作 交FD的延长线于点H，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
（SAS），
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和
性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
26．(1) (2) ，相似比为
【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函
数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为
，点F坐标为 ，即可得 ，在Rt△CDF中表示出CD，
利用对应边成比例可求出k的值．
解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入 ，可得k=4，
即反比例函数解析式为： ，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标= ，
∴点F的坐标为（4，1）；
（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为 ，点F坐标为 ，
则 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F
的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的
性质．
