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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题02 平方差与完全平方公式的运算
【典型例题】
1．（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式及单项式与多项式的乘法法则逐个运算，最后合并同类项即可．
【详解】
解：原式 ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式及多项式的乘法法则，属于基础题，计算过程中细心即可．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·吉林绿园·八年级期末）计算（4＋x）（x－4）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方差公式： 进行求解即可．
【详解】
解： ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式．
2．（2022·山东微山·八年级期末）已知 是完全平方式，则k的值为（ ）
A．－6 B．±3 C．±6 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方式的特点：两数的平方和，加上或减去这两个数的乘积的2倍，即可确定k的值．
【详解】
∵
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的特点是关键．注意不要忽略了k的负值．
3．（2022·江苏崇川·八年级期末）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
对已知条件变形为： ，然后等式两边再同时平方即可求解．
【详解】
解：由已知条件可知： ，
上述等式两边平方得到： ，
整理得到： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等式恒等变形，完全平方公式的求值等，属于基础题，计算过程中细心即可．
4．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（ ）A．1 B． C．3 D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方差公式即可求出答案．
【详解】
解： ， ，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
5．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 B．a（a－b）＝a2－ab
C．b（a－b）＝ab－b2 D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）
【答案】D
【解析】
【分析】
观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．
【详解】
解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，
图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)，
故选D．
【点睛】
此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
二、填空题
6．（2021·上海普陀·七年级期末）计算： ＝____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式 进行求解即可．
【详解】
解： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2021·山东·禹城市龙泽实验学校八年级阶段练习）计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：原式=[（x-（2y-3））][x+（2y-3）]
=x2-（2y-3）2
=x2-4y2+12y-9【点睛】
本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练运用熟练应用乘法公式是解题关键．．
8．（2021·广西·灵山县那隆第一中学九年级期中）填上适当的数使等式成立：x2＋8x＋______＝（x＋
______）2.
【答案】 16 4
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的形式求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴横线上填的数为16和4，
故答案为：16；4．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的形式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．完全平方公式：
， ．
9．（2022·辽宁庄河·八年级期末）如果 是完全平方式，则 ______．
【答案】0或
【解析】
【分析】
根据完全平方公式 即可得．
【详解】
解：由题意得： ，
即 ，
则 ，
解得 或 ，
故答案为：0或 ．【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．
10．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定 ，则当
时， ____．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据题意化简 ，将 变形为 ，再整体代入即可求解．
【详解】
解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将 化简是解题关键．
三、解答题
11．（2022·江苏崇川·八年级期末）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式及平方差公式，然后再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式及平方差公式，属于基础题，计算过程中细心即可．
12．（2022·浙江·九年级专题练习）先化简，再求值：
（x﹣2y）（x+2y）+（x+y）（x﹣4y），其中x＝1，y＝﹣2．
【答案】2x2﹣3xy﹣8y2，-24
【解析】
【分析】
直接利用乘法公式以及多项式乘多项式计算，再合并同类项，把已知数据代入即可求出得出答案．
【详解】
解：原式＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2
＝2x2﹣3xy﹣8y2，
当x＝1，y＝﹣2时，
原式＝2×12﹣3×1×（﹣2）﹣8×（﹣2）2
＝2+6﹣32
＝﹣24．
【点睛】
此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知乘法公式以及多项式乘多项式运算法则．
13．（2021·江苏秦淮·七年级期末）先化简，再求值：（3a＋b）（ b－3a）＋（3a－b）2，其中a＝2，b
＝－1．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项，代入数值计算即可．
【详解】
解： 原式＝b2－9a2＋9a2－6ab＋b2
＝2b2－6ab．
当a＝2，b＝－1时，
原式＝2×（－1）2－6×2×（－1）＝14．【点睛】
此题考查了整式混合运算的化简求值，正确掌握整式的平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
14．（2021·吉林伊通·八年级期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），
将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S，图2中阴影部分的面积为S，请用含a，b的式子表示：S＝
1 2 1
，S＝ ；（不必化简）
2
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1．
【解析】
【分析】
（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式即可解答；
（2）由（1）中所得的S₁和S₂的面积相等即可解答；
（3）根据（2）中的公式，将2020×2022写成（2021－1）×（2021＋1），然后按照平方差公式进行化简，
再按照有理数的混合运算计算出即可．
【详解】
解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a＋b）（a﹣b）
故答案是：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）由（1）所得结论和面积相等，则可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案是：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）运用（2）所得的结论可得：
20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021＋1）
＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212＋1
＝1．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，灵活利用数形结合思想以及掌握平方差公式的形
式是解答本题的关键．
15．（2022·吉林二道·八年级期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
(2)填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
(3)如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积
是12，则x的值为 ．
【答案】(1)12
(2)6
(3)5
【解析】
【分析】
（1）根据 代入计算即可；
（2）由于（4-x）+x=4，将 转化为 ，然后代入计算即可；
（3）根据面积公式可得(x-1)(x-2)=12，设x-1=a，x-2=b，再根据 代入得到
，进而求出x．
(1)解：∵x+y=8，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴2xy=24，
∴xy=12；
(2)
解：
=16-2×5
=6，
故答案为：6；
(3)
解：由题意得(x-1)(x-2)=12，
设x-1=a，x-2=b，则ab=12，
∴a-b=(x-1)-(x-2)=1，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴2x-3=±7，
∴x=5或x=-2(舍)．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
16．（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长
为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，
B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)① ；②-2
【解析】
【分析】
（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方
形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，
a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．
(1)
方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2020=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2020）=-2．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形
是解题的关键．
17．（2022·江西章贡·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和
S+S＝26，求图中阴影部分面积．
1 2
【答案】(1)（a+b）2=（a-b）2+4ab
(2)m+n=2或-2(3)图中阴影部分面积为
【解析】
【分析】
（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；
（2）由（1）得到的关系式求解即可；
（3）设AC=m，BC=n，则m+n=8，m2+n2=26，由（1）得到的关系式求解即可．
(1)
解：由图形面积得（a+b）2=（a-b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=（a-b）2+4ab；
(2)
解：由（1）题所得（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∴（m+n）2=（m-n）2+4mn，
∴当mn=-3，m-n=4时，
（m+n）2=42+4×（-3）=4，
∴m+n=2或-2；
(3)
解：设AC=m，BC=n，
则m+n=8，m2+n2=26，
又由（m+n）2=m2+2mn+n2，得
2mn=（m+n）2-（m2+n2）=64-26=38，
∴图中阴影部分的面积为： mn= ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用．
