文档内容
专题 03 乘法公式
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
2.完全平方公式
完全平方式的定义： a ²±2ab+b²=（a±b）²
口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的 2 倍中间放，符号看前方”． （就
是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数
放在两数的乘方的中间，这 个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，
完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号 都用+）”
【经典题型】
考点1 平方差公式
【典例1】（2022春•滨海县期中）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是
（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．10
【变式1-1】（2020秋•阳江期末）计算 得到（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021秋•鲤城区校级期末）若 ，则括号
内应填的代数式是（ ）A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
【变式1-3】（2021春•长清区期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算
的是（ ）
A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x﹣2）（x+1）
【变式1-4】（2022•南海区一模）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a+b的值是（
）
A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7
【典例2】（2022春•临湘市校级月考）简便计算：2021×2023﹣20222．
【变式2-1】（2022春•古田县期中）计算2011×2013﹣20122的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【变式2-2】（2022春•渭城区期中）计算：799×801﹣8002＝ ．
【变式2-3】（2020秋•二道区期末）计算：2019×2021﹣20202＝ ．
【典例3】（2022春•通州区期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长
为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图 2，
上述操作能验证的等式是（ ）
A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4a+4【变式3-1】（2021秋•香坊区校级期末）如图在边长为 a的正方形纸片中剪去
一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计
算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【变式3-2】（2022春•驻马店月考）如图，在边长为（m+4）的正方形纸片上
剪出一个边长为m的小正方形后，将剩余部分剪拼成一个矩形（不重叠无缝
隙），若这个矩形的一边长为4，则另一边长是（ ）
A．m+2 B．m+4 C．2m+2 D．2m+4
【变式3-3】（2021秋•卧龙区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片
中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线
剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长边的长为（
）A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
【典例4】（2022春•电白区校级月考）从边长为 a的正方形剪掉一个边长为b
的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣
）．
【变式4-1】（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长
为b的正方形（如图 1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将
①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含
1 2
a，b的式子表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
1 2
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．【变式4-2】（2021秋•上思县期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一
个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ，请用含a、b
1 2
的代数式表示：S ＝ ，S ＝ （只需表示，不必化简）；
1 2
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【变式4-3】（2021春•高明区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个
边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图 1
中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．
1 2
（1）请直接用含a和b的代数式表示S ＝ ，S ＝ ；写出利
1 2
用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（ 2 ） 应 用 公 式 计 算 ：
．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
（232+1）+1．考点2 完全平方公式
【典例5】（2021秋•廉江市期末）若 a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（
）
A．40 B．44 C．48 D．52
【变式5-1】（2021秋•崇川区期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为
（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【变式5-2】（2022•临安区一模）（1﹣y）2＝（ ）
A．1+y2 B．1﹣y2 C．1+2y+y2 D．1﹣2y+y2
【典例6】（2022春•大竹县校级期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，
沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个
“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图 2 请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系
；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝ ，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2021﹣m）2+（m﹣2022）2＝7，求（2021﹣m）（m﹣
2022）的值．【变式6-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可
以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，
例如，由图 1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法
则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【变式6-2】（2022春•临川区校级月考）图①是一个长为2m、宽为2n的长方
形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个
正方形．（1）用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量
关系式．
（3）请运用（2）中的关系式计算：若 x+y＝﹣6，xy＝2.75，求（x﹣y）2的
值．
【变式6-3】（2022春•碑林区校级月考）阅读材料：若 x满足（9﹣x）（x﹣
4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+
（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝
1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，
求阴影部分的面积．【典例7】（2022春•滨海县期中）如果x2﹣6x+k（k是常数）是完全平方式，
那么k的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
【变式7-1】（2021秋•江油市期末）已知x2﹣2mx+9是完全平方式，则m的值
为（ ）
A．±3 B．3 C．±6 D．6
【变式7-2】（2021秋•集贤县期末）已知x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m
的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【变式7-3】（2021秋•八公山区期末）如果y2+my+9是完全平方式，则m＝（
）
A．6 B．3 C．3或﹣3 D．6或﹣6
【典例 8】（2021 秋•仁怀市期末）已知 x+y＝3，xy＝2，则 x2+y2的值为
（ ）
A．5 B．9 C．7 D．6
【变式8-1】（2021秋•西青区期末）已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为
（ ）
A．3 B．9 C．49 D．100
【变式8-2】（2021秋•安居区期末）若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a﹣b的值是
（ ）
A．0或7 B．0或﹣13 C．﹣7或7 D．﹣13或13
【变式8-3】（2020秋•紫阳县期末）已知x﹣y＝3，xy＝3，则（x+y）2的值为（ ）
A．24 B．18 C．21 D．12
