文档内容
专题 03 乘法公式
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
2.完全平方公式
完全平方式的定义： a ²±2ab+b²=（a±b）²
口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的 2 倍中间放，符号看前方”． （就
是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以 2，然后把这个数
放在两数的乘方的中间，这 个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，
完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号 都用+）”
【经典题型】
考点1 平方差公式
【典例1】（2022春•滨海县期中）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．10
【答案】C
【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）
＝﹣3×1
＝﹣3．
故选：C．
【变式1-1】（2020秋•阳江期末）计算 得到（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解： ＝ ＝ ．
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•鲤城区校级期末）若 ，则括号内应填的
代数式是（ ）
A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
【答案】D
【解答】解：（3b+a）（3b﹣a）＝9b2﹣a2．
故选：D．
【变式 1-3】（2021 春•长清区期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是
（ ）
A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x﹣2）（x+1）
【答案】A
【解答】解：A、（2x+y）（y﹣2x），能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、（x+2）（2+x），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、（﹣a+b）（a﹣b），不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、（x﹣2）（x+1）不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-4】（2022•南海区一模）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a+b的值是（ ）
A．5 B．7 C．﹣5 D．﹣7
【答案】A
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3，
∴a+b＝5．
故选：A．
【典例2】（2022春•临湘市校级月考）简便计算：2021×2023﹣20222．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝（2022﹣1）（2022+1）﹣20222＝（20222﹣12）﹣20222
＝﹣1．
【变式2-1】（2022春•古田县期中）计算2011×2013﹣20122的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【答案】C
【解答】解：2011×2013﹣20122，
＝（2012﹣1）×（2012+1）﹣20122，
＝20122﹣1﹣20122，
＝﹣1．
故选：C．
【变式2-2】（2022春•渭城区期中）计算：799×801﹣8002＝ ．
【答案】-1
【解答】解：799×801﹣8002
＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002
＝8002﹣1﹣8002
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式2-3】（2020秋•二道区期末）计算：2019×2021﹣20202＝ ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：2019×2021﹣20202
＝（2000﹣1）×（2000+1）﹣20202
＝20202﹣1﹣20202
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【典例3】（2022春•通州区期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正
方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个长方形如图 2，上述操作能验证的等式
是（ ）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2）2＝a2+4a+4
【答案】C
【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣4，
图2是长为a+2，宽为a﹣2，因此面积为（a+2）（a﹣2），
因此有a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【变式3-1】（2021秋•香坊区校级期末）如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为
b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部
分的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b）
【答案】A
【解答】解：∵图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣
b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【变式3-2】（2022春•驻马店月考）如图，在边长为（m+4）的正方形纸片上剪出一个边
长为m的小正方形后，将剩余部分剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若这个矩形的一边长为4，则另一边长是（ ）
A．m+2 B．m+4 C．2m+2 D．2m+4
【答案】D
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，
解得x＝2m+4．
故选：D．
【变式3-3】（2021秋•卧龙区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪
去一个边长为（a+1）cm的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方
形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长边的长为（ ）
A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
【答案】A
【解答】解：由题意得，所剪梯形的两底各为a+4和a+1，
∴该长方形较长边的长为：
（a+4）+（a+1）＝a+4+a+1＝2a+5，
故选：A．
【典例4】（2022春•电白区校级月考）从边长为 a的正方形剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ．
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）…（1﹣ ）（1﹣ ）．【答案】（1） a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）3 （3）
【解答】解：（1）图1的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）∵x2﹣9y2＝12，
∴（x+3y）（x﹣3y）＝12，
又∵x+3y＝4，
∴x﹣3y＝12÷4＝3，
答：x﹣3y的值为3；
（3）原式＝（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）…（1﹣ ）
（1+ ）（1﹣ ）（1+ ）
＝ × × × × × ×…× × × ×
＝ ×
＝ ．
【变式4-1】（2021秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方
形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个
长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，请用含a，b的式子
1 2
表示：S ＝ ，S ＝ ；（不必化简）
1 2（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2） （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）1
【解答】解：（1）由题意得，S ＝a2﹣b2，S ＝（a+b）（a﹣b），
1 2
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，
20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021+1）（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
【变式4-2】（2021秋•上思县期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b
的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ，请用含a、b的代数式表
1 2
示：S ＝ ，S ＝ （只需表示，不必化简）；
1 2
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）1
【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，故图1阴影部分的面积值为a2﹣b2；
长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20152﹣2016×2014
＝20152﹣（2015+1）（2015﹣1）
＝20152﹣（20152﹣1）
＝20152﹣20152+1
＝1．
【变式4-3】（2021春•高明区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的
小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S ，
1
图2中阴影部分面积为S ．
2
（1）请直接用含a和b的代数式表示S ＝ ，S ＝ ；写出利用图形的面
1 2
积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）应用公式计算： ．
（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．
【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2） （3）264．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即 a2﹣b2，
图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣
b），
由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（ 2 ） 原 式 ＝
＝
＝
＝ ；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1
＝（232﹣1）（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264．
考点2 完全平方公式
【典例5】（2021秋•廉江市期末）若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（ ）
A．40 B．44 C．48 D．52
【答案】B
【解答】解：∵a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2+2ab＝36+8＝44，
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•崇川区期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D【解答】解：∵x+4＝2y，
∴x﹣2y＝﹣4，
∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16．
故选：D．
【变式5-2】（2022•临安区一模）（1﹣y）2＝（ ）
A．1+y2 B．1﹣y2 C．1+2y+y2 D．1﹣2y+y2
【答案】D
【解答】解：（1﹣y）2＝1﹣2y+y2，
故答案为：D．
【典例6】（2022春•大竹县校级期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图
2）．
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝ ，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2021﹣m）2+（m﹣2022）2＝7，求（2021﹣m）（m﹣2022）的值．
【答案】(1)（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． (2)±4 (3)﹣3
【解答】解：（1）根据题意由图②可得，
则（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）根据（1）中结论可得，
（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
则52＝（x﹣y）2+4× ，
可得（x﹣y）2＝16，
即x﹣y＝±4．
故答案为：±4；（3）∵（2021﹣m）+（m﹣2022）＝﹣1，
∴[（2021﹣m）+（m﹣2022）]2＝（2021﹣m）2+（m﹣2022）2+2（2021﹣m）（m﹣
2022），
∴（﹣1）2＝7+2（2021﹣m）（m﹣2022），
∴（2021﹣m）（m﹣2022）＝﹣3．
【变式6-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个
数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等
式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图 2可得的乘法公式为
（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
【变式6-2】（2022春•临川区校级月考）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量关系式．
（3）请运用（2）中的关系式计算：若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求（x﹣y）2的值．
【答案】(1)S阴影 ＝（m+n）2﹣4mn (2) （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
(3)25【解答】解：（1）图②中阴影部分为边长为（m﹣n）的正方形，其面积为：S阴影 ＝
（m﹣n）2，
也可以表示为：S阴影 ＝（m+n）2﹣4mn；
（2）由题意得：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝﹣6，xy＝2.75，
∴（x﹣y）2＝（﹣6）2﹣4×2.75＝36﹣11＝25．
【变式6-3】（2022春•碑林区校级月考）阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求
（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝
5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2021）2+（n﹣2022）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝
3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1) 5(2)-5 (3)16
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则5﹣x+x﹣2＝3＝a+b，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）设n﹣2021＝a，n﹣2022＝b，
则（n﹣2021）﹣（n﹣2022）＝a﹣b＝1，
∵a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴11＝1+2ab，
∴ab＝5，∵（n﹣2021）（2022﹣n）＝﹣（n﹣2021）（n﹣2022）＝﹣ab＝﹣5．
（3）根据题意可得，MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴S长EMFD ＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，
S阴 ＝S正MFRN ﹣S正GFDH ＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，
则（x﹣1）﹣（x﹣3）＝a﹣b＝2，
∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×15＝64，
∴a+b＝8，
∴S阴 ＝S正MFRN ﹣S正GFDH ＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝
16．
【典例7】（2022春•滨海县期中）如果x2﹣6x+k（k是常数）是完全平方式，那么k的值
为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【解答】解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴k＝9，
故选：B．
【变式7-1】（2021秋•江油市期末）已知x2﹣2mx+9是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．±6 D．6
【答案】A
【解答】解：已知x2﹣2mx+9是完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝3或m＝﹣3，
故选：A．
【变式7-2】（2021秋•集贤县期末）已知x2﹣4x+m是一个完全平方式，则 m的值为（
）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣4x+m是一个完全平方式，
∴4x＝2x ，∴ ，
解得m＝4．
故选：C．
【变式7-3】（2021秋•八公山区期末）如果y2+my+9是完全平方式，则m＝（ ）
A．6 B．3 C．3或﹣3 D．6或﹣6
【答案】D
【解答】解：∵y2+my+9是完全平方式，
∴y2+my+9＝（y±3）2＝y2±6y+9，
∴my＝±6y，
解得m＝±6．
故选：D．
【典例8】（2021秋•仁怀市期末）已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2的值为（ ）
A．5 B．9 C．7 D．6
【答案】A
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×2＝5，
故选：A．
【变式8-1】（2021秋•西青区期末）已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为（ ）
A．3 B．9 C．49 D．100
【答案】B
【解答】解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴72﹣4×10＝（x﹣y）2，
∴（x﹣y）2＝9，
故选：B．
【变式8-2】（2021秋•安居区期末）若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a﹣b的值是（ ）
A．0或7 B．0或﹣13 C．﹣7或7 D．﹣13或13
【答案】C
【解答】解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝（﹣3）2﹣4×（﹣10）＝49，
∴a﹣b＝±7．
故选：C．【变式8-3】（2020秋•紫阳县期末）已知x﹣y＝3，xy＝3，则（x+y）2的值为（ ）
A．24 B．18 C．21 D．12
【答案】C
【解答】解：∵x﹣y＝3，xy＝3，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝32+4×3
＝21，
故选：C．
