文档文本内容
微专题：二次函数的图象和性质
【考点梳理】
1. 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c (a≠0).
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0).
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0).
1 2
(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开
口方向、值域、单调性分别是：
①对称轴：x＝－.
②顶点坐标：.
③开口方向：a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下.
④值域：a＞0时，y∈；a＜0时，y∈ .
⑤单调性：a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(3)三个“二次”之间的关系：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的端点值.
(4)二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶
点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.
2. 二次函数相关常用结论
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
(1)|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.
(2)f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，f(0)＝c.
(3)|AB|＝|x－x|＝＝，其中A(x，0)，B(x，0)为二次函数与x轴的交点.
1 2 1 2
(4)若对f(x)定义域内任意两个不等的自变量x，x，有f(x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
1 2 1 2
【题型归纳】
题型一：求二次函数的值域或最值
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．函数 在区间 上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是 ，无最大值
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．已知函数 R)．当 时，设 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：判断二次函数的单调性和求解单调区间
4．下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，是偶函数且在区间 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三：与二次函数相关的复合函数问题
7．已知函数 ，若 （其中 ），则 的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．
8．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
题型四： 已知二次函数单调区间求参数值或范围
10．“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：根据二次函数的最值或值域求参数
13．若函数 的最大值是2，则 （ ）
A． B． C． D．
14．设 ，函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
16．若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．已知关于 的不等式 在 上恒成立（其中 、 ），则（ ）
A．当 时，存在 满足题意 B．当 时，不存在 满足题意
C．当 时，存在 满足题意 D．当 时，不存在 满足题意
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
19．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
21．对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知直线 ， 与两坐标轴分别交于 、 两点．当 的面积取最小
值时（ 为坐标原点），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
24．函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）在同一个坐标系内的图象可能是
（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
25．设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
26．函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
27．若不等式 的解集为 ，则函数 的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知O为坐标原点，向量 ，点Q在直线 上运动，则当 取得最
小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
30．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
34．函数 满足条件：对任意的 ，都有 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司35．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A．{m|－2<m<2} B．{m|－1<m<2}
C．{m|－3<m<2} D．{m|1<m<2}
38．已知函数 的值域为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
39．已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为 ，则
A． B．
C． D．
40．若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A．
B．设 ，则 的最小值一定为
C．不等式 的解集为
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．若 ，且 ，则x的取值范围是
42．已知函数 的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[ ] B．[ ] C． D．[ ]
43．设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为1，则（ ）
A．若 确定，则 唯一确定 B．若 确定，则 唯一确定
C．若 确定，则 唯一确定 D．若 确定，则 不唯一确定
44．已知二次函数 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B．不等式 的解集为
C．若 ，则 在 上的值域为
D．不等式 的解集为
三、填空题
45．已知二次函数 的对称轴是 ，且不等式 的解集为 ，则 的解析式是
______．
46．二次函数 的最大值是 ，则 _______.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．函数 在 上的值域是___________.
48．已知 ， ，且 ，则 的最大值是______．
49．已知二次函数 的图象为开口向上且对称轴是 的抛物线，则 ， ， 的大小关系是
________.
50．若 是奇函数，当 时的解析式是 ，则当 时， 的最大值是______．
四、解答题
51．已知函数 的最大值不大于 ，且当 时， ．
（1）求 的值；
（2）设 ， ， ，证明 ．
52．已知函数 ．
（1）若函数 在范围 上存在零点，求 的取值范围；
（2）当 时，求函数 的最小值 ．
53．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求当 时， 的解析式；
（2）请问是否存在这样的正数 ， ，当 时， ，且 的值域为 ？若存在，求出 ，
的值；若不存在，请说明理由.
54．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数的最大值和最小值；
(2)若函数 在区间 上是单调函数，求 的取值范围．
55．已知 ， ， ， .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当 时，求函数 的最大值.
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求出集合B，再求两集合的交集即可
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：D
2．C
【解析】
【分析】
根据二次函数在闭区间上的性质即可求解最大值和最小值.
【详解】
，抛物线的开口向上，对称轴为 ，
在区间 上，当 时， 有最小值 ； 时， 有最大值 ，
函数 在区间 上的最大值、最小值分别是： ， ．
故选：C．
3．C
【解析】
【分析】
由题设 在 上递增，在 上递减，讨论m与区间 的位置关系求 的最大值，进而判断最大
值 的最小值.
【详解】
由 ，故 在 上递增，在 上递减，
当 ，则 上递减，故最大值 ，
当 ，则最大值 ，
当 ，则 上递增，故最大值 ，
综上， 的最小值为 .
故选：C
第 11 页4．C
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数、二次函数、一次函数和分段函数单调性依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，由指数函数单调性知： 在 上为减函数，A错误；
对于B，由二次函数单调性知： 在 上单调递减，在 上单调递增，B错误；
对于C，由一次函数单调性知： ， 分别在 和 上单调递增；
又 ， 在 上为增函数，C正确；
对于D，由对数函数单调性知： 定义域为 ，且在定义域内为增函数，D错误.
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
由指对幂函数的性质判断各函数的奇偶性，再根据对数函数、二次函数的单调性确定答案.
【详解】
为非奇非偶函数， 为奇函数，故A、C不符合；
、 为偶函数，
在 上 递增，而 递减，B符合，D不符合.
故选：B
6．A
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性“同增异减”来解题.
【详解】
设 ，在 单调递增，在 单调递减， 在 单调递增，根据“同增异减”可得，
函数 的单调递减区间是 .
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得 ，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
第 12 页,
由 ，
，
即 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
由二倍角公式化简 ，设 ，利用复合函数求值域.
【详解】
函数 ，
设 ， ，则 ，
由二次函数的图像及性质可知 ，
所以 的值域为 ，
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
利用换元法，令 ，则 ，先求出 的范围，从而可求出函数的最小值
【详解】
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 的最小值为1，
故选：B
10．B
【解析】
【分析】
由函数 在区间 上单调递减可得 ，进而可判断为充分不必要条件.
【详解】
对于函数 ，
第 13 页当 时， 在R上单调递减；当 时，若要使得 在 上单调递减，需满足 且 ，解
得 .
“故 ”是“函数 在区间 上单调递减”的充分不必要条件，
故选:B.
11．B
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得 的取值范围.
【详解】
函数 的对称轴为 ，
由于 在 上是减函数，所以 .
故选：B
12．D
【解析】
【分析】
利用二次函数单调性，列式求解作答.
【详解】
函数 的单调递增区间是 ，依题意， ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D
13．A
【解析】
【分析】
根据 有最大值及指数复合函数的单调性，可得 在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数
即可.
【详解】
由 在定义域上递减，
要使 有最大值，则 在定义域上先减后增，
当 ，则 的最小值为 ，
所以 ，可得 .
故选：A
第 14 页14．A
【解析】
【分析】
当 时，结合不等式求得其最小值为 ，当 时， ，根据函数 的最小值为
，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
即当 时，函数 的最小值为 ，
当 时， ，
要使得函数 的最小值为 ，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
15．B
【解析】
【分析】
由二次函数的值域可得出 ，可得出 ，则有 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
16．C
【解析】
由题意可转化为 ，使 成立，求 的最大值即可.
【详解】
因为 ，使得不等式 成立，
第 15 页所以 ，使得不等式 成立，
令 ， ，
因为对称轴为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题.
17．D
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出函数 满足有一零点为 、当 时 、当 时 ，然后对
四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】
因为关于 的不等式 在 上恒成立，
所以必需要满足 、 ，
即对于函数 ，必有一零点为 且零点左右函数值符号不同，
即当 时， ；当 时， ，
A项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；
B项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，存在 满足题意，B错误；
C项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；
D项： ， ，令 ， ， ，
此时 ，不满足当 时 且当 时， ，
即不存在 满足题意，D正确，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题
意将不等式转化为函数 满足有一零点为 、当 时 、当 时 是解决本题的关
键，考查推理能力与计算能力，是难题.
18．D
第 16 页【解析】
【分析】
分析函数 在 时的增减性，即可得出函数 的值域.
【详解】
因为 ，当 时， 随着 的增大而增大，
所以，当 时， ，故函数 的值域为 .
故选：D.
19．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】
函数 的对称轴为 ，
又 函数在 上为减函数，
，即 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
20．C
【解析】
【分析】
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐次不等式，
解出即可．
【详解】
设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得 ，
即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该不等式
不成立．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从
第 17 页而确定最值．
21．A
【解析】
【分析】
①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝ ，故排除C与
D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝ ，故B错误.
【详解】
解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝ ，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝ ，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
22．C
【解析】
由直线 ， ，可得 ， ，代入三角形面积计算公式，
再令 ，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．
【详解】
由直线 ， ，
可得 ， ，
所以当 的面积 ，
令 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最小值．
故选：C
【点睛】
求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基
本不等式或用求导的方法．
第 18 页23．B
【解析】
【分析】
利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， .
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
由二次函数图象过点特殊点 ，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】
两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线 ，当 时，指数函数递减， ，C符合题意；
当 时，指数函数递增， ，B不符合题意．
故选：C．
25．C
【解析】
【分析】
求出集合 ，再由集合的补运算即可求解.
【详解】
，
，
所以 .
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为函数 ，开口向下，对称轴为 ，依题意 ，解得 ，即
第 19 页故选：D
27．C
【解析】
【分析】
由题可得 和 是方程 的两个根，求出 ，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】
由题可得 和 是方程 的两个根，且 ，
，解得 ，
则 ，
则函数图象开口向下，与 轴交于 .
故选：C.
28．D
【解析】
【分析】
求导，由单调性得到 在 上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范
围.
【详解】
，
因为 在 上为单调递增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，
要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，
综上：实数m的取值范围是 .
故选：D
29．C
【解析】
【分析】
利用向量 表示出点Q坐标，再求出 ， 的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】
第 20 页因点Q在直线 上运动，则 ，有 ，于是有 ，
因此， ， ，
于是得 ，
则当 时， ，此时，点Q ，
所以当 取得最小值时，点Q的坐标为 .
故选：C
30．A
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得 的取值范围.
【详解】
函数 的对称轴为 ，由于 在 上是减函数，
所以 .
故选:A
31．A
【解析】
根据对数函数的值域知， 是函数 值域的子集，从而得到 ，解该不等式组即可得出实数
的取值范围．
【详解】
由题可知，函数 的值域包含 ，当 时，符合题意；
当 时，则 ，解得 ；
当 时，显然不符合题意，故实数 的取值范围是 ．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了对数函数的值域的应用，解题的关键是对数函数性质的灵活应用．
32．D
【解析】
根据题设条件可得当 时， ，其中 ，结合函数在 上的解析式和函数在
的图象可求 的取值范围.
【详解】
当 时， ，故 ，
第 21 页因为 ，
故当 时， ， ，
同理，当 时， ，
依次类推，可得当 时， ，其中 .
所以当 时，必有 .
如图所示，因为当 时， 的取值范围为 ，
故若对任意 ，都有 ，则 ，
令 ， 或 ，
结合函数的图象可得 ，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，
必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
33．A
【解析】
【分析】
令 ，且 ，将函数转化为二次函数 求解.
【详解】
令 ，且 ，
第 22 页则 ，函数转化为
由 ，则 ，即值域为
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的值域以及二次函数的值域，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
34．A
【解析】
【分析】
依题意可得 在 上单调递增，对 分两种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为对任意的 ，都有 ，所以 在 上单调递增，
当 时， 在定义域 上单调递增，满足条件；
当 时，则 ，解得 ，综上可得 ；
故选：A
35．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在 的单调性.
【详解】
对于A，当 时， 单调递增，故A错误；
对于B， ，故 在 和 上单调递增，故B错误；
对于C， 在 上单调递增，故C错误；
对于D， 在 上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
36．D
【解析】
【分析】
求出函数 在 时值的集合， 函数 在 时值的集合，再由已知并借助集合包含关系
第 23 页即可作答.
【详解】
当 时， 在 上单调递增， ， ，则 在 上值的集合是
，
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，则 在 上值的集合为 ，
因函数 的值域为 ，于是得 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
37．C
【解析】
【分析】
根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数
求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立，
即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4) .
max
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3<m<2.
故选：C．
【点睛】
本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的
解法，属于中档题.
38．C
【解析】
【分析】
由题可得 ，令 ，设 ，则 ，再利
用二次函数的性质分类讨论即求.
【详解】
∵ ，
∴ ，
第 24 页令 ，设 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，∴ ，
当 时， ，无解，
当 时， ，无解.
综上， 或 .
故选：C.
39．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，且 ，3为方程 的两根，运用韦达定理可得 ， ， 的关系，可得 的解析式，
计算 ， （1）， （4），比较可得所求大小关系．
【详解】
关于 的不等式 的解集为 ，
可得 ，且 ，3为方程 的两根，
可得 ， ，即 ， ，
， ，
可得 ， （1） ， （4） ，
可得 （4） （1），故选 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．
40．C
【解析】
第 25 页【分析】
设幂函数 ，先求出 ， .再换元利用二次函数图象和性质求
解.
【详解】
设幂函数 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，
故 ，
所以 .
令 ，所以 ，
则 ，
所以当 时， .
故选：C.
41．ACD
【解析】
由已知不等式的解集求出 ，再求解各选项中的问题，作出判断．
【详解】
由题意 ，即 ，∴ ，A正确；
，但当 时， ，B错；
，由已知 ，即 ， 且 ，C正确；
由题意知 在 上是增函数，在 上是常函数，因此由 得 或
，解得 或 ，综上， ．D正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求二次函数的解析式，考查二次函数的性质，二次函数在对称轴的两边单调性相反，顶点
处取得最大值或最小值．二次函数的图象与一元二次不等式的解集、一元二次方程的解之间的关系必须能熟练掌
握，灵活运用．
42．ABC
【解析】
第 26 页由 可得 或 ，由 可得 ，然后可得答案.
【详解】
因为函数 的值域是[1，2]，由 可得 或 ，由 可得
所以其定义域可以为A、B、C中的集合
故选：ABC
43．BD
【解析】
【分析】
根据向量的数量积表示出 ，进而转化为二次函数求最值问题，再根据选项可求得答案.
【详解】
解：因为
令 ，
则当 时， 取得最小值1，
即有 ，
可见当 确定时， 唯一确定下来；但 确定时， 的值在 可能有两个．
故选：BD．
44．ABD
【解析】
【分析】
分析出 且二次函数 的对称轴为直线 ，可判断A选项的正误；利用图象可判断B选项的正误；求出
的值，利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用一元二次方程的解法可判断D选项的正误.
【详解】
由图象可知，二次函数 的图象开口向上，则 ，对称轴为直线 .
对于A选项，函数 在区间 上单调递减，A对；
对于B选项，不等式 的解集为 ，B对；
对于C选项，由图可知 ，则 ，可得 ，
所以， ，
当 时， ，C错；
对于D选项，对于二次方程 ，该方程的两根分别为 、 ，
第 27 页由韦达定理可得 ，所以 且 ，
由 得 ，即为 ，解得 ，D对.
故选：ABD.
45．
【解析】
【分析】
由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得
，得函数解析式.
【详解】
解： 为 ，其解集为 ，则
， ，又函数 的对称轴是 ，则 ，
两者结合解得 ，
所以 .
故答案为： .
46．
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出关于实数 的等式与不等式，由此可求得实数 的值.
【详解】
根据题意，二次函数 的最大值是 ，则 ，解得 .
故答案为： .
47．
【解析】
【分析】
化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解.
【详解】
令 ，则 ，
第 28 页因为 的对称轴方程为 ，
所以
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域是 ，
故答案为：
48．
【解析】
【分析】
利用 ， ，且 ，求出 的范围，将 消元得 ，利用二次函数的最值及倒数法
则即可求得 的最大值.
【详解】
解：因为 ， ，且 ，所以 ，
，
当 时， 取最小值 ，
所以 取最大值 ，
故 的最大值是 .
故答案为： .
49．
【解析】
【分析】
由题意结合二次函数对称性可得 ，再利用二次函数的单调性即可得解.
【详解】
二次函数 的图象开口向上且对称轴是 ，
第 29 页函数 在 上单调递增，且 ，
又 ， ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.
50．
【解析】
【分析】
先利用奇函数的定义求出 时的解析式，再结合二次函数的性质求解即可
【详解】
当 时， ，
∵ 时， ，
∴ ，又 为奇函数，
∴ ，
∴ ，
因为 时， ，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为：
51．（1） ；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的性质，可得 ，解得 ，转化当 时， 为
，结合 的范围可得 ，求解即可.
（2）利用数学归纳法，按照步骤证明即可.
【详解】
（1）由题意，知 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ．
又函数 图象的对称轴为 ，且 ，
第 30 页所以当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）用数学归纳法证明：
①当 时， ，显然原不等式成立．
因为当 时， ，
所以 ．
故当 时，原不等式也成立．
②假设当 （ ， ）时，不等式 成立．
由（1）知 ，其图象的对称轴为直线 ，
所以当 时， 为增函数．
所以由 ，得 ．
于是， ，
所以当 时，原不等式也成立．
根据①②，知对任何 ，不等式 成立．
52．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）参变分离转化为存在 ，使得 成立，求导分析 的单调性和取值范
围，即得解；
（2）函数 对称轴为 ，分 ， ， 三种情况讨论，即得解
【详解】
（1）由题意，函数 在范围 上存在零点
即存在 ，使得 成立
第 31 页令 ，则
令 （舍）
所以当 时， ；当 时，
即 在 单调递增，在 单调递减，又
即 的取值范围是
（2） ，对称轴为
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
当 时，即 时， ；
综上：
53．（1）当 时， （2） ，
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性 ，求解解析式即可；
（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为 是方程 的两个根的问题，进而解方程
即可得答案.
【详解】
（1）当 时， ，于是 .
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 .
（2）假设存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，
根据题意， ，
因为 ，
则 ，得 .
又函数 在 上是减函数，所以 ，
第 32 页由此得到： 是方程 的两个根，
解方程求得
所以，存在正实数 ，当 时， 且 的值域为
54．(1)最小值 ，最大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）将 配方求出对称轴为 ，解不等式 或 即可求解.
(1)
当 时， ，对称轴为
因为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ,
所以函数的最大值为 ，最小值为 .
(2)
是关于 的二次函数，
它的图象的对称轴为直线 ．
因为 在区间 上是单调函数，
所以 或 ，
即 或 ，
又 ，
所以 的取值范围是 .
55．（1） ；（2） .
【解析】
第 33 页（1）分 、 两种情况讨论，分析二次函数 在区间 上的单调性，由此可求得函数 在区间
上的最小值；
（2）分 、 、 三种情况讨论，分析函数 在区间 上的单调性，进而可求得函数 在
区间 上的最大值.
【详解】
（1）当 时， ，其中 .
①当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
此时， ；
②当 时，函数 在区间 上单调递增，此时， .
综上所述， ；
（2）当 时， ，其中 .
①当 时，函数 在区间 上单调递增， ；
②当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以， ；
③当 时，函数 在区间 上单调递减，所以， .
综上所述， .
【点睛】
方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分
析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
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