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微专题：二次函数的图象和性质
【考点梳理】
1. 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ax 2 ＋ bx ＋ c (a≠0).
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0).
③零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0).
1 2
(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开
口方向、值域、单调性分别是：
①对称轴：x＝－.
②顶点坐标：.
③开口方向：a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下.
④值域：a＞0时，y∈；a＜0时，y∈ .
⑤单调性：a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(3)三个“二次”之间的关系：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的端点值.
(4)二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶
点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.
2. 二次函数相关常用结论
对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：
(1)|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.
(2)f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，f(0)＝c.
(3)|AB|＝|x－x|＝＝，其中A(x，0)，B(x，0)为二次函数与x轴的交点.
1 2 1 2
(4)若对f(x)定义域内任意两个不等的自变量x，x，有f(x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
1 2 1 2
【题型归纳】
题型一：求二次函数的值域或最值
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．函数 在区间 上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是 ，无最大值
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．已知函数 R)．当 时，设 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：判断二次函数的单调性和求解单调区间
4．下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，是偶函数且在区间 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
题型三：与二次函数相关的复合函数问题
7．已知函数 ，若 （其中 ），则 的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．
8．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
题型四： 已知二次函数单调区间求参数值或范围
10．“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：根据二次函数的最值或值域求参数
13．若函数 的最大值是2，则 （ ）
A． B． C． D．
14．设 ，函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
16．若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．已知关于 的不等式 在 上恒成立（其中 、 ），则（ ）
A．当 时，存在 满足题意 B．当 时，不存在 满足题意
C．当 时，存在 满足题意 D．当 时，不存在 满足题意
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
19．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
21．对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知直线 ， 与两坐标轴分别交于 、 两点．当 的面积取最小
值时（ 为坐标原点），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
24．函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）在同一个坐标系内的图象可能是
（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
25．设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
26．函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
27．若不等式 的解集为 ，则函数 的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司29．已知O为坐标原点，向量 ，点Q在直线 上运动，则当 取得最
小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
30．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
34．函数 满足条件：对任意的 ，都有 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司35．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A．{m|－2
