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微专题：二倍角公式的应用
【考点梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
sin2α＝ 2sin α cos α . S
2α
cos2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 1 － 2sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 . C
2α
tan2α＝. T
2α
2. 简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝.
cos2α＝.
sinαcosα＝ sin2 α .
(2)升幂公式
1＋cosα＝ 2cos 2 .
1－cosα＝ 2sin 2 .
1＋sinα＝.
1－sinα＝ (sin － cos) 2 .
【题型归纳】
题型一：给值求值
1．已知 是第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，且 是第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：与诱导公式综合
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
5．已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用二倍角公式化简求值
7．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．若 ，则
A． B． C． D．-1
13．已知过点 的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当 最小时，直线l的方程为
（ ）
A． B． C． D．
14．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比 ，我
们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以
上信息，可得 =（ ）
A． B． C． D．
15．若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
18．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
21．已知函数 ．若关于x的方程 在 上有解，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
23．若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
24．式子 的值等于（ ）
A． B． C． D．
25．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
26．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
27．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
29．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
30． ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
31．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴
圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，
AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
33．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
34．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
35．函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
36．已知函数 ，则（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．函数 在区间 上为增函数
B．直线 是函数 图像的一条对称轴
C．函数 的图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到
D．对任意 ，恒有
37．下列各式中值为 的是（ ）．
A． B．
C． D．
38．由倍角公式 ，可知 可以表示为 的二次多项式．一般地，存在一个 次多
项式 ，使得 ，这些多项式 称为切比雪夫
（P．L．Tschebyscheff）多项式．则（ ）
A． B．当 时，
C． D．
39．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列结论成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题
40．已知 ＝ ，则sin2x＝________．
41．已知 是第二象限角，且 ，则 的值为______．
42．已知 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 ：___________.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①定义域为R；② ；③ ；④ .
43．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin2α
＝_____．
44．计算： ___________.
45．若 ，且 ，则 ____
四、解答题
46．已知 ，求 的值．
47．已知sinα ，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α ）的值．
48．在 中，已知 ，且 .
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 .
49．已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值．
50．（1）设坐标平面内三点 ､ ､ ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实
数m的值；
（2）已知直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角是直线 倾斜角的2倍，求直线 的斜率.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可求得 的值.
【详解】
因为 是第二象限角，且 ，则 ，
因此， .
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
首先将 转化为 ，再将未知角 向已知角 转化，根据倍角公式求出
的值.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3．B
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.
【详解】
由题意得 ，则 ．
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
第 9 页根据三角函数的定义可得 ，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
解：因为角 的终边经过点 ，所以 ，
故 .
故选：A.
5．A
【解析】
【分析】
根据终边上的点确定角的正余弦值，再利用诱导公式及二倍角正弦公式即得.
【详解】
由题知 ，
所以 ，
∴ .
故选：A.
6．C
【解析】
【分析】
根据所求先利用诱导公式转化为 ，由于有正切值，无角度范围，结合平方公式，将所求化为分式齐次式，
同除 ，转化为只含 的式子，即可求解.
【详解】
解：
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为
正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.
【详解】
因为 ， ，所以 ， ，
所以
第 10 页．
故选: C．
8．A
【解析】
【分析】
根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可
【详解】
因为 ，显然 ，故 ，
故选：A
9．C
【解析】
【分析】
根据余弦值的定义可得 ，再根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】
由题意可得 ，所以
故选：C
10．A
【解析】
【分析】
由商数关系及二倍角正余弦公式得 ，结合已知列方程求得 ，再根据平方关系求 .
【详解】
因为 ，且 ，
所以 ，得 ，
所以 .
故选：A
11．D
第 11 页【解析】
【分析】
利用两角差的正弦、余弦公式化简 ，再利用诱导公式、二倍角公式求解 即可.
【详解】
故选：D.
12．C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得到 ，再结合二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
，即
所以
故选C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.
13．B
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的知识可得 ， ，结合正弦的二倍角公式可得 ，求出
后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】
设 ，如图：
第 12 页则 ， ，
所以 ，
所以当 即 时， 最小，
此时，直线的倾斜角为 ，斜率 ，
所以直线l的方程为 即 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
14．A
【解析】
【分析】
由正弦定理得到 ，结合倍角公式，求得 ，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】
在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，
由倍角公式得， ，
解得 ，
，
故选：A
15．D
【解析】
【分析】
第 13 页利用二倍角公式化简 ，再结合 的范围确定 和 的符号即可求解.
【详解】
由二倍角公式可知， ， ，
从而 ，
又因为 ，所以 ， ，
从而 .
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
由二倍角正弦公式和同角关系将 转化为含 的表达式，由此可得其值.
【详解】
．
故选：A.
17．A
【解析】
【分析】
根据二倍角余弦公式，代入数据即可得答案.
【详解】
由二倍角公式得 ，
故选：A
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用，属基础题.
18．D
【解析】
【分析】
先根据诱导公式进行化简，然后利用二倍角的余弦公式求解出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
第 14 页又因为 ，
所以 ，
故选：D.
19．D
【解析】
先用诱导公式化为 ，再用二倍角公式计算．
【详解】
.
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
， ．
，又 ， ，又 ， ，故选
B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关
键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
21．C
【解析】
【分析】
求出函数 在 上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当 时， ，所以 ，
故 的值域为 ，
第 15 页因为 在 上有解即 在 上有解，
故 即 ，
故选：C.
22．B
【解析】
【分析】
利用同角公式化正弦为余弦，求出 的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.
【详解】
依题意，原等式化为： ，整理得： ，
因 ，则 ，解得： ，
所以 .
故选：B
23．A
【解析】
【分析】
已知等式平方后应用二倍角公式得 ，同时判断出 ，可再利用平方关系求得 ，
从而可得 ，代入即得结论．
【详解】
∵ ，①
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，且 ，∴ ， ，
∴ ．
变形得 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查二倍角公式、同角间的三角函数关系，解题中应用平方关系时要注意确定函数值的符号，确定解的情况．
24．A
【解析】
根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.
第 16 页【详解】
，
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.
25．D
【解析】
【分析】
将等式两边平方，再用正弦二倍角公式即可.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ， ，
故选：D
【点睛】
本题考查了同角三角函数中的平方关系和正弦二倍角公式，属于简单题，解题中需要注意正弦、余弦的和与积之
间的互化方法.
26．B
【解析】
【分析】
根据角终边上点的坐标，求得 ，代入二倍角公式即可求得 的值．
【详解】
因为终边上点 ，所以 ，
所以
故选：B．
27．B
【解析】
【分析】
本题首先可根据 得出 ，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】
，即 ，
， ，
则
第 17 页，
故选：B.
28．B
【解析】
【分析】
根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.
【详解】
由 知， ， 或 ， ，
则 ，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦公式结合弦化切可求得 的值，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】
由题可得 ，解得 .
， ，因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用弦化切求值，同时也考查了二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
30．C
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式求 ，再由 求 即可.
【详解】
由 ，得 ，
∴ ，
故选：C．
31．C
【解析】
【分析】
第 18 页将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的
表达式，代入 即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可
以避开了这一讨论．
32．A
【解析】
【分析】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为 ，竖直
高度为 ，根据题意求得 ，由切线的性质和正弦函数的定义可得 ，结合圆的对称性和二倍
角的余弦公式即可得出结果.
【详解】
设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示
易知“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为 ，
则由题意知 ，解得 ，
AB与圆弧相切于点B，则 ，
∴在 中， ，
由对称性可知， ，则 ，
∴ ，
故选：A．
33．B
第 19 页【解析】
【分析】
由 可求得 ，根据二倍角公式化简计算即可得出结果.
【详解】
,
.
故选：B
34．B
【解析】
【分析】
结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可.
【详解】
由 ，得 ，
则 ．
故选：B．
35．B
【解析】
利用诱导公式及二倍角公式可得 ，令 ，将函数转化为
，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；
【详解】
解：因为
所以
令
则
则
令 ，得 或
第 20 页当 时， ； 时
所以当 时， 取得最大值，此时
所以
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．
36．ABD
【解析】
首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得 ，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据
正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D.
【详解】
.
当 时， ，函数 为增函数，故A中说法正确；
令 ， ，得 ， ，
显然直线 是函数 图像的一条对称轴，故B中说法正确；
函数 的图像向右平移 个单位得到函数
的图像，故C中说法错误；
，故D中说法正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础
题.
37．AC
【解析】
【分析】
选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用
两角和的正切公式求值.
第 21 页【详解】
因为 ，故选项A正确；
因为 ，故选项B错误；
因为 ，故选项C正确；
因为 ，
整理得， ，故选项D错误；
故选：AC.
38．ACD
【解析】
【分析】
根据题目定义以及二倍角公式即可判断A正确，令 ，可得 ，可判断出B错误，令 可得
，结合 可判断出C正确，根据二倍角公式可知 ，D正确．
【详解】
因为 ，
所以 ，即 ，故选项A正确；令 ，则
，则 ，则 ，即选项B错误；令 ，则 ，可得 ，所
以 ，则选项C正确；设 ，则 ，将 代
入，方程成立，即选项D正确．
故选：ACD．
39．ABC
【解析】
【分析】
根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及 可判断B；利用正弦定理化边为角以
及同角三角函数商数关系可得 即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得
进而可得 或 即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为 ，所以 ，由正弦定理可得 （ 是 外接圆的半径），所以
，故选项A正确；
对于B：因为 在 上单调递减， 且 ，所以 ，故选项B正确；
第 22 页对于C：因为 ，由正弦定理化边为角可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得 ，所以 ，所以 或 ，故选
项D错误．
故选：ABC．
40．
【解析】
【分析】
利用诱导公式、二倍角余弦公式得sin2x＝2cos2 －1，结合已知求值即可.
【详解】
∵sin2x＝cos ＝cos2 ＝2cos2 －1，
∴sin2x＝2× －1＝ －1＝ ．
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的基本关系求出 ，再由二倍角的正切公式求解.
【详解】
， 是第二象限角，
，
，
故答案为：
42． （答案不唯一）
【解析】
【分析】
第 23 页根据 ，可得 ，进而联想到二倍角的余弦公式，再根据 ，可得
函数的周期，然后根据 得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
联想到 ，可推测 ，
由 ，得 ，则 ，
又 ，所以 （ ， 为偶数，且 ），
则当k=2时， .
故答案为： （答案不唯一）.
43．
【解析】
【分析】
由已知结合三角形函数的定义可求 ， 然后结合二倍角的正弦公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得， ， ，
所以sin2α＝2sinαcosα ．
故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数中的倍角公式，属于简单题
44． ##
【解析】
【分析】
先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
第 24 页.
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
利用诱导公式、二倍角正弦公式，将题设条件转化为 ，结合角的范围求 值，再应用二倍角正
切公式求 即可.
【详解】
∵ ，
∴ 或 ，又 ，
∴ ，则 ．
故答案为：
46．
【解析】
根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为 ，将所求式中的2，用 替换，整理化为齐二次
分式，分子、分母同除以 ，化弦为切，即可求解
【详解】
解：因为
，
所以
．
【点睛】
第 25 页本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切
的方法，属于中档题.
47．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据题意以及同角基本关系可知 ，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan ，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】
（1）∵sinα ，且α为第二象限角，∴cos ，
∴sin2α＝2sinαcosα ；
（2）由（1）知tan ，
∴tan（α ） ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
48．（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算得到 ，利用二倍角公式求得 得到 ,进而利用三角形面积公式计算；
（2）利用余弦定理计算即得.
【详解】
（1）由 ，得 .∵ ，∴ ，∴ .∴ .
（2）对于 ，又 ，由余弦定理得 ，∴ .
49．（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用同角三角函数关系求出 ，从而得到 ，再利用正弦二倍角公式计算 即可.
（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.
【详解】
第 26 页（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ， .
（2） .
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.
50．（1）1或2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题设 ，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线 的斜率.
【详解】
（1）由 ，即 ，解得 或 ，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 .
由已知， ，则直线 的斜率为 .
第 27 页第 28 页
